导数法判断函数的单调性的策略

合集 - 导数法(9)

1.函数的导数概念2019-10-312.函数与导数的关系2020-02-033.用导数研究函数的性质2018-07-154.导数法求函数最值2020-02-06

5.导数法判断函数的单调性的策略2018-11-11

6.导数法求参数范围时注意问题2018-10-107.例说导数法作函数的图像 | 图象系列2020-10-208.导数法研究函数的零点2020-10-199.函数的单调性与导数2020-08-06

收起

公式定理💯随心记

【等差数列性质】等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$ ，仍成等差数列。

---

前言

关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是通过解不等式 [从数的角度] 求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导：

思考方法和途径：先求定义域，解得 $f'(x)$，其一，令 $f'(x)>0$ 或 $f'(x)<0$，看能不能从数的角度突破，如果可以就通过解不等式得到单调区间；其二，如果 $f'(x)>0$ 不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析，做出导函数的图像或其部分图像，从而得到单调区间；其三，如果以上都行不通，不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负，从而知道单调性。

储备待用

以下的知识点在用导数法判断单调性时很可能会用到，请大家逐个复习回顾。

①常见的初等函数的动态图像，需要理解掌握。

• $f(x)=e^x+a$；$f(x)=(x+1)(x+m)$；$f(x)=ln(x+a)$；$f(x)=x^2+a$；$g(x)=a\cdot x^2$；$h(x)=a\cdot e^x$；

如果你会使用 desmos 软件，可以在下面试一试含参函数的变化情况。

Undo Learn more

trig

stats

misc

trig	inverse	hyperb
sin	sin−1	sinh
cos	cos−1	cosh
tan	tan−1	tanh
csc	csc−1	csch
sec	sec−1	sech
cot	cot−1	coth

total	length	mean
median	min	max
quantile	stdev	stdevp
mad	var	varp
cov	corr	nCr
nPr	n!	~

lcm	gcd	mod
ceil	floor	round
abs	sign	n√
exp	ln	log
loga​	d/dx	′
∫​	∑	∏

x

y

a2

ab

(

)

<

>

|a|

,

≤

≥

A B C

√

π

7

8

9

÷

4

5

6

×

1

2

3

−

0

.

=

+

functions

q

w

e

r

t

y

u

i

o

p

a

s

d

f

g

h

j

k

l

θ

z

x

c

v

b

n

m

1 2 3

ab​

( )

{ }

[ ]

~

, ′

Q

W

E

R

T

Y

U

I

O

P

A

S

D

F

G

H

J

K

L

τ

Z

X

C

V

B

N

M

1 2 3

ab

( )

{ }

[ ]

:

, ′

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

1 2 3

ab​

( )

{ }

[ ]

~

, ′

Drop Image Here

y=mx2

« »

1

m=2

« 1x »

2

$$−3

$$3

≤m≤ step: 0.5

x2+y2=4

« »

3

4

powered by

Delete All Reset Done

expression

note

table

folder

image

powered by

Projector Mode

Axis Numbers Minor Gridlines

Zoom Square

Grid

Arrows

X-Axis

≤x≤ Step:

Y-Axis

≤y≤ Step:

Radians

Degrees

②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释：

说明：假定某函数的导函数为 $f'(x)=e^x(x-1)(x-2)$，则其图像和 $y=(x-1)(x-2)$ 的图像在解释单调性上是一样的，故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数 $y=(x-1)(x-2)$ 的图像来解决问题。

③求导法则和常用求导公式，复合函数的求导法则；

④用图读图能力；

⑤整体部分理论；

⑥分类讨论的技巧；先简单后复杂；

• 引申阅读：用导函数的图像判断原函数的单调性；

原始图像

用导函数的完整图像判断原函数的单调性

已知函数 $f(x)=2x^3+ax^2+bx+1$，若 $f'(x)$ 的对称轴是 $x=-\frac{1}{2}$，且 $f'(1)=0$

(1). 求 $a，b$ 的值。

分析：由于 $f'(x)=6x^2+2ax+b$，且对称轴为 $x=-\frac{1}{2}$，则有 $-\frac{a}{6}=-\frac{1}{2}$，则 $a=3$，

