特殊化策略
前言
引例,当题目中给定某一个点是圆锥曲线上的任意一点时,满足某种条件,那么这时候如果让这一点成为圆锥曲线的顶点,题目立马就变得简单了许多,这种策略就称为特殊化策略,其本质类似于函数中的赋值法,⚠️由此引申,题目中若出现任意角、任意位置、任意形状时,则任意角可以取特殊角,任意位置可以取特殊位置,任意形状可以取特殊形状。
使用前提
以题目例10为例,我们一般都会画出一个很一般的等腰三角形,但是若将\(\angle A\)变化为\(\cfrac{\pi}{3}\)或\(\cfrac{\pi}{2}\)时,都可以保证不改变题目中给定的已知条件,这时候我们就可以尝试考虑特殊化策略,毕竟图形越特殊,越有利于计算。
典例剖析
解法1️⃣:一般方法,利用韦达定理和向量求解;
解法2️⃣:特殊化策略,直接将过焦点的直线特殊化为直线\(x=1\),则可以得到\(A(1,2)\)和\(B(1,-2)\),
代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=1\times 1+2\times(-2)=-3\)。
分析:读完题目,我们最容易想到的思路是设三边分别为\(b-d\),\(b\),\(b+d\),然后利用余弦定理分别求解\(cosA\),\(cosC\),最后求值。想一想运算的复杂程度,我们都大概能感受到这个解法不太可行。
猜想:当\(a、b、c\)成等差数列时,三个角也是有一定关系的,所求的式子的值应该是定值,那么我们就可以有如下的解法:
解法1️⃣:【特殊化策略,最特殊】当等差数列的公差为0时,也是满足题意的,此时\(a=b=c\),则\(A=C=\cfrac{\pi}{3}\);
故\(\cfrac{cosA+cosC}{1+cosAcosC}=\cfrac{cos\cfrac{\pi}{3}+cos\cfrac{\pi}{3}}{1+cos\cfrac{\pi}{3}cos\cfrac{\pi}{3}}=\cfrac{4}{5}\);
解法2️⃣:【特殊化策略,次特殊】我们自然能想到的是\(a=3,b=4,c=5\)的等差数列,(或\(a=6,b=8,c=10\)),则\(cosA=\cfrac{4}{5}\),\(cosC=0\),代入原式得到,
\(\cfrac{cosA+cosC}{1+cosAcosC}=\cfrac{\cfrac{4}{5}+0}{1+0}=\cfrac{4}{5}\)。
分析:我们一般做出的平行四边形是\(\angle BAD\neq 90^{\circ}\)的,从形上思考求向量的内积时几乎没有思路,
此时我们不妨思考,能不能建立直角坐标系,引入点的坐标,然后利用坐标运算内积。这是一个突破;由形到数的思维转化;
其次,观察你做出来的平行四边形,当边\(AD\)绕着点\(A\)逆时针旋转时,我们仍可以保证边\(AB\)和\(AD\)的长度不变化,
那么此时自然就会想起来“特殊化策略”,这是思维上的第二个突破;
【特殊化策略】将平行四边形\(ABCD\)直接特殊化为矩形,以点\(A\)为原点,分别以\(AB、AD\)所在直线为\(x\)轴和\(y\)轴,建立平面直角坐标系,
则点\(A(0,0)\),点\(M(1,4)\),点\(N(3,-4)\),则\(\overrightarrow{AM}=(1,4)\),\(\overrightarrow{NM}=(-2,8)\),
则\(\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{NM}=(1,4)\cdot (-2,8)=-2+32=30\)。
分析:利用向量减法的几何意义确定\(|\vec{c}-\vec{a}|+|\vec{c}-2\vec{b}|=\sqrt{5}\)表达的图形和\(|\vec{c}+2\vec{a}|\)的几何意义。
解法1:由于向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\)是相互垂直的单位向量,不妨采用特殊化策略,
设\(\vec{a}=(1,0)\),\(\vec{b}=(0,1)\),将向量\(\vec{c}\)的起点放置在坐标原点,
则\(|\vec{c}-\vec{a}|+|\vec{c}-2\vec{b}|\)的几何意义就是向量\(\vec{c}\)的终点到向量\(\vec{a}\),向量\(2\vec{c}\)的终点\((1,0)\)和\((0,2)\)的距离之和,
由于这两点间的距离等于\(\sqrt{5}\),故向量\(\vec{c}\)的终点在以\((1,0)\),\((0,2)\)为端点的线段上,
该线段所在的直线方程为\(x+\cfrac{y}{2}=1(0\leq x\leq 1)\),
\(|\vec{c}+2\vec{a}|=|\vec{c}-(-2\vec{a})|\)的几何意义是向量\(\vec{c}\)的终点到向量\(-2\vec{a}\)的终点\((-2,0)\)的距离,
显然最大距离即为点\((-2,0)\)到点\((1,0)\)的距离\(3\),最小距离为点\((-2,0)\)到直线\(x+\cfrac{y}{2}=1\)的距离,
此距离为\(d=\cfrac{|-2-1|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\cfrac{6\sqrt{5}}{5}\);
故\(|\vec{c}+2\vec{a}|\)的取值范围是\([\cfrac{6\sqrt{5}}{5},3]\)。
