用图像解不等式

公式定理💯随心记

【二项式定理】展开式：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$，通项公式：$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k$，二项式系数之和 $\sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k=2^n$

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前言

为什么要用图像解不等式？自然是用数的角度不能顺利求解，要么不等式是超越不等式，要么是抽象不等式，或者是分段函数不等式等等；总之一句话，从数的角度思考不能解决的，都可以尝试考虑换个角度，从形入手分析。

求解原理

定义域值域

题型解法

用图像解抽象或分段不等式

函数 $f(x)$ 是周期为 4 的偶函数，当 $x\in[0，2]$ 时，$f(x)=x-1$，求不等式 $x\cdot f(x)>0$ 在 $[-1，3]$ 上的解集。

解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式

法 1：自己作图如右，读图即可解答，解集为 $(-1，0)\cup(1，3)$；

法 2：利用积的符号法则求解，

原不等式等价于 $\begin{cases}x>0\\f(x)>0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x<0\\f(x)<0\end{cases}$，

读图即可解答，解集为 $(-1，0)\cup(1，3)$；

感悟反思：1、学图像，用图像，天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像，对解题很有帮助。

【2020 届高三文科数学用题】设函数 $y=f(x+1)$ 是定义在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的偶函数，在区间 $(-\infty,0)$ 上是减函数，且图像经过点 $(1，0)$，则不等式 $(x-1)\cdot f(x)\leqslant 0$ 的解集为______。

分析：由于 $f(x+1)$ 为偶函数，故其满足 $f(-x+1)=f(x+1)$，则函数 $f(x)$ 的对称轴为 $x=1$，

可以先做出函数 $y=f(x+1)$ 的示意图，再向右平移一个单位得到函数 $y=f(x)$ 的示意图如下，

不等式 $(x-1)\cdot f(x)\leqslant 0$ 可化为 $\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{f(x)\leqslant 0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x<1}\\{f(x)\geqslant 0}\end{array}\right.$

解读图像可知，解集为 $\{x\mid x\leqslant 0 或 1<x\leqslant 2\}$，故 $x\in (-\infty，0]\cup(1，2]$.

用图像解超越不等式

解关于 $x$ 的不等式 $lnx>1-x$；

解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法 (代数解法) 已经不能做出来了，

因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

比如分别作出两个函数 $y=lnx$ 和 $y=1-x$ 的图像观察求解，如右图所示，解集为 $(1，+\infty)$；

思路 2：从数的角度，利用函数计算，令 $g(x)=lnx+x-1(x>0)$，

则 $g'(x)=\cfrac{1}{x}+1>0$ 恒成立，故 $g(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，

又 $g(1)=0$，故 $0< x<1$ 时，$g(x)<0$，$x>1$ 时 $g(x) >0$，

综上，故 $x$ 的取值范围为 $(1，+\infty)$。

感悟反思：1、同类题目牛刀小试一下；2、超越不等式

• 解关于 $x$ 的不等式 $2^x>1-x$；解集为 $(0，+\infty)$；

• 解关于 $x$ 的不等式 $log_2^x>\cfrac{2}{x}$；解集为 $(2，+\infty)$；

用图像解构造的函数不等式

【2015$\cdot$ 全国卷 2】设函数 $f'(x)$ 是奇函数 $f(x)(x\in R)$ 的导函数，$f(-1)=0$，当 $x>0$ 时，$xf'(x)-f(x)<0$，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是【】

$A.(-\infty，-1)\cup(0，1)$ $B.(-1，0)\cup(1，+\infty)$ $C.(-\infty，-1)\cup(-1，0)$ $D.(0，1)\cup(1，+\infty)$

解法思路：利用条件先做出导函数的图像，然后读图解不等式

【法 1】注意到 $xf'(x)-f(x) <0$，故构造函数 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$，则函数 $g(x)$ 为偶函数；

$g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$，结合当 $x>0$ 时，$xf'(x)-f(x)<0$，

可知，当 $x >0$ 时，$g'(x)<0$，即 $g(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上单调递减，

由偶函数可知，$g(x)$ 在 $(-\infty，0)$ 上单调递增，

又 $f(-1)=0$，即 $g(-1)=\cfrac{f(-1)}{-1}=0$，且 $g(1)=g(-1)=0$，

从而做出 $g(x)$ 的图像如图所示，

以下说明如何利用 $g(x)$ 的图像解不等式 $f(x)>0$；

第一象限的函数图像 (注意此时有 $0 < x <1$)，满足 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}>0$ 且 $x >0$，