又由于 $f'(1)=0$，则 $6+2a+b=0$，解得 $b=-12$，所以 $a=3，b=-12$。

即函数 $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$，

(2). 判断函数的单调性，并求函数的极值。

分析：因为 $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$，$f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)$

常规的解法这样写道：

令 $f'(x)>0$，即 $x^2+x-2>0$，解得 $x>1$ 或 $x<-2$，

令 $f'(x) <0$，即 $x^2+x-2 <0$，解得 $-2<x<1$，

有了辅助图像后，我们在演草纸上画出导函数的示意图，直接这些写：

当 $x< -2$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

当 $-2<x<1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；然后做总结：

所以函数 $f(x)$ 在 $(-2，1)$ 上单调递减，在 $(-\infty，-2)$ 和 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

当 $x=-2$ 时，$f(x)$ 取得极大值，为 $f(-2)=21$，

当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得极小值，为 $f(1)=-6$。

分子图像

排除分母，只用导函数的分子图像判断原函数的单调性

已知函数 $f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2$，当 $m>0$ 时，试讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

分析：函数的定义域为 $(0，+\infty)$，

$f'(x)=2x+\cfrac{2m}{x}-(m+4)=\cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=\cfrac{(x-2)(2x-m)}{x}$，

令 $f'(x)=0$，得到 $x=2$ 或 $x=\cfrac{m}{2}>0$，分类讨论如下：

当 $0<\cfrac{m}{2}<2$ 时，即 $0<m<4$ 时， $x\in (0，\cfrac{m}{2})$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

$x\in (\cfrac{m}{2}，2)$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，$x\in (2，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

当 $\cfrac{m}{2}=2$ 时，即 $m=4$ 时，此时 $f'(x)\ge 0$ 恒成立，

当且仅当 $x=2$ 时取得等号，故 $f(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，

当 $\cfrac{m}{2}>2$ 时，即 $m>4$ 时， $x\in (0，2)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

$x\in (2，\cfrac{m}{2})$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减， $x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

综上所述，

当 $0<m<4$ 时， $x\in (0，\cfrac{m}{2})$ 时，$f(x)$ 单调递增，$x\in (\cfrac{m}{2}，2)$ 时，$f(x)$ 单调递减，$x\in (2，+\infty)$ 时，$f(x)$ 单调递增，

当 $m=4$ 时，$f(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，

当 $m>4$ 时， $x\in (0，2)$ 时，$f(x)$ 单调递增， $x\in (2，\cfrac{m}{2})$ 时，$f(x)$ 单调递减， $x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)$ 时，$f(x)$ 单调递增，

注意：①因式的正确分解；②分类标准的确定；③快速读图能力；

因子图像

排除乘积中的正因子，只用导函数中的部分因子函数图像判断原函数的单调性

已知函数 $f (x)=x^2+(m+2) x+1 (m 为常数)$，讨论函数 $g(x)=e^x\cdot f(x)$ 的单调性；

分析：$g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1]$，定义域为 $R$，

则 $g'(x)=e^x\cdot [x^2+(m+2)x+1]+e^x\cdot (2x+m+2)$

$=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)]$

令 $g'(x)=0$，得到 $x=-1$ 或 $x=-(m+3)$，由于 $e^x>0$ 恒成立，

故借助开口向上的二次函数 $y=(x+1)[x+(m+3)]$ 的图像分类讨论求解如下：

①当 $-(m+3)<-1$ 时，即 $m>-2$ 时，

$x\in (-\infty，-m-3)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，

$x\in (-m-3，-1)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，

$x\in (-1，+\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，

②当 $-(m+3)=-1$ 时，即 $m=-2$ 时，$g'(x)\ge 0$ 恒成立，

当且仅当 $x=-1$ 时取得等号，故 $g(x)$ 在 R 上单调递增；

③当 $-(m+3)>-1$ 时，即 $m<-2$ 时，

$x\in (-\infty，-1)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，

$x\in (-1，-m-3)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，

$x\in (-m-3，+\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，

综上所述：

当 $m<-2$ 时，函数 $g(x)$ 的单增区间为 $(-\infty，-1)$ 和 $(-m-3，+\infty)$，单减区间为 $(-1，-m-3)$;

