2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

选择题

\(\cfrac{1+2i}{1-2i}=\)【\(\hspace{4em}\)】

A.\(-\cfrac{4}{5}-\cfrac{3}{5}i\hspace{4em}\) B. \(-\cfrac{4}{5}+\cfrac{3}{5}i\hspace{4em}\) C. \(-\cfrac{3}{5}-\cfrac{4}{5}i\hspace{4em}\) D.\(-\cfrac{3}{5}+\cfrac{4}{5}i\hspace{4em}\)

【解析】\(\cfrac{1+2i}{1-2i}=\cfrac{(1+2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}=\cfrac{1+4i^2+4i}{1-4i^2}=-\cfrac{3}{5}+\cfrac{4}{5}i\)，故选D，送分题。

【说明】文科考查复数的乘法运算，理科考查复数的除法运算。

【2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]】函数\(f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}\)图像大致是【\(\hspace{2em}\)】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。

法1：由题目先分析函数的奇偶性，设\(g(x)=e^x-e^{-x}\)，则\(g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)\)，即函数\(g(x)\)为奇函数，又函数\(y=x^2\)为偶函数，故函数\(f(x)\)为奇函数，排除选项A；再由特殊值法，令\(x=3\)，则估算\(f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2\)，排除C、D；故选B。

法2：还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；单调性，\(f'(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}\)，接下来常规方法是判断其在\(x>0\)时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，故函数\(f(x)\)在\((2，+\infty)\)上单调递增，故排除C和D，从而选B。

反思：1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如 奇+奇=奇，奇\(\times\)奇=偶，奇\(\times\)偶=奇，奇/偶=奇，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。

建议：常见函数的奇偶性需要记忆比如，\(f(x)=|x|\)，\(f(x)=e^x+e^{-x}\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函数；\(y=x^3\)，\(y=e^x-e^{-x}\)，\(y=Asin\omega x\)都是奇函数。

已知向量\(\vec{a}，\vec{b}\)满足\(|\vec{a}|=1\)，\(\vec{a}\cdot \vec{b}=1\)，则\(\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=\)【\(\hspace{4em}\)】

$A.4$ $B.3$ $C.2$ $D.0$

【解析】\(\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times1+1=3\)，故选B，送分题。

双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)\)的离心率为\(\sqrt{3}\)，则其渐近线方程为【\(\quad\)】

$A.y=\pm\sqrt{2}x$ $B.y=\pm\sqrt{3}x$ $C.y=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}x$ $D.y=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}x$

【解析】由已知\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则有\(c=\sqrt{3}k(k>0)\)，\(a=k\)，从而\(b=\sqrt{2}k\)，

由\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)，得到其渐近线方程为\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0\)，即\(y=\pm\cfrac{b}{a}x=\pm\cfrac{\sqrt{2}k}{k}x=\pm\sqrt{2}x\)，故选A。

【建议】巧妙记忆：双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0\)；

在\(\Delta ABC\)中，\(cos\cfrac{C}{2}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(BC=1\)，\(AC=5\)，则\(AB=\)【\(\hspace{4em}\)】

$A.4\sqrt{2}$ $B.\sqrt{30}$ $C.\sqrt{29}$ $D.2\sqrt{5}$

【解析】由降幂升角公式得到，\(cosC=2cos^2\cfrac{C}{2}-1=-\cfrac{3}{5}\)，

再由余弦定理可得，\(AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot cosC\)

\(=25+1-2\times 5\times 1\times(-\cfrac{3}{5})=32\)，故\(AB=4\sqrt{2}\)，选A。

填空题

已知\(sin\alpha+cos\beta=1\)，\(cos\alpha+sin\beta=0\)，则\(sin(\alpha+\beta)\)=___________。

法1：见参考答案，分别解出\(sin\alpha\)和\(cos\beta\)，再计算即可。

法2：给已知两式同时平方，即得到

\(sin^2\alpha+cos^2\beta+2sin\alpha cos\beta=1\)，\(cos^2\alpha+sin^2\beta+2cos\alpha sin\beta=0\)，

再相加得到\(2+2(sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta)=1\)，

即\(2sin(\alpha+\beta)=-1\)，\(sin(\alpha+\beta)=-\cfrac{1}{2}\)。

【说明】平方相加的变形技巧和参数方程中的平方消参法相同。

解答题

【2018年全国卷Ⅱ卷理科数学第21题】已知函数\(f(x)=e^x-ax^2\)。

(1).若\(a=1\)，证明：当\(x\ge 0\)时，\(f(x)\ge 1\)。

解析：法1，当\(a=1\)时，\(f(x)=e^x-x^2\)，即需要证明 \(h(x)=e^x-x^2-1\ge 0\) 在\([0，+\infty)\)上恒成立，

只需要证明\(h(x)_{min}\ge 0\)恒成立即可。

\(h'(x)=e^x-2x\)，再令\(g(x)=e^x-2x\)，

则\(g'(x)=e^x-2\)，令\(g'(x)>0\)得到\(x > ln2\)，令\(g'(x) <0\) 得到 $ 0\leq x < ln2$

故在\([0，ln2)\)上，\(g'(x)<0\)，\(h'(x)\)单调递减，

在\((ln2，+\infty)\)上，\(g'(x)>0\)，\(h'(x)\)单调递增，

故\(h'(x)_{min}=h'(ln2)=e^{ln2}-2ln2=2-2ln2=2(1-ln2)>0\)，

即\(h'(x)>0\)恒成立，故\(h(x)\)在\([0，+\infty)\)单调递增，

则有\(h(x)_{min}=h(0)=e^0-0^2-1=0\)，即\(h(x)\ge 0\)。

也即\(e^x-x^2\ge 1\)，即当\(x\ge 0\)时，\(f(x)\ge 1\)。

法2：从形入手，借助形来分析。

(2).若\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上只有一个零点，求\(a\)。

解析：若\(f(x)=e^x-ax^2\)在\((0，+\infty)\)上只有一个零点，

则方程\(e^x-ax^2=0\)在\((0，+\infty)\)上只有一个解，分离参数得到，

方程\(a=\cfrac{e^x}{x^2}\)在\((0，+\infty)\)上只有一个解，

令\(h(x)=\cfrac{e^x}{x^2}\)，则\(h'(x)=\cfrac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\cfrac{e^x(x-2)}{x^3}\)，

即\(0< x <2\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，\(x >2\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

即\(h(x)_{min}=h(2)=\cfrac{e^2}{4}\)，做出其示意图可知，

当函数\(y=a\)和函数\(h(x)=\cfrac{e^x}{x^2}\)图像仅有一个交点时，\(a=\cfrac{e^2}{4}\)，

即方程\(e^x-ax^2=0\)在\((0，+\infty)\)上只有一个解，\(a=\cfrac{e^2}{4}\)，

也即函数\(f(x)=e^x-ax^2\)在\((0，+\infty)\)上只有一个零点，\(a=\cfrac{e^2}{4}\).