用导函数的图像判断原函数的单调性
前言
用导函数的图像判断原函数的单调性,其本质就是利用\(f'(x)\)的正负,判断\(f(x)\)的增减; 回顾:符号法则
典例剖析
- 给定\(f'(x)\)的图像,确定\(f(x)\)的单调性,最简单层次
分析:本题目考查对导函数的图像的解读能力,和应用图像的意识;
由于在\((4,5)\)上,有\(f^{\prime}(x)>0\)恒成立,故\(f(x)\)是增函数,故选\(C\).
- 用图像确定\(f'(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,
分析:由图可知,
当\(x<-1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\);
当\(-1<x<0\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\);
当\(0<x<1\)时,\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\);
当\(x>1\)时,\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\);
从而可知当\(x<-1\)时,\(f'(x)>0\),\(f(x)\nearrow\);
当\(-1<x<1\)时,\(f'(x)<0\),\(f(x)\searrow\);
当\(x>1\)时,\(f'(x)>0\),\(f(x)\nearrow\);故选C。
分析:当\(x<-2\)时,则有\(1-x>0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\);
当\(-2<x<1\)时,则有\(1-x>0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\);
当\(1<x<2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y>0\),故由符号法则可知\(f'(x)<0\);
当\(x>2\)时,则有\(1-x<0\),又\(y<0\),故由符号法则可知\(f'(x)>0\);
从而可知当\(x<-2\)时,\(f'(x)>0\),\(f(x)\nearrow\);
当\(-2<x<2\)时,\(f'(x)<0\),\(f(x)\searrow\);
当\(x>2\)时,\(f'(x)>0\),\(f(x)\nearrow\);故选\(D\)。
*解不等式确定\(f^{\prime}(x)\)的正负,确定\(f(x)\)的单调性,
分析:结合图像可知,
当\(x\in(-\infty,2]\)时,\(2^{f^{\prime}(x)}≥1\), 即\(f^{\prime}(x)≥0\);当\(x\in (2,+\infty)\)时, \(2^{f^{\prime}(x)}<1\), 即\(f^{\prime}(x)<0\);
故函数\(y=f(x)\)的递减区间为\((2,+\infty)\)。故选\(D\)。
1、给定函数\(y=(x^2-3x+2)\cdot f'(x)\)的图像,先推断\(f'(x)\)的正负,再确定\(f(x)\)的单调性;
2、已知\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\),判断\(f(x)\)的单调性;
分析:由 \(y=f^{\prime}(x)\) 的图像是先上升后下降可知,函数 \(y=f(x)\)图像的切线的斜率先增大后减小,故选\(B\).
分析:由函数 \(f(x)\) 的图象可知, \(f(x)\) 在\((-\infty, 0)\)上单调递增, \(f(x)\) 在\((0,+\infty)\)上单调递减,
所以在区间\((-\infty, 0)\)上\(f'(x)>0\), 在\((0,+\infty)\)上\(f'(x)<0\),只有选项\(D\)满足;故选\(D\).
解析: 因为 \(f(x)=x-2\sin x,\) 所以\(f^{\prime}(x)=1-2\cos x\)
所以当\(0<x<\frac{\pi}{3}\)时, \(f'(x)<0\), \(f(x)\)单调递减;当\(\cfrac{\pi}{3}<x<\pi\)时, \(f^{\prime}(x)>0\),\(f(x)\)单调道增;
所以当 \(x=\cfrac{\pi}{3}\)时, \(f(x)\)有极小值,即最小值,
且 \(f(x)_{\min }=f(\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{\pi}{3}-2\sin\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\)
又 \(f(0)=0\),\(f(\pi)=\pi\),所以 \(f(x)_{\max }=\pi\),
由题意得\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant M\)等价于
\(M\geqslant|f(x)_{\max}-f(x)_{\min}|=\pi-(\cfrac{\pi}{3}-\sqrt{3})=\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\),
所以\(M\) 的最小值为 \(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\), 故填写\(\cfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\)。