当 $m=-2$ 时，函数 $g(x)$ 只有单增区间为 $(-\infty，+\infty)$；

当 $m>-2$ 时，函数 $g(x)$ 的单增区间为 $(-\infty，-m-3)$ 和 $(-1，+\infty)$，单减区间为 $(-m-3，-1)$;

图像叠加

在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像，用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负

已知函数 $f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$．讨论 $f(x)$ 的单调性．

分析：函数的定义域为 $R$，

$f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)\cdot e^x+2a(x-1)$

$=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)$，

在同一个坐标系中做出函数 $y=x-1$[定图] 和函数 $y=e^x+2a$[动图] 的图像，

根据动图 $y=e^x+2a$ 是否与 $x$ 轴有交点分类讨论如下：^[1]

①当 $2a\ge 0$ 时，即 $a\ge 0$ 时，恒有 $e^x+2a>0$，

当 $x\in (-\infty，1)$ 上时，$x-1<0$ ，则 $f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0$，故 $f(x)$ 单调递减，

当 $x\in (1，+\infty)$ 上时，$x-1>0$ ，则 $f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0$，故 $f(x)$ 单调递增，

当 $2a<0$ 时，即 $a<0$ 时，$y=e^x+2a$ 与 $x$ 轴有交点，令 $e^x+2a=0$，解得 $x=ln(-2a)$，

然后针对 $ln(-2a)$ 与 $1$ 的大小关系继续细分如下，主要是 $ln(-2a)$ 和 $1$ 分别是两个因子函数的零点；

②当 $ln(-2a)<1$ 时，即 $-\cfrac{e}{2}<a<0$ 时，

当 $x\in(-\infty，ln(-2a))$ 时，$e^x+2a<0$，$x-1<0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

当 $x\in(ln(-2a)，1)$ 时，$e^x+2a>0$，$x-1<0$，则 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

当 $x\in(1，+\infty)$ 时，$e^x+2a>0$，$x-1>0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

③当 $ln(-2a)=1$ 时，即 $a=-\cfrac{e}{2}$ 时，

当 $x\in(-\infty，1)$ 时，$e^x+2a<0$，$x-1<0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

当 $x\in(1，+\infty)$ 时，$e^x+2a>0$，$x-1>0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

即 $x\in (-\infty，+\infty)$ 时，恒有 $f'(x)\ge 0$，当且仅当 $x=1$ 时取到等号，故 $f(x)$ 单调递增；

④当 $ln(-2a)>1$ 时，即 $a<-\cfrac{e}{2}$ 时，

当 $x\in(-\infty，1)$ 时，$e^x+2a<0$，$x-1<0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

当 $x\in(1，ln(-2a))$ 时，$e^x+2a<0$，$x-1>0$，则 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

当 $x\in(ln(-2a)，+\infty)$ 时，$e^x+2a>0$，$x-1>0$，则 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

综上所述，

当 $a<-\cfrac{e}{2}$ 时，单增区间为 $(-\infty，1)$ 和 $(ln(-2a)，+\infty)$，单减区间为 $(1，ln(-2a))$；

当 $a=-\cfrac{e}{2}$ 时，只有单增区间为 $(-\infty，+\infty)$；

当 $-\cfrac{e}{2}<a<0$ 时，单增区间为 $(-\infty，ln(-2a))$ 和 $(1，+\infty)$，单减区间为 $(ln(-2a)，1)$；