由符号法则得 $f(x)>0$，将这段函数图像向 $x$ 轴作射影，

得到 $0<x<1$，即当 $0< x <1$ 时，必有 $f(x) >0$ 成立；

同理可知，由第二象限的图像，注意此时有 $-1< x <0$ 及 $g(x)>0$，可得当 $-1< x <0$ 时，必有 $f(x)<0$，不符；

同理，由第三象限的图像，注意此时有 $x <-1$ 及 $g(x)>0$，可得当 $x <-1$ 时，必有 $f(x) >0$，符合；

同理，由第四象限的图像，注意此时有 $x >1$ 及 $g(x) <0$，可得当 $x >1$ 时，必有 $f(x) <0$，不符；

综上所述，$f(x)>0$ 的解集是 $(-\infty，-1)\cup(0，1)$。选 A

【法 2】有了法 1 做基础，我们可以简化如下，$y$ 轴右侧的图像，代表 $x >0$，

那么 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$ 的分母就为正，现在要求解 $f(x) >0$，此时必然会选择 $x$ 轴上方的图像，其满足 $g(x) >0$，

故将这段图像向 $x$ 轴作射影，落在区间 $(0 ，1)$ 上，故有 $0< x <1$ 时，$f(x) >0$；

而 $y$ 轴左侧的图像，代表 $x <0$，

那么 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$ 的分母就为负，现在要求解 $f(x)>0$，此时必然会选择 $x$ 轴下方的图像，其满足 $g(x)<0$，

故将这段图像向 $x$ 轴作射影，落在区间 $(-\infty ，-1)$ 上，说明 $x <-1$ 时，$f(x)>0$；

综上所述，$f(x)>0$ 的解集是 $(-\infty，-1)\cup(0，1)$。选 $A$

感悟反思：若 $g(x)=x\cdot f(x)$ 或者 $g(x)=\cfrac{f(x)}{x}$，由符号法则可知，$g(x)$ 的正负取决于其因子 $x$ 和 $f(x)$ 的正负；

【构造函数】【构造函数解不等式】设 $f(x)$，$g(x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $g(x)≠0$，当 $x＜0$ 时 $f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)$，且 $f(-3)=0$，则不等式 $f(x)g(x)＜0$ 的解集是______．

分析：令 $h(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}$，则可知 $h(x)$ 为奇函数，

则 $h'(x)=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$，

由 $x<0$ 时 $f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)$，

可得 $x\in(0，+\infty)$ 时，$h'(x)>0$，即 $h(x)$ 单调递增，

由奇函数可知，$x\in (-\infty，0)$ 时，$h(x)$ 单调递增，

且 $h(0)=0$，由 $f(-3)=0$ 还可得到 $h(-3)=h(3)=0$

做出示意图，由图可知，

故由 $h(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}<0$，可得 $x\in(-\infty，-3)\cup(0，3)$。

又 $\cfrac{f(x)}{g(x)}<0$ 等价于 $f(x)g(x)<0$，

故不等式 $f(x)g(x)＜0$ 的解集是 $x\in(-\infty，-3)\cup(0，3)$。

已知函数 $f(x)=\lg x+(a-2) x-2 a+4(a>0)$， 若有且仅有两个整数 $x_{1}$，$x_{2}$ 使得 $f(x_{1})>0$， $f(x_{2})>0$， 则 $a$ 的取值范围是【$\quad$】

$A.(0,2-\lg3]$ $B.(2-\lg3,2-\lg2]$ $C.(2-\lg2,2]$ $D.(2-\lg3,2]$

解： 由 $f(x)=\lg x+(a-2) x-2 a+4>0$， 得 $\lg x>(2-a) x+2 a-4$

由题意可知，满足不等式 $\lg x>(2-a)x+2a-4$ 的解中有且只有两个整数，

即函数 $y=\lg x$ 在直线 $y=(2-a) x+2 a-4$ 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，如图所示，

由图像可知，由于 $y=(2-a)x+2a-4=(2-a)(x-2)$，该直线过定点 $(2,0)$，如果想要了解更多，请参阅博文函数或曲线恒过定点

要使得函数 $y=\lg x$ 在直线 $y=(2-a) x+2 a-4$ 上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，

则有 $\left\{\begin{array}{l}{2-a>0}\\{\lg 3\leqslant 3(2-a)+2a-4}\end{array}\right.$ $\quad$ 说明此处如果令 $2$$-a$$\leqslant$$0$，则不等式的解集中会有无穷多的整数，则不满足题意；不太好理解的是不等式 $\lg3$$\leqslant$$3(2-a)$$+$$2a$$-4$ 为什么要取到等号。当取得等号时，由于不等式是 $\lg x$$>$$(2-a)x$$+$$2a$$-4$，故解集中不会有 $x=3$，故此处必须取到等号；

即 $\left\{\begin{array}{l}{a<2}\\{2-a\geqslant \lg3}\end{array}\right.$ $\quad$ 解得，$a\leqslant 2-\lg 3$，

又由于 $a>0$，故 $0<a\leqslant 2-\lg3$，故选 $A$.

