用图像解不等式
当题目给定一个不等式让我们求解时，我们一般的思维都是想着从数的角度求解，但是不是所有的不等式都能从数的角度利用代数方法求解，比如给定的不等式为抽象不等式，或者超越不等式等，此时从数的角度就没法展开，必须从形的角度入手分析，将不等式两端的大小关系体现在图像上，变成图像位置的高低关系，通过读图就可解。
前言
为什么要用图像解不等式？自然是用数的角度不能顺利求解，要么不等式是超越不等式，要么是抽象不等式，或者是分段函数不等式等等；总之一句话，从数的角度思考不能解决的，都可以尝试考虑换个角度，从形入手分析。
求解原理
定义域值域
题型解法
用图像解抽象或分段不等式
解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式
法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为\((-1，0)\cup(1，3)\)；
法2：利用积的符号法则求解，
原不等式等价于\(\begin{cases}x>0\\f(x)>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x<0\\f(x)<0\end{cases}\)，
读图即可解答，解集为\((-1，0)\cup(1，3)\)；
感悟反思：1、学图像，用图像，天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像，对解题很有帮助。
分析：由于\(f(x+1)\)为偶函数，故其满足\(f(-x+1)=f(x+1)\)，则函数\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)，
可以先做出函数\(y=f(x+1)\)的示意图，再向右平移一个单位得到函数\(y=f(x)\)的示意图如下，
不等式\((x-1)\cdot f(x)\leqslant 0\)可化为\(\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{f(x)\leqslant 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x<1}\\{f(x)\geqslant 0}\end{array}\right.\)
解读图像可知，解集为\(\{x\mid x\leqslant 0或1<x\leqslant 2\}\)，故\(x\in (-\infty，0]\cup(1，2]\).
用图像解超越不等式
解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式
分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，
因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。
比如分别作出两个函数\(y=lnx\)和\(y=1-x\)的图像观察求解，如右图所示，解集为\((1，+\infty)\)；
思路2：从数的角度，利用函数计算，令\(g(x)=lnx+x-1(x>0)\)，
则\(g'(x)=\cfrac{1}{x}+1>0\)恒成立，故\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
又\(g(1)=0\)，故\(0< x<1\)时，\(g(x)<0\)，\(x>1\)时\(g(x) >0\)，
综上，故\(x\)的取值范围为\((1，+\infty)\)。
感悟反思：1、同类题目牛刀小试一下；2、超越不等式
-
解关于\(x\)的不等式\(2^x>1-x\)；解集为\((0，+\infty)\)；
-
解关于\(x\)的不等式\(log_2^x>\cfrac{2}{x}\)；解集为\((2，+\infty)\)；
用图像解构造的函数不等式
解法思路：利用条件先做出导函数的图像，然后读图解不等式
【法1】注意到\(xf'(x)-f(x) <0\)，故构造函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，则函数\(g(x)\)为偶函数；
\(g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\)，结合当\(x>0\)时，\(xf'(x)-f(x)<0\)，
可知，当\(x >0\)时，\(g'(x)<0\)，即\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，
由偶函数可知，\(g(x)\)在\((-\infty，0)\)上单调递增，
又\(f(-1)=0\)，即\(g(-1)=\cfrac{f(-1)}{-1}=0\)，且\(g(1)=g(-1)=0\)，
从而做出\(g(x)\)的图像如图所示，
以下说明如何利用\(g(x)\)的图像解不等式\(f(x)>0\)；
第一象限的函数图像(注意此时有\(0 < x <1\))，满足\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}>0\) 且 \(x >0\)，
由符号法则得\(f(x)>0\)，将这段函数图像向\(x\)轴作射影，