当 $a\ge 0$ 时，单减区间为 $(-\infty，1)$，单增区间为 $(1，+\infty)$；

[点评]：由于教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，故许多学生碰到这个题目时思路会受阻，需要老师做引导，如果从数的角度不能突破，可以考虑从形的角度入手分析。

特殊图像

当导函数中含有 $e^x$ 或 $lnx$ 类型且相加时，我们利用其各自的零点，寻找分界点判断导函数的正负，此时的两个和式的零点往往重合

已知函数 $f(x)=e^x-ax-1(a∈R)$，$g(x)=lnx$．若不等式 $f(x)\ge g(x)$ 对任意的 $x\in (0，+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

分析：由题目可知，$e^x-ax-1\ge lnx$ 对任意的 $x∈(0，+\infty)$ 恒成立，

分离参数得到，$a\leq \cfrac{e^x-1-lnx}{x}(x>0)$；

令 $h(x)= \cfrac{e^x-1-lnx}{x}$，需要求 $h(x)_{min}$，

$h'(x)=\cfrac{(e^x-\frac{1}{x})\cdot x-(e^x-1-lnx)\cdot 1}{x^2}$

$=\cfrac{xe^x-1-e^x+1+lnx}{x^2}$

$=\cfrac{(x-1)e^x+lnx}{x^2}$

观察分子的和式的结构，可以发现两部分 $(x-1)e^x$ 和 $lnx$ 的零点都是 $x=1$，故分类如下：

当 $x\in(0，1)$ 时，$x-1<0$，$lnx<0$，则 $h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；

当 $x\in(1，+\infty)$ 时，$x-1>0$，$lnx>0$，则 $h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；

故 $h(x)_{min}=h(1)=e-1$，即 $a\leq e-1$.

解后反思：本题目若转化为 $f(x)_{min}\geqslant g(x)_{max}$，这是错误的。

补遗：已知函数 $f(x)=\cfrac{lnx+1}{e^x}$，判断单调性。

$f'(x)=\cfrac{\frac{1}{x}-lnx-1}{e^x}$，分界点为 $x=1$。

二阶导数

当数的角度和形的角度都行不通时，尝试用二阶导判断一阶导的正负

设函数 $f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)$．若 $a=1$，证明：当 $x＞0$ 时，$f(x)＜e^x-1$．

分析：当 $a=1$ 时，$f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)$，

欲证明 $x >0$ 时，$f(x)<e^x-1$，即证明 $x>0$ 时，$\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0$ 恒成立。

令 $g(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1$，则原题目转化为证明：$g(x)_{max}<0$ 即可。

$g'(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x$，到此尝试思考：

• 能从数的角度解不等式，找到单调区间吗？

• 能从形的角度做出图像，找到单调区间吗？如果以上两个思路都不行，我们怎么办？

令 $h(x)=x+\cfrac{1}{x+1}-e^x$，则 $h'(x)=1-e^x-\cfrac{1}{(1+x)^2}$，

当 $x>0$ 时，$h'(x)<0$ 恒成立，

故函数 $g'(x)$ 单调递减，则有 $g'(x)<g'(0)=0$，即有 $x >0$ 时，$g'(x)<0$ 恒成立，

则 $x>0$ 时，函数 $g(x)$ 单调递减，即有 $g(x)<g(0)=0$ 恒成立，

即 $g(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0$，即 $\cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)<e^x-1$，

即证明了 $x>0$ 时，$f(x)<e^x-1$。

解后反思：①用导数证明不等式时，有一个很常用的思路是作差构造新函数，转而求新函数的最值或最值的极限大于小于 $0$；

②还有一个常用思路是连求两次导数，用二阶导的正负先判断一阶导的增减，再利用一阶导的增减在端点处的值再判断一阶导的正负，从而知道原函数的增减性。

不等式性质

用不等式性质判断导函数正负

【2019 高三理科数学二轮复习用题】若存在 $x_0\in [e，e^2]$，满足 $\cfrac{x}{lnx}-ax\leq \cfrac{1}{4}$，求实数 $a$ 的取值范围；