解法1️⃣:由于 \(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9\)\(=\)\(a_7a_1+2a_3a_7+a_3a_9\)
\(=a_4^2+2a_4a_6+a_6^2\)\(=\)\((a_4+a_6)^2\)\(=\)\(10^2\)\(=\)\(100\)。故选 \(C\)。
解法2️⃣:特殊化策略,由于题目数列\(\{a_n\}\)为等比数列,\(a_4+a_6=10\),则可以将其特殊化为\(a_4=a_6=5\)的特殊的等比数列,即常数列,
此时\(a_n=5\),代入运算得到\(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9=100\),故选\(C\)。
分析:抽象问题具体化,采用特殊化策略,
令\(a=6\),\(b=8\),按程序框图执行,
STEP1:\(a\neq b\),是,\(a>b\),否,\(b=2\);
STEP2:\(a\neq b\),是,\(a>b\),是,\(a=4\);
STEP3:\(a\neq b\),是,\(a>b\),是,\(a=2\);
STEP4:\(a\neq b\),否,输出\(a=2\);
即算法的功能是利用“更相减损术”求两个正数的最大公约数。故选\(D\)。
法1:待录
法2:特殊化策略,设袋中有两个球,红球和黑球各一个,(想一想为什么可以这样?)
现取出两个球,若第一次直接将红球放入甲盒中,则黑球要放入乙盒;全部放置完毕。(想一想为什么可以这样?)
则此时乙盒中红球\(0\)个,黑球\(1\)个;丙盒中红球\(0\)个,黑球\(0\)个;则排除\(A、D\);
设袋中有四个球,红球和黑球各两个,(想一想为什么可以这样?)
若第一次直接取出的两个球为红球,将红球其一放入甲盒中,则另一个红球放入乙盒;
第二次取出的两个球为黑球,将黑球其一放入甲盒中,则另一个黑球放入丙盒,全部放置完毕。
则此时乙盒中红球\(1\)个,黑球\(0\)个;丙盒中红球\(0\)个,黑球\(1\)个;则排除\(C\);
故选\(B\);
法1:由于样本中心点\((\bar{x},\bar{y})\)必在回归直线上,先代入计算得到\(\bar{y}=5\),
即原数据的样本中心点为\((3,5)\),故\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=3n\),\(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i=5n\),
由于\(1.1+4.9=6\),\(2.1+7.9=10\),去除两个样本点后,
新的样本中心点的坐标\(\bar{x}=\cfrac{3n-6}{n-2}=3\),\(\bar{y}=\cfrac{5n-10}{n-2}=5\),
故新的样本中心点\((3,5)\)必在回归直线\(\hat{y}=1.2x+b\)上,
则有\(5=1.2\times 3+b\),则\(b=1.4\),
即重新求得的回归直线\(l\)为\(\hat{y}=1.2x+1.4\);
当\(x=2\)时,代入计算得到\(\hat{y}=1.2\times 2+1.4=3.8\)。
法2:特殊化策略,将样本数据点的个数认定为\(5\)个,其他的计算仿上完成。
分析:由于点\(Q\)是椭圆上的任意一个动点,不妨取其在椭圆的四个特殊位置来思考,当点\(Q(a,0)\)时,过动点\(Q\)做椭圆的切线\(l:x=a\),过右焦点做\(l\)的垂线为\(y=0\),则点\(P(a,0)\),代入验证,只有选项\(A\)满足;当点\(Q(0,b)\)时,过动点\(Q\)做椭圆的切线\(l:y=b\),过右焦点做\(l\)的垂线为\(x=c\),则点\(P(c,b)\),代入验证,也只有选项\(A\)满足;故用特殊化策略可知,选\(A\)。
解后反思:如果本题目直接求解,可能会很麻烦,由此也体现出特殊化策略在解选择题时的便捷性。
分析:当\(\triangle ABC\)为等边三角形,或是等腰直角三角形时,题目中的条件仍然不变化,故可以采用特殊化策略,
比如\(\triangle ABC\)为等腰直角三角形,以\(A\)为坐标原点建系,然后利用相应点的坐标计算。\(-\cfrac{15}{4}\)
分析:采用特殊化策略求解,由于点\(M\),\(N\)是椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>b>0)\)上关于原点对称的任意的两个点,那么就可以特殊化为椭圆的左右两个顶点,又点\(P\)是椭圆上任意一点,那么就可以特殊化为椭圆上的上顶点,
那么如何让他们满足题目的条件呢,我们可以这样想,只要调整椭圆的三个参数恰当,就可以让其满足题目的条件,这样在这种特殊条件下,
\(k_1=k_{PM}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{b-0}{0+a}\),\(k_2=k_{PN}=\cfrac{b-0}{0-a}\),
则\(|k_1k_2|=|\cfrac{b^2}{-a^2}|=\cfrac{b^2}{a^2}=\cfrac{1}{4}\),故\(a^2=4b^2\),\(c^2=a^2-b^2=3b^2\),
则\(e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=\cfrac{3b^2}{4b^2}=\cfrac{3}{4}\),故\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)。故选\(C\)。
法1:基向量法,选\(C\).