得到\(0<x<1\)，即当\(0< x <1\)时，必有\(f(x) >0\) 成立；
同理可知，由第二象限的图像，注意此时有\(-1< x <0\)及 \(g(x)>0\)，可得当\(-1< x <0\)时，必有\(f(x)<0\)，不符；
同理，由第三象限的图像，注意此时有\(x <-1\)及 \(g(x)>0\)，可得当\(x <-1\)时，必有\(f(x) >0\)，符合；
同理，由第四象限的图像，注意此时有\(x >1\)及 \(g(x) <0\)，可得当\(x >1\)时，必有\(f(x) <0\)，不符；
综上所述，\(f(x)>0\)的解集是\((-\infty，-1)\cup(0，1)\)。选A
【法2】有了法1做基础，我们可以简化如下，\(y\)轴右侧的图像，代表\(x >0\)，
那么\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)的分母就为正，现在要求解\(f(x) >0\)，此时必然会选择\(x\)轴上方的图像，其满足 \(g(x) >0\)，
故将这段图像向\(x\)轴作射影，落在区间\((0 ，1)\)上，故有\(0< x <1\)时，\(f(x) >0\)；
而\(y\)轴左侧的图像，代表\(x <0\)，
那么\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)的分母就为负，现在要求解\(f(x)>0\)，此时必然会选择\(x\)轴下方的图像，其满足 \(g(x)<0\)，
故将这段图像向\(x\)轴作射影，落在区间\((-\infty ，-1)\)上，说明\(x <-1\)时，\(f(x)>0\)；
综上所述，\(f(x)>0\)的解集是\((-\infty，-1)\cup(0，1)\)。选\(A\)
感悟反思：若\(g(x)=x\cdot f(x)\)或者\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，由符号法则可知，\(g(x)\)的正负取决于其因子\(x\)和\(f(x)\)的正负；
分析：令\(h(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}\)，则可知\(h(x)\)为奇函数，
则\(h'(x)=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)，
由\(x<0\)时\(f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)\)，
可得\(x\in(0，+\infty)\)时，\(h'(x)>0\)，即\(h(x)\)单调递增，
由奇函数可知，\(x\in (-\infty，0)\)时，\(h(x)\)单调递增，
且\(h(0)=0\)，由\(f(-3)=0\)还可得到\(h(-3)=h(3)=0\)
做出示意图，由图可知，
故由\(h(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}<0\)，可得\(x\in(-\infty，-3)\cup(0，3)\)。
又\(\cfrac{f(x)}{g(x)}<0\)等价于\(f(x)g(x)<0\)，
故不等式\(f(x)g(x)＜0\)的解集是\(x\in(-\infty，-3)\cup(0，3)\)。
解： 由 \(f(x)=\lg x+(a-2) x-2 a+4>0\)， 得 \(\lg x>(2-a) x+2 a-4\)
由题意可知，满足不等式\(\lg x>(2-a)x+2a-4\) 的解中有且只有两个整数，
即函数\(y=\lg x\) 在直线 \(y=(2-a) x+2 a-4\) 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，如图所示，
由图像可知，由于\(y=(2-a)x+2a-4=(2-a)(x-2)\)，该直线过定点\((2,0)\)，如果想要了解更多，请参阅博文函数或曲线恒过定点
要使得函数\(y=\lg x\) 在直线 \(y=(2-a) x+2 a-4\) 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，
则有\(\left\{\begin{array}{l}{2-a>0}\\{\lg 3\leqslant 3(2-a)+2a-4}\end{array}\right.\) \(\quad\)说明此处如果令\(2\)\(-a\)\(\leqslant\)\(0\)，则不等式的解集中会有无穷多的整数，则不满足题意；不太好理解的是不等式\(\lg3\)\(\leqslant\)\(3(2-a)\)\(+\)\(2a\)\(-4\)为什么要取到等号。当取得等号时，由于不等式是\(\lg x\)\(>\)\((2-a)x\)\(+\)\(2a\)\(-4\)，故解集中不会有\(x=3\)，故此处必须取到等号；
即\(\left\{\begin{array}{l}{a<2}\\{2-a\geqslant \lg3}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得，\(a\leqslant 2-\lg 3\)，
又由于\(a>0\)，故\(0<a\leqslant 2-\lg3\)，故选\(A\).