分析：由于 $x>0$，分离参数得到，$a\ge \cfrac{1}{lnx}-\cfrac{1}{4x}=g(x)$，需要求函数 $g(x)_{min}$，

$g'(x)=\cfrac{-\frac{1}{x}}{(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=-\cfrac{1}{x(lnx)^2}+\cfrac{1}{4x^2}=\cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2\cdot (lnx)^2}$

接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，

由于 $x\in [e，e^2]$，则 $-4x\in [-4e^2，-4e]$，又 $lnx\in [1，2]$，$(lnx)^2\in [1，4]$，

则必有 $-4x+(lnx)^2<0$，即 $g'(x)<0$，故 $g(x)$ 在区间 $[e，e^2]$ 上单调递减，

故 $g(x)_{min}=g(e^2)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}$，故 $a\in [\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4e^2}，+\infty)$。

说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；

补充：已知函数 $f(x)=ax-2lnx$，若函数 $f(x)+x^3>0$ 对任意 $x\in (1,+\infty)$ 上恒成立，求参数 $a$ 的取值范围；

分析：分离参数得到，$a>\cfrac{2lnx}{x}-x^2$，令 $g(x)=\cfrac{2lnx}{x}-x^2$

则 $g'(x)=\cfrac{2-2lnx-2x^3}{x^2}=g(x)$，当 $x>1$ 时，$g'(x)<0$，故 $g(x)$ 单调递减，

$g(x)_{min}$ 的极限为 $g(1)=-1$，故 $a\geqslant -1$.

对应练习

【对应特殊图像情形】【2019 高三理科数学信息题】已知函数 $f(x)=x^2lnx+1-kx$ 存在零点，则实数 $k$ 的取值范围为【】

$A(-\infty，1]$ $B[1，+\infty)$ $C(-\infty，e]$ $D[e，+\infty)$

分析：已知函数 $f(x)=x^2lnx+1-kx$ 存在零点，即方程 $f(x)=0$ 在定义域 $(0，+\infty)$ 上有解，

分离参数得到 $k=\cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+\cfrac{1}{x}$，令 $h(x)=xlnx+\cfrac{1}{x}$，

则题目转化为 $k=h(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上有解，故要么从数的角度求函数 $h(x)$ 的值域；要么求其单调性，做函数的图像，从形的角度用数形结合求解。

以下用导数求函数 $h(x)$ 的单调性。$h'(x)=lnx+1-\cfrac{1}{x^2}$，

此时需要注意，导函数中出现了 $lnx$，故我们将上述的函数人为的分为两个部分，$y=lnx$ 和 $y=1-\cfrac{1}{x^2}$，先令 $lnx=0$ 得到 $x=1$，在将 $x=1$ 代入 $y=1-\cfrac{1}{x^2}$ 验证也是其零点，说明这两个函数的零点重合，故接下来我们将定义域分为 $(0，1)$ 和 $(1，+\infty)$ 两部分分类讨论即可：

则 $0<x<1$ 时，$h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减，$x>1$ 时，$h'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，则 $h(x)_{min}=h(1)=1$。

即 $h(x)$ 的值域为 $[1，+\infty)$，故 $k\ge 1$，即 $k\in [1，+\infty)$。故选 $B$

或利用单调性得到函数 $h(x)$ 的图像如下，

再利用函数 $y=k$ 和函数 $y=h(x)$ 的图像有交点，得到 $k$ 的取值范围为 $k\in [1，+\infty)$。故选 $B$

【对应特殊图像情形】【2018 河南郑州一模】若对于任意的正整数 $x$，$y$ 都有 $(2x-\cfrac{y}{e})\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{x}{me}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是【】

$A.(\cfrac{1}{e}，1)$ $B.(\cfrac{1}{e^2}，1]$ $C.(\cfrac{1}{e^2}，e]$ $D.(0，\cfrac{1}{e}]$

