和事件的概率求法

前言

当见到求\(P(A+B)\)时，绝大多数学生的反应是\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，其实这是不对的，原因是这个公式的使用是有前提条件的，到底是什么，请耐心阅读以下内容。就比如\(log_2 M^2=2log_2M\)，其前提是\(M>0\)。所以使用公式需要明确公式使用的前提条件。

注意事项

• 分析和事件中各子事件的关系

依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

• 理解和事件表达的含义，这是关键

不论各子事件的关系如何，事件\(A+B\)含义都是“事件\(A\)，\(B\)中至少有一个发生”；事件\(A+B+C\)含义都是“事件\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少有一个发生”；

加号仅仅是将这几个事件相连，并不能决定事件之间的关系，事件的关系要依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

和事件概率

当事件\(A\)，\(B\)互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)；

当事件\(A\)，\(B\)不互斥时，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)；

当事件\(A\)，\(B\)相互独立时，\(P(A+B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})\)；

如何从形的角度理解互斥事件和相互独立事件？

互斥事件可以理解为桌面上的几个圆，这些圆要么相交，要么相切或者相离，当相切或者相离时，意味着事件之间互斥；当这些事件相交时，意味着这些事件不互斥；

相互独立事件可以理解为位于不同高度书架上的不同的书籍，其中一层上书籍与另一层上的书籍之间没有任何关联关系；

典例剖析

【2018凤翔中学课时作业】抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字\(1，2，3，4，5，6\))，事件 \(A\) 表示“朝上一面的数字是奇数”，事件 \(B\) 表示“朝上一面的数字不超过2”，则\(P(A+B)\)=__________.

错解：由题目容易知道，\(P(A)=\cfrac{3}{6}\)，\(P(B)=\cfrac{2}{6}\)，故\(P(A+B)=P(A)+P(B)=\cfrac{5}{6}\)。其实这个解法是错误的。原因是事件\(A，B\)不是互斥的，因为如果点数是\(1\)，则事件\(A，B\)都发生了，

故彼此不互斥，此时不能使用\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)公式计算。

那么，该如何计算呢？

此时我们使用和事件的一般加法法则：\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，

法1：\(P(A)=\cfrac{3}{6}\)，\(P(B)=\cfrac{2}{6}\)，\(P(AB)=\cfrac{1}{6}\)，

故\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\cfrac{3}{6}+\cfrac{2}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}\)。

也可以这样思考，\(P(A)=\cfrac{n(A)}{n(\Omega )}\)，其中\(A\subseteq \Omega\)，\(n(\Omega )\)指试验包含的基本事件集合中的元素个数，\(n(A)\)指事件\(A\)包含的基本事件集合中的元素个数；

法2：古典概型法，试验包含的基本事件集合中的元素为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，元素个数为\(6\)，事件\(A\)的集合中的元素为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，元素个数为\(4\)，故所求概率为\(P(A)=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}\)。

解后反思：见到题目中的\(P(A+B)\)，不要一味的只想到\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，应该判断事件的关系在先，就像研究函数一样，定义域优先。

如果满足互斥，则使用公式\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)来计算；如果不满足互斥，则使用公式\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)来计算。

若事件\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，且\(P(A)=0.25\)，\(P(B)=0.50\)，\(P(C)=0.40\)，则\(P(A+B+C)\)等于【】

$A、0.80$ $B、0.15$ $C、0.55$ $D、0.775$

分析：由于事件\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，则事件\(A+B+C\)表示事件\(A\)发生，或事件\(B\)发生，或事件\(C\)发生，即事件\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少有一个发生，其对立面是一个都没有发生，

故\(P(A+B+C)=1-P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\cdot P(\bar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)]\)

\(=1-0.225=0.775\)，故选\(D\)。

常见错误：

①\(P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)\)；

②\(P(A+B+C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\)；

• 用加号相连的事件之间的关系，一般是互斥的，但也有其他的关系，比如本题目。

【2024高一数学训练题】已知甲、乙、丙参加某项测试，通过的概率分别为 \(0.6\)、\(0.8\)、\(0.9\)，而且这 \(3\) 人之间的测试互不影响 .

(1). 求甲、乙、丙都通过测试的概率；

(2). 求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；

(3). 求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率；

解：甲、乙、丙参加某项测试并通过分别定义为事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)[这样我们就可以用定义的基本事件可刻画复杂事件了]，

(1). 令甲、乙、丙都通过测试为事件 \(D\) ，则 \(D=ABC\)，且事件 \(A\)、\(B\)、\(C\) 相互独立，

故 \(P(D)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.6\times0.8\times0.9=0.432\)；

(2). 令甲未通过且乙、丙通过测试为事件 \(E\)，则 \(E=\bar{A}BC\) ，且事件 \(\bar{A}\)、\(B\)、\(C\) 相互独立，

故 \(P(E)=P(\bar{A}BC)=P(\bar{A})P(B)P(C)=(1-0.6)\times0.8\times0.9=0.288\)；

(3). 法1：间接法，采用正难则反的策略，令甲、乙、丙至少有一人通过测试为事件 \(F\)，则 \(\bar{F}=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)，且事件 \(\bar{A}\)、\(\bar{B}\)、\(\bar{C}\) 相互独立，

故 \(P(F)=P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=(1-0.6)\times(1-0.8)\times(1-0.9)=0.008\)，故 \(P(F)=0.992\) ；

法2：直接法，甲、乙、丙至少有一人通过测试包括三人中仅仅有一人通过测试[\(A\bar{B}\bar{C}\) \(+\) \(\bar{A}B\bar{C}\) \(+\) \(\bar{A}\bar{B}C\)]，和仅仅有两人通过测试[\(AB\bar{C}\) \(+\) \(A\bar{B}C\) \(+\) \(\bar{A}BC\)]，以及三人通过测试[\(ABC\)]，

\(F=A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C+AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC+ABC\)，且 \(A\bar{B}\bar{C}\)、\(\bar{A}B\bar{C}\)、\(\bar{A}\bar{B}C\)、\(AB\bar{C}\)、\(A\bar{B}C\)、\(\bar{A}BC\)、\(ABC\) 彼此互斥，

所以，\(P(F)\)\(=\)\(P(A\bar{B}\bar{C}\)\(+\)\(\bar{A}B\bar{C}\)\(+\)\(\bar{A}\bar{B}C\)\(+\)\(AB\bar{C}\)\(+\)\(A\bar{B}C\)\(+\)\(\bar{A}BC\)\(+\)\(ABC)\)\(=\)\(P(A\bar{B}\bar{C})\)\(+\)\(P(\bar{A}B\bar{C})\)\(+\)\(P(\bar{A}\bar{B}C)\)\(+\)\(P(AB\bar{C})\)\(+\)\(P(A\bar{B}C)\)\(+\)\(P(\bar{A}BC)\)\(+\)\(P(ABC)\)\(=\)\(0.992\)；

法3：\(F\)\(=\)\(A\)\(+\)\(B\)\(+\)\(C\)，\(P(A+B+C)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(+\)\(P(C)\)\(-\)\(P(AB)\)\(-\)\(P(AC)\)\(-\)\(P(BC)\)\(+\)\(P(ABC)\)\(=\)\(0.992\)