2018年全国卷Ⅰ卷文科数学解析
前言
选择题
分析:自行做出示意图,由选项可知,可以将角的终边放置在第一象限,这样\(b>a\),
从而所求\(|a-b|=\cfrac{|a-b|}{1}=\cfrac{b-a}{1}=tan\alpha\),
到此题目转化为已知\(cos2\alpha=\cfrac{2}{3}\),求\(tan\alpha\)的值,
即已知\(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=\cfrac{2}{3}\),
从而解得\(tan^2\alpha=\cfrac{1}{5}\),则\(tan\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\),故选\(B\)。
解答题
(1)、设\(x=2\)是\(f(x)\)的极值点,求\(a\),并求\(f(x)\)的单调区间。
分析:\(f'(x)=ae^x-\cfrac{1}{x}\),由\(f'(2)=0\),解得\(a=\cfrac{1}{2e^2}\);
即\(f(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1\);
下面求单调区间,定义域是\((0,+\infty)\),
【法1】:\(f'(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{2e^2}\cdot \cfrac{xe^x-2e^2}{x}\)
到此,结合题目给定的\(f'(2)=0\),猜想验证,写出结果,
当\(0< x <2\)时,\(f'(x )<0\),当\(x >2\)时,\(f'(x) >0\),
故单调递减区间是\((0,2)\),单调递增区间是\((2,+\infty)\);
【法2】:令\(f'(x)>0\),即\(\cfrac{e^x}{2e^2}>\cfrac{1}{x}\),即\(xe^x-2e^2>0\),观察可得,\(x >2\)
同理,令\(f'(x)<0\),可得\(0< x < 2\),
故单调递减区间是\((0,2)\),单调递增区间是\((2,+\infty)\);
(2)、证明\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时,\(f(x)\ge 0\)。
【法1】: 已知题目\(a\ge \cfrac{1}{e}\)是\(f(x)\ge 0\)的充分条件,转化为求\(f(x)\ge 0\)恒成立时,求解\(a\)的取值范围,即必要条件。
由题目\(f(x)\ge 0\)可知,\(ae^x-lnx-1 \ge 0\),即\(ae^x\ge lnx+1\),
分离参数得到\(a\ge \cfrac{lnx+1}{e^x}\)恒成立,
令\(h(x)= \cfrac{lnx+1}{e^x}\),只需要求得\(h(x)_{max}\),
\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{\cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x}\)
\(=\cfrac{1}{e^x}\cdot \cfrac{1-x-x\cdot lnx}{x}\)
说明:此时有一个很实用的数学常识,当表达式中含有\(lnx\)时常常用\(x=1\)来尝试寻找分点。比如此题中\(h'(1)=0\)
然后分\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)两段上分别尝试判断其正负,从而得到
当\(0< x <1\)时,\(h'(x)>0\),\(h(x)\)单调递增,
当\(x >1\)时,\(h'(x)<0\),\(h(x)\)单调递减,
故\(x=1\)时,函数\(h(x)_{max}=h(1)=\cfrac{1}{e}\),
故\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时,\(f(x)\ge 0\)。
小结:1、本题转而求\(f'(x)\ge 0\)的必要条件。
2、注意含有\(lnx\)或\(ln(x+1)\)的表达式的分点的尝试,其实质是数学中的观察法。
【法2】:分析,当\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时,\(f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x)\),只需要说明\(g(x)_{min}\ge 0\)即可。
当\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时,\(f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1\),
设\(g(x)=\cfrac{e^x}{e}-lnx-1\),则\(g'(x)=\cfrac{e^x}{e}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{e}\cdot \cfrac{xe^x-1\cdot e^1}{x}\),
故用观察法容易得到
\(0< x <1\)时,\(g'(x)<0\),\(x > 1\)时,\(g'(x)>0\),
即\(x=1\)是函数\(g(x)\)的最小值点,则\(x>0\)时,\(g(x)\ge g(1)=0\),
故\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时,\(f(x)\ge 0\)。
分析:对应图像