分析：先将给定的式子通分变形为 $\cfrac{2ex-y}{e}\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{x}{me}$，再次变形为 $(2e-\cfrac{y}{x})\cdot ln\cfrac{y}{x}\leq \cfrac{1}{m}$，

令 $\cfrac{y}{x}=t>0$，则不等式变形为 $(2e-t)\cdot lnt\leq \cfrac{1}{m}$，令 $h(t)=(2e-t)\cdot lnt$，则需要求 $h(t)_{max}$；

$h'(x)=(-1)lnt+(2e-t)\cdot \cfrac{1}{t}=\cfrac{-t(lnt+1)+2e}{t}$，先用观察法或经验找到导函数的分子的零点 $t=e$，

当 $t\in (0，e)$ 时，$h'(t)>0$，$h(t)$ 单调递增，当 $t\in (e，+\infty)$ 时，$h'(t)<0$，$h(t)$ 单调递减，

故 $h(t)_{max}=h(e)=e$，即 $\cfrac{1}{m}\ge e$，解得 $0<m\leq \cfrac{1}{e}$；故选 $D$。

关联题型

• 依托函数的单调性，求函数的极值类型；或已知极值点，求参数的取值范围问题；

【2019 届高三理科数学三轮模拟试题】设 $f(x)=x-alnx$，$a\in R$，

(1). 当 $a=2$ 时，求函数 $f(x)$ 在点 $(1，f(1))$ 处的切线方程；

分析：当 $a=2$ 时，$f(x)=x-2lnx$，$f'(x)=1-\cfrac{2}{x}$，$f'(1)=-1$，故函数 $f(x)$ 在点 $(1，f(1))$ 处的切线方程为 $y-1=-(x-1)$，即 $x+y-2=0$。

(2). 记函数 $g(x)=f(x)-\cfrac{a-1}{x}$，若当 $x=1$ 时，函数 $g(x)$ 有极大值，求 $a$ 的取值范围；

分析：$g(x)=x-alnx-\cfrac{a-1}{x}$，定义域为 $(0，+\infty)$，

则 $g'(x)=1-\cfrac{a}{x}+\cfrac{a-1}{x^2}=\cfrac{x^2-ax+(a-1)}{x^2}=\cfrac{(x-1)[x-(a-1)]}{x^2}$

令 $g'(x)=0$，则 $x_1=1$，$x_2=a-1$，以下针对 $a-1$ 与 $1$ 的关系以及定义域分类讨论如下，

①当 $a-1\leq 0$ 时，即 $a\leq 1$ 时，

当 $x\in (0，1)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，当 $x\in (1，+\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，

故 $x=1$ 不是函数 $g(x)$ 的极大值点，不合题意；

②当 $0<a-1<1$ 时，即 $1<a<2$ 时，

当 $x\in (0，a-1)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，当 $x\in (a-1，1)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，当 $x\in (1，+\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，故 $x=1$ 不是为函数 $g(x)$ 的极大值点，不合题意；

③当 $a-1=1$ 时，即 $a=2$ 时，$g'(x)\ge 0$ 恒成立，故 $x=1$ 不是函数 $g(x)$ 的极值点，不合题意；

④当 $a-1>1$ 时，即 $a>2$ 时，

当 $x\in (0，1)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，当 $x\in (1，a-1)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，当 $x\in (a-1，+\infty)$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，故 $x=1$ 为函数 $g(x)$ 的极大值点，满足题意；

综上所述，当 $a>2$ 时，$x=1$ 为函数 $g(x)$ 的极大值点，即所求的 $a$ 的取值范围是 $(2，+\infty)$.