【2021 - 山东德州二模】 已知定义在 $(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增， 且满足 $f(-1)=-2$， 则关于 $x$ 的不等式 $f(x)$$<$$\cfrac{2}{x}$$+$$\sin\pi x$ 的解集为 【$\qquad$】

$A.(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $B.(-1,0) \cup(1,+\infty)$ $C.(-\infty,-1) \cup(0,1)$ $D.(-1,0) \cup(0,1)$

〔分析〕：本题目涉及到函数的拆分构造，函数性质的判断，利用函数图像解不等式等比较高深的数学知识，对学生的能力有一定的要求，也能较好的区分学生的数学素养。

其一：由于要解的不等式为 $f(x)$$<$$\cfrac{2}{x}$$+$$\sin\pi x$ ，观察其结构，发现其构成部分中，$y=f(x)$ 为抽象函数且为奇函数，$y=\sin\pi x$ 是超越函数，故整个不等式应该是超越不等式，其求解不能采用代数方法，而应该利用函数的图像来解不等式；

其二：当我们考虑要做不等式两端的函数图像时发现，$y=f(x)$ 的图像好做，但是 $y$$=$$\cfrac{2}{x}$$+$$\sin\pi x$ 的图像不好做，注意到 $y=\cfrac{2}{x}$ 为奇函数，而 $y=f(x)$ 也是奇函数，故可以将二者通过移向加以整合为一个奇函数，从而其图像变得可做，剩余的 $y=\sin\pi x$ 的图像我们是会做的，这样从形的角度求解不等式的思路就打通了；

其三：在具体作图中，会涉及到两个函数的图像的位置关系问题，到时间可以利用特殊点的位置高低来确定。

〔解析〕: 由于 $f(x)$ 为 $(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)$ 上的奇函数，故满足 $f(-x)=-f(x)$，

令 $g(x)=f(x)-\cfrac{2}{x}$ 其实此处用 “奇 + 奇 = 奇”，就可以快速判断整合后的函数的奇偶性。， 则 $g(-x)=f(-x)+\cfrac{2}{x}=-f(x)+\cfrac{2}{x}=-g(x)$，

所以 $g(x)$ 为 $(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)$ 上的奇函数；

由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增， $y=-\cfrac{2}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，

则 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增其实此处用 “增 + 增 = 增”，就可以快速判断整合后的函数的单调性。， 由奇函数性质知 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；

又由于 $f(-1)=-2$， 则 $g(-1)=f(-1)+2=0$， 则由 $g(x)$ 为奇函数可知 $g(1)=-g(-1)=0$，

又 $f(\cfrac{5}{2})>f(1)=-f(-1)=2$， 则 $g(\cfrac{5}{2})=f(\cfrac{5}{2})-\cfrac{2}{\frac{5}{2}}=f(\cfrac{5}{2})-\cfrac{4}{5}>1$，

而 当 $x=\cfrac{5}{2}$ 时， $\sin\pi x=\sin\cfrac{5\pi}{2}=1$， 故有 $g(\cfrac{5}{2})>\sin\cfrac{5\pi}{2}$ ，

由此可在坐标系中画出 $g(x)$ 与 $y=\sin\pi x$ 大致图象如下图其中 $y=\sin\pi x$ 的图像大家应该能做，而做函数 $y=g(x)$ 图像时要注意，$y$ 轴是其渐近线，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且经过点 $(1,0)$ ，通过上述的计算可知，在 $(1,+\infty)$ 上 $y=g(x)$ 与 $y=\sin\pi x$ 两个函数图像再没有交点。所示:

这样，原本的不等式，$g(x)<\sin\pi x$ 就从形的角度刻画出来了，大小关系体现在图像是变成了图像位置的高低关系了，通过读图可知:

当 $x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)$ 时， $g(x)<\sin\pi x$， 即当 $x\in(-\infty,-1)\cup(0$, 1) 时， $f(x)<\cfrac{2}{x}+\sin\pi x$ 。

记事备忘

有时间补充，用图像解三角不等式、对数不等式、指数不等式等等，还有代数不等式，如二次不等式；一次不等式，分式不等式，高次不等式等等。

延伸阅读

用导函数的图像判断原函数的单调性；