二分法

前言

二分法的使用依托的是函数的零点存在性定理。也就是说，二分法解决的是变号零点的近似值问题，而不是不变号零点的近似值问题。

二分法

比如解\(2^x=8\)，我们一口就能答出来\(x=3\)，那么如解\(2^x=7\)呢，这时候就需要用到二分法。令\(f(x)=2^x-7\)，\(f(2)=-3<0\)，\(f(3)=1>0\)，故函数的零点\(x_0\in (2,3)\)，有解区间为 \((2,3)\)，那能不能再精确呢？回答是肯定的，由于\(f(2.5)=2^{2.5}-7=2^{\frac{5}{2}}-7=\sqrt{32}-7=4\sqrt{2}-7<0\)，故函数的零点\(x_0\in (2.5,3)\)，此时的有解区间变为 \((2.5,3)\)，即将原来的有解区间一分为二，所以叫二分法。

典例剖析

用二分法求方程\(x^2-5=0\)在区间\((2，3)\)内的近似解，经过_______次二分后精确度能达到\(0.01\)。

分析：初始确定的有解区间为 \((2,3)\)，有解区间的长度变为\(1\)，

第一次使用二分法，使得有解区间的长度变为\(\cfrac{1}{2}\)，

第二次使用二分法，使得有解区间的长度变为\(\cfrac{1}{2^2}\)，

设经过了\(k\)次后精确度达到\(0.01\)，即\(\cfrac{1}{2^k}<0.01\)。

解得\(2^k>100\)，即\(k\ge 7\)，

故经过 \(7\) 次二分后精确度能达到\(0.01\)。

用二分法求函数 \(f(x)=ln(x+1)+x-1\) 在区间 \([0，2]\) 上的零点，要求误差不超过 \(0.01\) 时，计算中点函数值的次数最少为【\(\quad\)】次。

$A.6$ $B.7$ $C.8$ $D.9$

分析：由题可知，\(2\times(\cfrac{1}{2})^k\leqslant 0.01\)，即 \((\cfrac{1}{2})^{k-1}\leqslant 0.01\)，

即 \((k-1)\lg{\cfrac{1}{2}}\leqslant \lg{0.01}\) ，即 \(-(k-1)\lg2\leqslant -2\)，

故 \(k-1\geqslant \cfrac{2}{\lg2}+1\approx 7.64\approx 8\)，故选 \(C\) .

用二分法求方程\(x^3-2x-5=0\)在区间\([2，3]\)上的近似解，取区间中点\(x_0=2.5\)，则下一个有解区间为________.

分析：用零点存在性定理，设函数\(f(x)=x^3-2x-5\)，则\(f(2)>0\)，\(f(2.5)>0\)，

则下一个有解区间为\([2，2.5]\)。

【2022届高三数学三轮模拟冲刺用题】已知定义在 \(\left[a , b\right]\) 上的增函数 \(f(x)\) ，在用二分法寻找零点的过程中， 依次确定了零点所在区间为 \(\left[a, b\right]\) ， \(\left[a, \cfrac{a+b}{2}\right]\)， \(\left[a+\cfrac{1}{2}, \cfrac{b}{4}\right]\) ， 又 \(f\left(\cfrac{a+2b}{12}\right)=0\)， 则函数 \(f(x)\) 的零点为【\(\qquad\)】

$A.-\cfrac{1}{4}$ $B.0$ $C.\cfrac{1}{4}$ $D.\cfrac{1}{6}$

解析：由二分法寻找零点的过程可知，\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，且 \(f(\cfrac{a+b}{2})>0\)， \(f(a+\cfrac{1}{2})<0\)， \(f(\cfrac{b}{4})>0\)，

且满足 \(\cfrac{a+\frac{a+b}{2}}{2}=a+\cfrac{1}{2}\) 且 \(\cfrac{a+b}{2}=\cfrac{b}{4}\)，

解得 \(a=-\cfrac{2}{3}\) ，\(b=\cfrac{4}{3}\) ，故 \(\cfrac{a+2b}{12}=\cfrac{1}{6}\)，则函数 \(f(x)\) 的零点为 \(\cfrac{1}{6}\)，故选 \(D\) .