• 依托函数的单调性，求函数的最值类型；

【2019 高三理科数学二轮复习用题】【2018 宁夏银川一中一模】

已知函数 $f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x$，

(1). 若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

分析：由 $f'(1)=0$，求得 $a=-1$，经验证 $a=-1$ 满足题意。

注意：必须要验证，使得 $f'(x_0)=0$ 的 $x_0$ 不见得就是极值点 (变号零点)，还有不变号零点；

(2). 求函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a^2，a]$ 上的最大值；

分析：由题目可知，定义域为限定定义域 $[a^2，a]$，且由其可知 $a^2-a<0$，解得参数 $a\in (0，1)$；

求导，$f'(x)=\cdots=\cfrac{-2ax+(a-2)x+1}{x}=-\cfrac{(2x-1)(ax+1)}{x}$，做出其导函数的分子图像可知，分类讨论如下：

说明，区间 $[a^2，a]$ 是区间长度变化的区间，用其和 $\cfrac{1}{2}$ 的位置关系分三类讨论如下，

①当 $0<a\leq \cfrac{1}{2}$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 在区间 $[a^2，a]$ 上单调递增，故 $f(x)_{max}=f(a)=lna-a^3+a^2-2a$；

②当 $a^2\ge \cfrac{1}{2}$ 且 $a<1$ 时，即 $\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 在区间 $[a^2，a]$ 上单调递减，故 $f(x)_{max}=f(a^2)=2lna-a^5+a^3-2a^2$；

③当 $\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$f(x)$ 在区间 $[a^2，\cfrac{1}{2}]$ 上单调递增，在区间 $[\cfrac{1}{2}，a]$ 上单调递减，故 $f(x)_{max}=f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{a}{4}-1-ln2$；

综上所述：$y=f(x)$ 在区间 $[a^2，a]$ 上的最大值为 $f(x)_{max}=F(a)$

$F(a)=\left\{\begin{array}{l}{lna-a^3+a^2-2a，0<a\leq \cfrac{1}{2}}\\{\cfrac{a}{4}-1-ln2，\cfrac{1}{2}<a<\cfrac{\sqrt{2}}{2}}\\{2lna-a^5+a^3-2a^2，\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leq a<1}\end{array}\right.$

解后反思：1、参数的范围的给出方式要引起注意；2、分类讨论的标准 ($\cfrac{1}{2}$ 和区间 $[a^2，a]$ 的位置关系分为三类；) 和技巧 (先两边后中间，先简单后复杂)；

• 能转化为求最值的恒成立和能成立类型，或能转化为值域的类型，如上述例 5-2.

• 函数有几个零点问题，转化为 $a=f(x)$ 图像有几个交点问题，要画函数 $f(x)$ 图像需要用到导数求单调性；

• 方程有几个根的问题；

• 两个函数图像有几个交点的问题；

用导数判断函数的单调性时，常以恒正、恒负、正负夹杂三种来分类讨论；

讨论函数 $f(x)=(a-1)lnx+ax^2+1$ 的单调性；

分析：定义域为 $(0，+\infty)$，$f'(x)=\cfrac{a-1}{x}+2ax=\cfrac{2ax^2+a-1}{x}$，

[只需要关注分子函数，其正负取决于两个部分 $2a$ 和 $a-1$，当 $2a>0$ 且 $a-1\geqslant 0$ 时，即 $a\geqslant 1$ 时得到恒正；

当 $2a\leqslant 0$ 且 $a-1< 0$ 时，即 $a\leqslant 0$ 得到恒负；其他情形肯定是正负夹杂的情形]

①当 $a\geqslant 1$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；

②当 $a\leqslant 0$ 时，$f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；

③当 $0<a<1$ 时，令 $f'(x)=0$，解得 $x=\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，

故当 $x\in (0，\sqrt{\frac{1-a}{2a}})$ 时，$f'(x)<0$，当 $x\in (\sqrt{\frac{1-a}{2a}}，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，

即函数 $f(x)$ 在区间 $(0，\sqrt{\frac{1-a}{2a}})$ 单调递减，在区间 $(\sqrt{\frac{1-a}{2a}}，+\infty)$ 上单调递增。

