三种数学语言的相互转化

高中数学中的三种常用的数学语言：自然语言，符号语言，图形语言，她们在题目的求解中会不停的转化，如果不了解她们的转化，碰到题目准会抓瞎。

[初中]求证：两直线平行，同旁内角的角平分线相互垂直。

自然语言，图形语言，符号语言的转化；

：函数的对称性的转化

自然语言：函数\(f(x)\)的对称轴是\(x=2\) $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x+4)=f(-x)\)尤其需要注意和理解等价的写法：\(f(x+3)=f(1-x)\)或\(f(x+2)=f(2-x)\)或\(f(4-x)=f(x)\)

自然语言：函数\(f(x)\)的对称中心是\((2，1)\) $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x+4)+f(-x)=2\)尤其需要注意和理解等价的写法：\(f(x+3)+f(1-x)=2\)或\(f(x+2)+f(2-x)=2\)或\(f(4-x)+f(x)=2\)

符号语言：正弦型函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(\cfrac{\pi}{3}-x)\) $\Leftrightarrow $ 自然语言：函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=\cfrac{\pi}{6}\)尤其注意，同时\(x\)\(=\)\(\cfrac{\pi}{6}\)能使得函数值取到最值；

：补充立体几何中线面位置关系 线线、线面、面面平行，垂直

：

符号语言：\(\forall x_1\in A\)，\(\exists x_2\in B\)，使得方程\(g(x_2)=f(x_1)\)成立，先转化如下，

符号语言：\(\{y\mid y=f(x)，x\in A\}\subseteq \{y\mid y=g(x)，x\in B\}\)；

自然语言：即函数\(y=f(x)\)的值域是函数\(y=g(x)\)的值域的子集。

：

符号语言：\(ab=0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(a=0\)或\(b=0\)；

符号语言：\(ab\neq 0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(a\neq 0\)且\(b\neq0\)；

符号语言：\(ab\ge 0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0 \end{cases}\)；

符号语言：\(ab\leq 0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\leq 0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\ge 0 \end{cases}\)；

符号语言：\(a^2+b^2=0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(a=0\)且\(b=0\)； 自然语言：\(a、b\)全为零；

符号语言：\(a^2+b^2\neq 0\Leftrightarrow\) 自然语言：\(a\neq 0\)或\(b\neq 0\)； 自然语言：\(a、b\)不全为零；

：

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(x)=-g(x)\)有解；

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(-x)=g(x)\)有解；

自然语言：若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点\((0，0)\)的对称点，$\Leftrightarrow $ 符号语言：方程\(f(x)=-g(-x)\)有解；

：恒成立、能成立类命题

• 一端为参数，另一端为函数的类型：

①自然语言：\(A\ge f(x)\)在区间\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\ge f(x)_{max}\)；

自然语言：\(A\leq f(x)\)在区间\([a，b]\)上恒成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\leq f(x)_{min}\)；

②自然语言：\(A\ge f(x)\)在区间\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\ge f(x)_{min}\)；

自然语言：\(A\leq f(x)\)在区间\([a，b]\)上能成立， $\Leftrightarrow $ 符号语言：\(A\leq f(x)_{max}\)；

• 两端都是函数，双变量类型：

③符号语言：对\(\forall x_1\in [2，3]\)，\(\exists x_2\in [4，5]\)，满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{min}\)；

④符号语言：对\(\forall x_1\in [2，3]\)，\(\forall x_2\in [4，5]\)，满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x_1)_{min}\ge g(x_2)_{max}\)；

⑤符号语言：对\(\exists x_1\in [2，3]\)，\(\exists x_2\in [4，5]\)，满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x_1)_{max}\ge g(x_2)_{min}\)；

⑥符号语言：对\(\exists x_1\in [2，3]\)，\(\forall x_2\in [4，5]\)，满足\(f(x_1)\ge g(x_2)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(f(x_1)_{max}\ge g(x_2)_{max}\)；

• 两端都是函数，单变量类型：

⑦符号语言：对\(\forall x\in [2，3]\)，都满足\(f(x)\ge g(x)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\([f(x)-g(x)]_{min}\ge 0\)；

错误转化：\(f(x)_{min}\ge g(x)_{max}\)，反例代表如：\(e^x\ge x+1\)；

⑧符号语言：对\(\forall x\in [2，3]\)，都满足\(f(x)\leq g(x)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\([f(x)-g(x)]_{max}\leq 0\)；