法2:将平行四边形特殊化为矩形,比如长为2,宽为1的矩形,再建系求解,选\(C\).
分析:补体并特殊化为为正方体的一个角,如图所示,
则体对角线长为\(3\sqrt{3}\),即\(R=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\),故\(S_{表}=4\pi R^2=27\pi\).
分析:特殊化策略,由于平面向量是自由向量,故我们可以将点\(M\)平移到坐标原点,将点\(N\)放置到\(x\)轴上,
故点\(M(0,0)\),\(N(x,0)\),则点\(P(2,4)\),可以计算得到点\(Q(x-4,0)\),
则\(\overrightarrow{MN}=(x,0)\),\(\overrightarrow{PQ}=(x-6,-4)\),
故\(\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{PQ}=(x,0)\cdot(x-6,-4)=x(x-6)=(x-3)^2-9\),
故当\(x=3\)时,其有最小值为\(-9\)。
解法1️⃣:验证法;
令\(m=0\),则由\(-2x+1=0\)可得一个正实根\(x=\cfrac{1}{2}\),故\(m=0\)满足题意,排除\(C\);
令\(m=1\),则由\((x-1)^2=0\)可得一个正实根\(x=1\),故\(m=1\)满足题意,排除\(D\);
令\(m=\cfrac{1}{2}\),则由\(\cfrac{1}{2}x^2-2x+1=\cfrac{1}{2}(x-2)^2-1=0\)可得两个正实根\(x=2\pm\sqrt{2}\),排除\(A\);
故选\(B\).
解法2️⃣:分类讨论法;
注意到函数\(f(x)=mx^2-2x+1\)为仿二次函数,故想到需要分类讨论,令\(f(x)=mx^2-2x+1=0\),注意隐含条件\(f(0)=1\)
\(1^{\circ}\)当\(m=0\)时,由\(-2x+1=0\)可得一个正实根\(x=\cfrac{1}{2}\),故\(m=0\)满足题意;
\(2^{\circ}\)当\(m>0\)时,抛物线开口向上,\(f(0)=1\),对称轴为\(x=\cfrac{1}{m}>0\),只能\(\Delta=4-4m=0\),
可得一个正实根\(x=\cfrac{1}{m}\),解得\(m=1\);
\(3^{\circ}\)当\(m<0\)时,抛物线开口向下,\(f(0)=1\),对称轴为\(x=\cfrac{1}{m}<0\),
要满足题意只需\(\Delta=4-4m>0\)即可,解得\(m<0\);
综上所述,\(m\)的取值范围为\((-\infty,0]\cup\{1\}\),选B。
解法3️⃣:分离参数法,由于函数有且只有一个正零点,
在\(x>0\)时,分离参数得到\(m=\cfrac{2x-1}{x^2}(x>0)\),
要使得原函数有且只有一个正零点,只需要函数\(y=m\)和函数\(g(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}(x>0)\),
在\(x>0\)时的图像的交点有且仅有一个即可。
用导数研究函数\(g(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}(x>0)\)的单调性,然后做出简图,此处简略。
在同一坐标系中,做出函数\(y=m\)和\(g(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}(x>0)\)的图像,
由图像可得,\(m\)的取值范围为\((-\infty,0]\cup\{1\}\)。
补充:用导数研究函数\(g(x)=\cfrac{2x-1}{x^2}\)的单调性,
\(g'(x)=\cfrac{-2(x^2-1)}{x^4}\),
令\(g'(x)>0\)解得\(0<x<1\);令\(g'(x)<0\)解得\(x>1\);
故函数\(g(x)\)在区间\((0,1]\)上单调递增,在区间\([1,+\infty)\)上单调递减,
又\(g(1)=1\),然后就能手动做出函数图像。
解法1️⃣:基向量法,即以向量 \(\overrightarrow{OA}\) 和 \(\overrightarrow{OB}\) 为基底,表达向量 \(\overrightarrow{OC}\) 和 \(\overrightarrow{OM}\),再代入运算即可。
因为 \(\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\),\(\overrightarrow{OM}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) ,
所以 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB})\cdot\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
\(=\cfrac{1}{6}(\overrightarrow{OA}^{2}+2\overrightarrow{OB}^{2}+3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\) ,
又 \(\triangle OAB\) 为等边三角形,所以 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2\times2\cos 60^{\circ}=2\) ,\(\overrightarrow{OA}^{2}=4\) ,\(\overrightarrow{OB}^{2}=4\) ,
所以 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}=3\) , 故选 \(D\) .