(2017$\cdot$ 北京卷) 已知函数 $f(x)=e^xcosx-x$；

(1)、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0，f(0))$ 处的切线方程。

分析：由题目可知，$f'(x)=e^xcosx+e^x\cdot (-sinx)-1=e^x(cosx-sinx)-1$

则切线的斜率 $k=f'(0)=e^0(cos0-sin0)-1=0$，

又 $f(0)=(e^xcosx-x)_{|x=0}=1$，即切点为 $(0，1)$，

由点斜式可知切线方程为 $y-1=0(x-0)$，

整理得到在点 $(0，f(0))$ 处的切线方程为 $y=1$。

(2)、求函数 $f(x)$ 在区间 $[0，\cfrac{\pi}{2}]$ 上的最大值和最小值。

分析：由上可知，$f'(x)=e^x(cosx-sinx)-1$，

令 $h(x)=e^x(cosx-sinx)-1$，

则 $h'(x)=e^x(cosx-sinx)+e^x(-sinx-cosx)=-2e^xsinx$，

当 $x\in (0，\cfrac{\pi}{2})$ 时， 容易知道 $h'(x)=-2e^xsinx<0$(注意恒有 $e^x>0$)，

即函数 $h(x)$，也就是函数 $f'(x)$，在 $x\in (0，\cfrac{\pi}{2})$ 单调递减，

则 $x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]$ 时，$h(x)\leq h(0)=0$，即 $f'(x)\leq 0$ 恒成立，

即使 $f'(x)=0$，也是仅仅在单独的端点处，不会影响函数 $f(x)$ 的单调性。

则有函数 $f(x)$ 在区间 $[0，\cfrac {\pi}{2}]$ 上单调递减，

故 $f(x)_{min}=f(\cfrac{\pi}{2})=-\cfrac{\pi}{2}$，$f(x)_{max}=f(0)=1$。

感悟反思：

1、关于二阶导的那些事，由解答过程就能看出，函数 $h(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一阶导数，那么函数 $h'(x)$ 其实是函数 $f(x)$ 的二阶导，由于高中阶段我们只接触学习了一阶导数，故答案中一般不出现二阶导 $f''(x)$ 的表示形式，我们做答案是也需要注意这一点。

2、为什么要用二阶导？平时我们的解题经验是一般只给函数 $f'(x)$ 求一次导数得到 $f'(x)$，然后求解导函数不等式，由导函数的正负就知道了原函数 $f(x)$ 的单调性了；但是，不是所有的函数求一阶导后，导函数的正负我们就能一目了然，这时候往往需要针对导函数再求导，也就是二阶导，其目的就是想知道导函数的单调性，在我们的解题体验中，往往是二阶导恒为正或恒为负，这样我们就知道了一阶导的单调性，利用一阶导的端点值 (往往为 0)，从而知道了一阶导的正负，这样原函数的单调性就清楚了。

3、由于上述比较拗口，结合题目做以说明。原函数为 $f(x)$，一阶导为 $f'(x)=h(x)$，二阶导为 $h'(x)=f''(x)$，由于二阶导 $h'(x)=f''(x)=-2e^xsinx<0$ 在 $(0，\cfrac{\pi}{2})$ 上恒成立，则一阶导 $h(x)=f'(x)$ 在 $[0，\cfrac{\pi}{2}]$ 上单调递减；此时一阶导 $h(x)=f'(x)$ 有最值，取哪一个最值，一般取函数值为 0 的那一个。比如 $h(x)_{max}=h(0)=0$，从而知道一阶导 $f'(x)<0$，这样就知道了原函数 $f(x)$ 在 $[0，\cfrac{\pi}{2}]$ 上单调递减；接下来求最值，那还不是小菜一碟吗。

---

1. 注意分类标准和书写顺序，
   先令 $2a=0$，确定函数 $y=e^x$ 的位置，然后让 $2a>0$，再确定 $y=e^x+2a$ 的位置，发现这两种情形下的 $y=e^x+2a>0$ 恒成立，故可以合二为一；
   等讨论完了这种情形后，在讨论 $2a<0$，很显然 $2a\geqslant 0$ 要简单一些，故首先书写，先确定拿到一部分成绩，稳定心神； ↩︎