〔分析〕：本题目涉及到函数的拆分构造，函数性质的判断，利用函数图像解不等式等比较高深的数学知识，对学生的能力有一定的要求，也能较好的区分学生的数学素养。
其一：由于要解的不等式为 \(f(x)\)\(<\)\(\cfrac{2}{x}\)\(+\)\(\sin\pi x\) ，观察其结构，发现其构成部分中，\(y=f(x)\) 为抽象函数且为奇函数，\(y=\sin\pi x\) 是超越函数，故整个不等式应该是超越不等式，其求解不能采用代数方法，而应该利用函数的图像来解不等式；
其二：当我们考虑要做不等式两端的函数图像时发现，\(y=f(x)\) 的图像好做，但是 \(y\)\(=\)\(\cfrac{2}{x}\)\(+\)\(\sin\pi x\) 的图像不好做，注意到 \(y=\cfrac{2}{x}\) 为奇函数，而 \(y=f(x)\) 也是奇函数，故可以将二者通过移向加以整合为一个奇函数，从而其图像变得可做，剩余的 \(y=\sin\pi x\) 的图像我们是会做的，这样从形的角度求解不等式的思路就打通了；
其三：在具体作图中，会涉及到两个函数的图像的位置关系问题，到时间可以利用特殊点的位置高低来确定。
〔解析〕: 由于 \(f(x)\) 为 \((-\infty, 0)\cup(0,+\infty)\) 上的奇函数，故满足 \(f(-x)=-f(x)\)，
令 \(g(x)=f(x)-\cfrac{2}{x}\)其实此处用“奇+奇=奇”，就可以快速判断整合后的函数的奇偶性。， 则 \(g(-x)=f(-x)+\cfrac{2}{x}=-f(x)+\cfrac{2}{x}=-g(x)\)，
所以 \(g(x)\)为 \((-\infty, 0)\cup(0,+\infty)\) 上的奇函数；
由于 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 0)\) 上单调递增， \(y=-\cfrac{2}{x}\) 在 \((-\infty,0)\) 上单调递增，
则 \(g(x)\) 在 \((-\infty, 0)\) 上单调递增其实此处用“增+增=增”，就可以快速判断整合后的函数的单调性。， 由奇函数性质知 \(g(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增；
又由于 \(f(-1)=-2\)， 则\(g(-1)=f(-1)+2=0\)， 则由 \(g(x)\) 为奇函数可知 \(g(1)=-g(-1)=0\)，
又 \(f(\cfrac{5}{2})>f(1)=-f(-1)=2\)， 则 \(g(\cfrac{5}{2})=f(\cfrac{5}{2})-\cfrac{2}{\frac{5}{2}}=f(\cfrac{5}{2})-\cfrac{4}{5}>1\)，
而 当 \(x=\cfrac{5}{2}\) 时， \(\sin\pi x=\sin\cfrac{5\pi}{2}=1\)， 故有 \(g(\cfrac{5}{2})>\sin\cfrac{5\pi}{2}\) ，
由此可在坐标系中画出 \(g(x)\) 与 \(y=\sin\pi x\) 大致图象如下图其中 \(y=\sin\pi x\) 的图像大家应该能做，而做函数 \(y=g(x)\) 图像时要注意，\(y\) 轴是其渐近线，在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，且经过点 \((1,0)\) ，通过上述的计算可知，在 \((1,+\infty)\) 上 \(y=g(x)\) 与 \(y=\sin\pi x\) 两个函数图像再没有交点。所示:
这样，原本的不等式，\(g(x)<\sin\pi x\) 就从形的角度刻画出来了，大小关系体现在图像是变成了图像位置的高低关系了，通过读图可知:
当 \(x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)\) 时， \(g(x)<\sin\pi x\)， 即当 \(x\in(-\infty,-1)\cup(0\), 1)时， \(f(x)<\cfrac{2}{x}+\sin\pi x\) 。
记事备忘
有时间补充，用图像解三角不等式、对数不等式、指数不等式等等，还有代数不等式，如二次不等式；一次不等式，分式不等式，高次不等式等等。