解法2️⃣:特殊化策略,【考试中的首选方法】既然点 \(A\) 和点 \(B\) 都是圆上的动点为什么可以这样思考呢,由于点 \(C\) 和点 \(M\) 在线段 \(AB\) 上的位置都是相对于点 \(A\) 和点 \(B\) 都是相对确定的,这样 \(|\overrightarrow{OC}|\) 和 \(|\overrightarrow{OM}|\) 都是确定值,而且向量夹角也是确定值,故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}|\)应该是确定值,与夹角无关的,那么我们将点 \(A\) 放在最特殊的位置,应该是可以的,运算也简单,何乐而不为呢!,那么可以将点 \(A\) 放置在 \((2,0)\) 处,此时由于 \(|AB|=2\),则 \(\triangle OAB\)为等边三角形,故 点 \(B\) 可以放置在 点 \((1,\sqrt{3})\) 处,这样向量 \(\overrightarrow{OA}=(2,0)\) , \(\overrightarrow{OB}=(1,\sqrt{3})\) ,
则 \(\overrightarrow{OC}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}(2,0)\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}(1,\sqrt{3})\)\(=\)\((\cfrac{4}{3},\cfrac{2\sqrt{3}}{3})\) ,
又由于点 \(M\) 为 \(AB\) 的中点,故 \(M(\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})\),则 \(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\((\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})\) ,
故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}|=(\cfrac{4}{3},\cfrac{2\sqrt{3}}{3})\cdot(\cfrac{3}{2},\cfrac{\sqrt{3}}{2})=3\),故选 \(D\) .
解法3️⃣:向量坐标法,如果上述的方法理解还是有疑虑,那么可以采用这个方法来计算打消我们的顾虑,就是运算比较麻烦。
由于点 \(A\) 和点 \(B\) 都是圆上的动点,且 \(|AB|=2\) ,圆的半径也是 \(r=2\) ,故 \(\triangle OAB\)为等边三角形,利用圆的参数方程,令点 \(A(2\cos\theta,2\sin\theta)\),则点 \(B(2\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),2\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3}))\),这样
\(\overrightarrow{OA}\)\(=\)\((2\cos\theta,2\sin\theta)\) ,\(\overrightarrow{OB}\)\(=\)\((2\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),2\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3}))\) ,
\(\overrightarrow{OC}\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)\(=\)\(\left(\cfrac{2}{3}\cos\theta+\cfrac{4}{3}\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),\cfrac{2}{3}\sin\theta+\cfrac{4}{3}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right)\) ,
\(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\left(\cos\theta+\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3}),\sin\theta+\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right)\) ,
故 \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\left[\cfrac{2}{3}\cos\theta+\cfrac{4}{3}\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(\left[\cos\theta+\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)
\(+\)\(\left[\cfrac{2}{3}\sin\theta+\cfrac{4}{3}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(\left[\sin\theta+\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)
\(=\)\(\cfrac{2}{3}\cos^2\theta\)\(+\)\(\cfrac{2}{3}\sin^2\theta\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\cos^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\sin^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})\)
\(+\)\(\cfrac{2}{3}\left[\cos\theta\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})+\sin\theta\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)\(+\)\(\cfrac{4}{3}\left[\cos\theta\cos(\theta+\cfrac{\pi}{3})+\sin\theta\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\right]\)
\(=2+2\cos(\theta-\theta-\cfrac{\pi}{3})=2+1=3\),故选 \(D\) .