函数的凹凸性

公式定理💯随心记

【等差数列】通项公式 $a_n$ ：$a_n=a_1+(n-1) d$，其推广式：$a_n=a_m+(n-m) d$，前 $n$ 项和公式 $S_n$ ：$S_n=\cfrac {n (a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac {n (n-1)\cdot d}{2}$

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前言

函数的凹凸性是函数的性质之一，其主要是为了刻画函数的单调性中增长率的不同变化情形而引入的，有了它的加盟，我们对函数的单调性就能描述的更准确，更细腻。

函数凹凸性

• 在高中阶段，有的题目中会涉及到函数的凹凸性，简单做个介绍。如图所示，函数 $y=f(x)$ 就是上凸函数的图像例子。

• 那么高中阶段怎么定义函数的凹凸性呢？

如上图中的函数 $f(x)$，在区间 $D$ 上，如果对任意的 $x_1$，$x_2$，从形上直观的看，会发现其图像是向上凸起的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足 $f(\cfrac{x_1+x_2}{2})>\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么就说函数在区间 $D$ 上是上凸函数；

同理，如上图中的函数 $f(x)$，在区间 $D$ 上，如果对任意的 $x_1$，$x_2$，从形上直观的看，会发现其图像是向下凹陷的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足 $f(\cfrac{x_1+x_2}{2})<\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么就说函数在区间 $D$ 上是下凹函数；

数学语言

注意，通过上述概念和图像，需要我们抽象出其数学符号语言和其对应的图形语言；

已学检索

我们高中学过的上凸函数如 $f(x)=lnx$，$f(x)=\sqrt{x-1}$，再比如函数 $f(x)=-x^2$ 等；下凹函数如 $f(x)=x^2$，$y=2^x$ 等，还有一部分上凸一部分下凹的函数如 $f(x)=x^3$ 等。

• 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。

函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；

增长率逐渐增大型：如函数 $y=m (x)$；

增长率逐渐减小型：如函数 $y=n (x)$；

增长率恒定不变型：如函数 $y=f (x)$；

增长率先慢后快型：如函数 $y=g (x)$；

增长率先快后慢型：如函数 $y=h (x)$；

• 函数的导数与函数的凹凸性：

函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a，b]$ 满足 $f'(x)>0$，则函数在区间 $[a，b]$ 上单调递增；

满足 $f'(x)<0$，则函数在区间 $[a，b]$ 上单调递减。

若 $f''(x)>0$，则函数 $f(x)$ 为凹函数；若 $f''(x)<0$，则函数 $f(x)$ 为凸函数。

引例，如函数 $y=f(x)=x^3$，$f'(x)=3x^2\ge 0$，故函数 $f(x)=x^3$ 在 $(-\infty，+\infty)$ 上单调递增，

$f''(x)=6x$，当 $x>0$ 时，$f''(x)>0$，当 $x<0$ 时，$f''(x)<0$，

故函数 $f(x)=x^3$，在区间 $(0，+\infty)$ 上为凹函数，在区间 $(-\infty，0)$ 上为凸函数。

凹凸性应用：

【与图像有关的题目】

• 补充解析：当杯中水的高度 $h$ 沿着线段 $OA$ 增长时，由于线段 $OA$ 的斜率是固定不变的，故容器必然会是上下大小一致的，

当杯中水的高度 $h$ 沿着上凸形曲线 $OA$ 增长时，由于上凸形曲段 $OA$ 的斜率是由大到小变化的，故容器必然会是上大下小形的，

当杯中水的高度 $h$ 沿着下凹形曲线 $OA$ 增长时，由于下凹形曲线 $OA$ 的斜率是由小到大变化的，故容器必然会是下大上小形的，

已知函数 $f(x)=e^x-1$，对于满足 $0＜x_1＜x_2＜e$ 的任意 $x_1$、$x_2$，给出下列结论：

①$(x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0$；

②$x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)$；

③$f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1$；

④$\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(\cfrac{x_1+x_2}{2})$；

其中正确结论的序号是【②③④】．

分析：由于函数 $f(x)=e^x-1$ 在区间 $[0，e]$ 上单调递增，

对于选项①而言，函数 $f(x)$ 单调递减，故①错误；

对于选项②变形得到，$x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)$；即 $\cfrac{f(x_1)}{x_1}<\cfrac{f(x_2)}{x_2}$；

即 $\cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<\cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0}$；借助图像很容易说明②正确；

对于选项③而言，变形得到 $\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$，即函数单调递增，故③正确；

对于选项④而言，刻画的是函数的凹凸性，也是正确的，故正确结论的序号是【②③④】．

【2022 届高三理科用题】已知 $f(x)=x^2+ax+b$，请回答则 $f(2)$ 和 $\cfrac{1}{2}[f(1)+f(3)]$ 的大小关系。

解：由于函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 为下凹函数，故有 $f(2)<\cfrac{1}{2}[f(1)+f(3)]$ .

即 $f(\cfrac{1+3}{2})<\cfrac{1}{2}[f(1)+f(3)]$ .