错误转化：\(f(x)_{max}\leq g(x)_{min}\)，反例代表如：\(x+1\leq e^x\)；

：【数列中的表达式】

①符号语言：\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q常数)\)；$\Leftrightarrow $ 自然语言：数列\(\{a_n\}\)为等比数列；

②符号语言：\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=q(q常数)\)；$\Leftrightarrow $ 自然语言：数列\(\{a_n\}\)的奇数项和偶数项分别为等比数列；

③符号语言：\(a_{n+1}-{a_n}=d(d常数)\)；$\Leftrightarrow $ 自然语言：数列\(\{a_n\}\)为等差数列；

④符号语言：\(a_{n+2}-{a_n}=d(d常数)\)；$\Leftrightarrow $ 自然语言：数列\(\{a_n\}\)的奇数项和偶数项分别为等差数列举例如，数列\(\{a_n\}\)满足条件：\(a_1=1\)，\(a_3=3\)，\(a_5=5\)，\(\cdots\)，则满足\(a_{n+2}-a_n=2\)(\(n\)为奇数)；\(a_2=1\)，\(a_4=3\)，\(a_6=5\)，\(\cdots\)，则满足\(a_{n+2}-a_n=2\)(\(n\)为偶数)；则数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+2}-a_n=2\)\((n\in N^*)\)，但数列\(\{a_n\}\)不是等差数列。
；

：【二次函数的系数】

①自然语言：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，有且只有一个零点；$\Leftrightarrow $ 符号语言：\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；

②自然语言：已知二次函数\(f(x)=x^2-ax+a(a>0，x\in R)\)，\(f(x)\)的值域为\([0，+\infty)\)；$\Leftrightarrow $ 符号语言：则\(\Delta =0\)，解得\(a=4\)；

：【三角函数图像的平移】

①自然语言：将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像重合。$\Leftrightarrow $ 符号语言：则平移长度必然等于周期的整数倍，或者平移前后的自变量整体差值为\(k\cdot 2\pi(k\in Z)\)；
②自然语言：将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像对称轴重合。$\Leftrightarrow $ 符号语言：则平移长度必然等于半周期的整数倍，或者平移前后的自变量整体差值为\(k\cdot π(k\in Z)\)；

：【线段等分点的向量给出方式】

二等分点(中点)：① 符号语言：\(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，$\Leftrightarrow $ 自然语言： 则点\(O\)是\(AB\)的中点；即\(|OA|=|OB|\)；

三等分点： 符号语言：\(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，$\Leftrightarrow $ 自然语言： 则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的三等分点；即\(|OA|=2|OB|\)；

相关变形技巧：\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}\)，

将其系数做恰当的拆分得到，\((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\vec{0}\)，

如图即\(2\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OE}\)，即\(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OE}\)，

即可知点\(O\)一定在\(\Delta ABC\)的中位线\(DE\)上，且在中位线上靠近点\(E\)的三等分点处。

四等分点： 符号语言：\(\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}\)，或\(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\)，$\Leftrightarrow $ 自然语言： 则点\(O\)是\(AB\)的靠近\(B\)的四等分点；即\(|OA|=3|OB|\)；

：【一元二次方程根的分布的给出方式】

• 函数\(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t\)，则“\(\exists a，b\in (0，1)\)，使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题的含义？

文字语言：说明函数\(g(x)\)在区间\((0，1)\)上有两个零点，即函数\(g(x)\)须满足条件：

符号语言：\(\left\{\begin{array}{l}{g(0)>0}\\{g(1)>0}\\{0<-\cfrac{-2(t+1)}{2\times 3}<1}\\{\Delta \ge 0}\end{array}\right.\)，解得\(0<t<1\)，

图形语言：如下图所示，

• 函数\(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t\)，则“\(\exists a\in (0，1)\)，\(\exists b\in (1，2)\)，使得\(g(a)=g(b)=0\)”为真命题的含义？

