直线方程和直线系方程
直线方程和直线系方程
直线的方程
- 点斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1，y_1)\)，斜率为\(k\))；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 斜截式：\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率，\(b\)是\(y\)截距)；
缺陷：不能表示斜率不存在的直线；
- 两点式：\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2，y_1\neq y_2)\)(两点是\(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)\))，
缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；
- 截距式：\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0，b\neq 0)\)(\(a,b\)分别是横截距和纵截距)，
缺陷：不能表示过原点的直线；
- 一般式：\(Ax+By+C=0\)，
没有上述直线方程的缺陷。直线的平行与垂直的刻画，用一般式来说，只要一种即可，如果用其他的形式，则必须做补充说明，很麻烦的；
直线的参数方程
- 以动点到定点的有向线段的数量为参数，得到直线的参数方程如下：
引申：如何将一个直线的普通方程转化为参数方程?
如给定直线\(y=2x+1\)，其中点\((0，1)\)，点\((1，3)\)都在其上，
我们现在想求做过点\((1，3)\)的直线\(y=2x+1\)的参数方程，
可以这样做，依照模板\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta \cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)
定点坐标为\((x_0，y_0)=(1，3)\)，
可知\(k=tan\theta=2\)，引入非零比例因子\(k\)，
得到\(sin\theta=2k\)，\(cos\theta=k(k>0)\)，
由\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，得到\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
则可知\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(sin\theta=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
故所给定直线\(y=2x+1\)的参数方程为
\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+\cfrac{\sqrt{5}}{5} t}\\{y=3+\cfrac{2\sqrt{5}}{5} t}\end{array}\right.(t为参数)\)
总结思路：①找个定点；②求解\(cos\theta\)和\(sin\theta\)；③带入模板，OK!
直线的向量式方程
设向量 \(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\) 不共线，向量 \(\overrightarrow{OC}\)满足表达式：
则可知点\(A\)、\(B\)、\(C\) 三点共线，即动点 \(C\) 在 直线 \(AB\) 上，故此表达式也称作直线的向量式方程。
直线系方程
- 定点直线系方程，[是一族直线，不是一条直线，当\(k\)的取值不同时就对应不同的直线]
经过定点\(P(x_0，y_0)\)的直线系方程是\(y-y_0=k(x-x_0)\)(\(k\)是待定系数)或者是\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\)(\(A\)，\(B\))是待定系数；
- 共点直线系方程，[指经过两条直线共用的交点的一族直线，当\(\lambda\)的取值不同时就对应不同的直线]
给定两条直线\(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0\)和\(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0\)，则经过两条直线\(l_1\)和\(l_2\)的交点[联立两个直线方程即可求得交点坐标]的直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)(这族直线中不包含直线\(l_2\))，其中\(\lambda\)是待定系数。
解释说明：共点直线系方程中为什么不包括$l_2$？
由于共点直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)，针对参数 \(\lambda\) 分类讨论如下：
当 \(\lambda=0\) 时，说明此时随 \(\lambda\) 取值变化的直线系中刚好刻画的是直线 \(l_1\)；
当 \(\lambda\neq 0\) 时，要使得刻画的是直线 \(l_2\)，则需要 \(A_1x+B_1y+C_1\) 的值不论 \(x\)，\(y\) 的取值是什么都必须为零，此时就需要它前边的系数为 \(0\)，而题目给定的 \(A_1x+B_1y+C_1\) 的系数是 \(1\) 而不是 \(0\)，不可能突变为\(0\)，这样整个的运算结果就不可能变为\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，故共点直线系方程中不包括直线\(l_2\)；
同理，如果我们将共点直线系方程写为\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\)，则此时共点直线系方程中就不包含直线\(l_1\)。用课件做以说明。
- 平行直线系方程
直线\(y=kx+b\)中，当\(k\)为常数而\(b\)变化时，表示一族平行直线方程；与直线\(Ax+By+C=0\)平行的直线系方程是\(Ax+By+\lambda=0(C\neq \lambda\)，即不包含两直线重合情况，\(\lambda\) 为参数)。
- 垂直直线系方程
与直线\(Ax+By+C=0(A\neq 0，B\neq 0)\)垂直的直线系方程是\(Bx-Ay+\lambda=0(\lambda 为参数)\)。
圆的切线方程
已知圆\(x^2+y^2=r^2\)，则可知
①过圆上的点\(P_0(x_0，y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)；[1] 向量证明方法见必修四P99 例3。
②斜率为\(k\)的直线成为圆的的切线方程为\(y=kx\pm r\sqrt{1+k^2}\)；
两圆相交弦方程
【引例】：比如给定\(\odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4\)①，\(\odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4\)②，求两圆的相交弦所在的直线方程。
分析：设两个圆相交后的公共点为\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，
则由点\(A\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\)，，得到\((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4\)，\((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4\)，
两式相减整理得到，\(y_1=-x_1\)；
由点\(B\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\)，，得到\((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4\)，\((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4\)，
两式相减整理得到，\(y_2=-x_2\)；
说明点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)都在直线\(y=-x\)上，故两圆的相交弦所在的直线方程为\(y=-x\)。
简单操作：由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\(-2x-2x-2y-2y=0\)，即\(y=-x\)；
由此类比得到更一般化的情形：
给定\(\odot C_1：(x-a)^2+(y-b)^2=e\)①，\(\odot C_2：(x-c)^2+(y-d)^2=f\)②，注意两圆必须相交； 由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为\((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0\)；
典例剖析
分析：由题可知，\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①，具体求解时我们往往只利用下式求值，
由\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②，解得\(m=1\)或\(m=-2\)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，
验证得到 \(m=-2\) 时不符，故 \(m=1\)，则选 \(A\)。
反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。
求直线方程的方法
待补充：①直接法②公式法③直线系法④向量法⑤相关点法⑥参数法⑦结构分析法⑧点差法
证明：由于点\(P_0(x_0，y_0)\)在圆\(x^2+y^2=r^2\)上，故有\(x_0^2+y_0^2=r^2\)，
又由于直线\(OP\)的斜率\(k_1=\cfrac{y_0}{x_0}\)，故和直线\(OP\)垂直的圆的切线的斜率为\(k_0=-\cfrac{x_0}{y_0}\)
由点斜式可得，过圆上的点\(P_0(x_0，y_0)\)的切线方程为\(y-y_0=k_0(x-x_0)\)，
即\(y-y_0=-\cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)\)，整理为\(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\)，又\(x_0^2+y_0^2=r^2\)，
故整理得到切线方程为\(x_0x+y_0y=r^2\)。 ↩︎