近似刻画

初高中阶段主要用 “精确度” 和 “精确到” 两个概念来刻画近似程度。[以下解释参见人教\(2019A\)版教师教学用书\(P_{188}\)]

精确度 是指近似值 \(x^*\) 与其准确值 \(x\) 的接近程度 。 近似值 \(x^*\) 的误差不超过某个数 \(\varepsilon\)， 即 \(\left|x^*-x\right|<\varepsilon\)， 就说它的精确度是 \(\varepsilon\) 。 一般地， 对于数值 \(x\)， 如果要获得它满足精确度 \(\varepsilon\) 的近似值， 就可以找一个包含 \(x\) 的区间 \([a, b]\)， 使得 \(|a-b|<\varepsilon\) 即可。由于已知准确值 \(x\) 落在区间 \((a,b)\) 内，此时若取此区间内的任意一个值作为近似值 \(x^*\)，那么一定满足 \(\left|x^*-x\right|<\varepsilon\) ，故我们用 \(|a-b|<\varepsilon\) 来控制精确度。

精确到 是按四舍五入的原则得到准确值 \(x\) 的前几位的近似值 \(x^*\)， \(x^*\) 的最后一位有效数字在某一数位， 就说精确到某一数位 . 即若 \(x\) 的近似值为 \(x^*=0 . x_1 x_2 \cdots x_n \times 10^m\)， 其中 \(x_1 \neq 0, m\)为整数， \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) 都是 \(0 \sim 9\) 中的任一整数， 且 \(\left|x^*-x\right|<\frac{1}{2} \times 10^{m-p}(1 \leqslant p \leqslant n)\)， 则称近似值 \(x^*\) 具有 \(p\) 位有效数字或称 \(x^*\) 精确到 \(10^{m-p}\) . 比如 \(\pi=3.1415926 \cdots\)， 若取 3 位有效数字, 则 \(x^*=3.14\), 即精确到 \(0.01\) . 特别地， 若已知 \(x\) 精确到 \(\varepsilon\) 的近似值是 \(x^*\)， 由于 \(\left|x^*-x\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}\)，则可知 \(x\) 的范围是 \(\left[x^*-\frac{1}{2} \varepsilon, x^*+\frac{1}{2} \varepsilon\right]\) .

由此可见， “精确度” 与 “精确到” 都是用来刻画近似值的， 但刻画的角度不同 . “精确度”是用准确值所在邻域的半径刻画近似值的近似程度， 在精确度 \(\varepsilon\) 限制下近似值为所在区间中的任意值， 即近似值有无数个； 而 “精确到” 是用准确值的数位刻画近似值的近似程度， “精确到 \(\varepsilon\) ”是指所确定近似值的区间 \([a, b]\) 的两端点值精确到 \(\varepsilon\) 时的值相等， 因此在 “精确到 \(\varepsilon\) ” 限制下的近似值是唯一的 .

在此基础上， 可结合例 \(2\) ^[1]提出思考： 如果把例 \(2\) 中对近似解的要求 “精确度 \(0.1\) ”， 更换为在初中学习时用到的 “精确到 \(0.1\) ”， 你知道这两种近似值之间的异同吗?

事实上， 当该近似解要求 “精确到 \(0.1\) ” 时， 此时有解区间 \([1.375,1.4375]\) 的两个端点精确到 \(0.1\) 的近似值都是 \(1.4\) ， 所以该有解区间内的所有数值精确到 \(0.1\) 的近似值都是 \(1.4\)， 因此 \(1.4\) 是原方程精确到 \(0.1\) 的唯一近似解 . 由于 \(|1.375\)\(-\)\(1.4375\)\(|\)\(=\)\(0.0625\)\(<\)\(0.1\), 所以满足 “精确到 \(0.1\) ” 的有解区间 \([1.375,1.4375]\) 一定是满足 “精确度 \(0.1\) ” 的有解区间， 只是要求的近似解的确定方法有所不同， 运算量会不一样， “精确度 \(0.1\) ” 的近似解有无数多个， 而 “精确到 \(0.1\) ” 的近似解只有一个 . 在初中， 只涉及对一个数取近似值， 所以用 “精确到” 比较方便；而在用二分法求方程近似解时， 要涉及在一个区间取近似值， 并要将这种方法用算式加以表达，所以用 “精确度” 更合适 .

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1. 【人教\(2019A\)版教材\(P_{146}\)】借助信息技术，用二分法求方程 \(2^x+3x=7\) 的近似解(精确度为 \(0.1\) ) . ↩︎