文字语言：说明函数\(g(x)\)在区间\((0，1)\)和区间\((1，2)\)上各有一个零点，即函数\(g(x)\)须满足条件：

符号语言：\(\left\{\begin{array}{l}{g(0)>0}\\{g(1)<0}\\{g(2)>0}\end{array}\right.\)；

图形语言：如下图所示，

文字语言：若\(ax-y+1-a=0\)恒成立，

符号语言：转化为\(y=ax+1-a\)，将参数放置在斜率和截距两个位置，不利于观察总结；

符号语言：转化为\(a=\cfrac{y-1}{x-1}\)，显然后者的转化思路更利用解决问题；

文字语言：以双曲线的右焦点为圆心，以r=\(\cfrac{c}{2}\)的圆与双曲线的两条渐近线有公共点；

符号语言：使用联立直线方程和双曲线的方程，使用\(\Delta \ge 0\)的思路，也可以利用圆心到直线的距离小于半径的思路，很明显第二个思路的运算量要小一些。

文字语言：要保证两个函数有两个交点，直线\(y=-x-a\)不能再往上走了，

符号语言：\(-0-a\leq 1\)，解得\(a\ge -1\)；

文字语言：存在实数\(b\)，使得函数\(g(x)=f(x)+b\)有两个零点，图形语言：意味着直线\(y=-b\)与函数\(y=f(x)\)的图像有两个交点，

符号语言：\(A=\{x\mid ax^2-ax+1\leqslant 0\}=\varnothing\)，自然语言：仿二次不等式\(ax^2-ax+1\leqslant 0\)无解或解集为空集；

[题目中的数学符号语言学生不容易理解]设集合\(A_n=\{x\mid x=7m+1，2^n<x<2^{n+1}，m\in N\}\)，则\(A_6\)中的所有元素之和为\(891\)。

分析：当\(n=6\)时，由\(2^6<x<2^7\)得到\(2^6<7m+1<2^7\)，解得\(9<m\leqslant 18\)，由于\(m\in N\)，

则\(10\leqslant m\leqslant 18\)，即\(A_6\)中的所有元素构成一个等差数列，其首项为\(7\times 10+1=71\)，公差为\(7\)，项数为\(9\)项，

故所有元素之和为\(S=9\times 71+\cfrac{9\times 8}{2}\times 7=891\)。

已知函数 \(f(x)=2\sin\omega x-\cos\omega x(\omega>0)\)，若 \(f(x)\) 的两个零点 \(x_{1}\)，\(x_{2}\) 满足 \(|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)，依题意可得\(\cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{\min }=2\)，

设函数 \(f(x)=\cos(\omega x-\cfrac{\pi}{6})(\omega>0)\)， 若 \(f(x) \leqslant f(\cfrac{\pi}{4})\) 对任意的实数 \(x\)都成立，所以当 \(x=\cfrac{\pi}{4}\) 时, \(f(x)\) 取得最大值；且由函数的类型，还可以知道，\(x=\cfrac{\pi}{4}\) 为函数的对称轴。

已知函数 \(f(x)=a^{x}+x^{2}-x\ln a\)， 若对任意 \(x_{1}\)， \(x_{2}\)\(\in[0,1]\)， 不等式 \(\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\leqslant a-2\) 恒成立， 则实数 \(a\) 的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[e^2,+\infty)$ $B.[e,+\infty)$ $C.[2,e]$ $D.[e,e^2]$

解析： 依题意可知， 对任意 \(x_{1}\)， \(x_{2}\)\(\in[0,1]\)， 不等式\(\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\leqslant a-2\)学生对此理解不了，此处是恒成立，需要左端的是最大值，而左端带有绝对值，我们可以考虑用 \(f(x)_{\max}\)\(-\)\(f(x)_{\min}\) 来刻画，这样也就去掉了绝对值。恒成立，

即当 \(x\in[0,1]\) 时， \(f(x)_{\max}-f(x)_{\min}\leqslant a-2\) 且 \(a>2\)，

因为 \(f^{\prime}(x)=\left(a^{x}-1\right)\ln a+2 x\)，所以当 \(x>0\) 时， \(f^{\prime}(x)>0\)， 函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上単调递增，

则 \(f(x)_{\text {max }}=f(1)=a+1-\ln a\)， \(f(x)_{\text {min }}=f(0)=1\)，

所以 \(f(x)_{\max }-f(x)_{\min }=a-\ln a\)， 所以 \(a-\ln a \leqslant a-2\)， 得 \(a \geqslant {e}^{2}\) . 故选 \(A\) .