幂函数习题

公式定理💯随心记

【极值判定定理】文字语言：利用导数判断极值的方法。符号语言：若 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$，则 $f (x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值；若 $f''(x_0)<0$，则取得极大值

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前言

一般地，形如 $f(x)=x^{\alpha}$($\alpha\in R$) 的函数称为幂函数，其中 $x$ 为自变量，$\alpha$ 为常数，既然是形式定义，那么当题目告诉我们，函数 $h(x)=(m^2-2m+2)x^m$ 为幂函数，则 $m^2-2m+2=1$，解得 $m=1$，即所给的幂函数为 $y=x$。

幂函数性质

图像绘制

• 教材上只要求掌握五种幂函数，其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表：

当 $\alpha<0$ 时，恒过点 $(1，1)$，在 $(0，+\infty)$ 上单调递减，凹函数；

当 $\alpha=0$ 时，恒过点 $(1，1)$，在 $(0，+\infty)$ 上无单调性，无凹凸性；

当 $0<\alpha<1$，恒过点 $(0，0)$，$(1，1)$，在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，凸函数；

当 $\alpha=1$ 时，恒过点 $(0，0)$，$(1，1)$，在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，无凹凸性；

当 $\alpha>1$ 时，恒过点 $(0，0)$，$(1，1)$，在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，凹函数；

• 比如函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$，先画出 $[0，+\infty)$ 上的函数图像，再根据偶函数，画出 $(-\infty，0]$ 上的图像。
• 比如函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$，先画出 $[0，+\infty)$ 上的函数图像，再根据奇函数，画出 $(-\infty，0]$ 上的图像。
• 比如函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$，先画出 $(0，+\infty)$ 上的函数图像，无奇偶性，故只有第一象限的图像。

特别提示

• 请注意以下说法的实质内容；

• 幂函数 $y=x^{\alpha}$ 图像不经过原点，则 $\alpha\leq 0$；
• 幂函数 $y=x^{\alpha}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴没有交点，则 $\alpha\leq 0$；
• 幂函数 $y=x^{\alpha}$ 图像关于原点对称，则函数为奇函数；
  幂函数中的奇函数比如，$y=x$，$y=x^{-1}$，$y=x^3$，$y=x^{\frac{1}{3}}$ 等等；
• 幂函数 $y=x^{\alpha}$ 图像关于 $y$ 轴对称，则函数为偶函数；

幂函数中的偶函数比如，$y=x^0$，$y=x^{-2}$，$y=x^2$，$y=x^{\frac{2}{3}}$ 等等；

延申阅读

• 幂函数 $f(x)=x^a$，其抽象函数为 $f(x)\cdot f(y)=f(x\cdot y)$；$\cfrac{f(x)}{f(y)}$$=f(\cfrac{x}{y})$；

典例剖析

已知幂函数 $f(x)=x^{m^2-2m-3}(m\in N^*)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，且在 $(0，+\infty)$ 上是减函数，则 $m$ 的值是多少？

分析：由于幂函数 $f(x)$ 在 $(0，+\infty)$ 上是减函数，则 $m^2-2m-3<0$，

解得 $-1<m<3$，又 $m\in N^*$，所以 $m=1$ 或 $m=2$。

又由于图像关于 $y$ 轴对称，所以 $m^2-2m-3<0$ 为偶数，

当 $m=2$ 时 $m^2-2m-3$ 为奇数，舍去 $m=2$，

故 $m=1$。

【数形结合比较大小】 幂函数的图像经过点 $(\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})$，若 $0<a<b<1$，试比较 $f(a)、f(b)、f(1)、f(\cfrac{1}{a})、f(\cfrac{1}{b})$ 的大小。

分析：设幂函数解析式为 $y=x^{\alpha}$，由 幂函数的图像经过点 $(\cfrac{1}{2}，\cfrac{\sqrt{2}}{2})$，

则 $(\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$，即 $2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}$

故 $\alpha=\cfrac{1}{2}$，故幂函数为 $y=x^{\frac{1}{2}}$，求函数的解析式

则其在定义域 $[0，+\infty)$ 上单调递增。

又由于 $0<a<b<1$，则可知 $\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1$，

即 $0<a<b<1<\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{a}$，

故有 $f(a)<f(b)<f(1)<f(\cfrac{1}{b})<f(\cfrac{1}{a})$。

【数形结合比较大小】设 $a=(\cfrac{3}{5})^{\frac{2}{5}}$，$b=(\cfrac{2}{5})^{\frac{3}{5}}$，$c=(\cfrac{2}{5})^{\frac{2}{5}}$，

试比较 $a、b、c$ 的大小。

分析：比较 $a、c$，利用幂函数 $y=x^{\frac{2}{5}}$，在 $(0，+\infty)$ 上单调递增，故 $a>c$；

比较 $b、c$，利用指数函数 $y=(\cfrac{2}{5})^x$，在 $(-\infty，+\infty)$ 上单调递减，故 $c>b$；

故有 $a>c>b$。

【题组训练、思维拓展】若 $(2m+1)^{\frac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{2}}$，求实数 $m$ 的取值范围。

分析：由于上述不等式依托的函数是 $y=x^{\frac{1}{2}}$，在定义域 $[0，+\infty)$ 上单调递增，

故有 $\left\{\begin{array}{l}{2m+1\ge 0①}\\{m^2+m-1\ge 0②}\\{2m+1>m^2+m-1③}\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin {array}{l}{m\ge -\cfrac {1}{2}①}\\{m\ge\cfrac {\sqrt {5}-1}{2} 或 m\leq \cfrac {-\sqrt {5}-1}{2}②}\\{-1<m<2③}\end {array}\right.$

求交集得到，$\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leq m<2$。故 $m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)$。

【变式 1】【无奇偶性】若 $(2m+1)^{\frac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{4}}$，求实数 $m$ 的取值范围。

分析：求解过程同上，故 $m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)$。

【变式 2】【无奇偶性】若 $(2m+1)^{\frac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{2n}}(n\in N^{*})$，求实数 $m$ 的取值范围。

分析：求解过程同上，故 $m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)$。

【变式 3】【奇函数】若 $(2m+1)^{\frac{1}{3}}>(m^2+m-1)^{\frac{1}{3}}$，求实数 $m$ 的取值范围。

分析：定义域为 $(-\infty，+\infty)$，故只需要利用单调性，故 $-1<m<2$。

【变式 4】【抽象函数】若函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0，+\infty)$，且满足对任意的 $x_1，x_2\in [0，+\infty)$，都有 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\neq x_2)$，且满足 $f(2m+1)>f(m^2+m-1)$，求实数 $m$ 的取值范围。

分析：求解过程同上，故 $m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}，2)$。

【数形结合比较大小】若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是_________。

分析：借助两个幂函数的图像，求解不等式。$(0，1)$。图像

【求解析式】已知函数 $f(x)=x^{2-m}$ 是定义在区间 $[-3-m，m^2-m]$ 上的奇函数，求 $f(m)$ 的值。

分析：由题目可知，定义域关于原点对称，则 $(-3-m)+(m^2-m)=0$，

解得 $m=-1$ 或 $m=3$，但接下来必须逐个检验，

原因：刚才借助的是奇偶函数共有的性质，定义域关于原点对称，不是奇函数特有的，

当 $m=-1$ 时，函数 $f(x)=x^3$，奇函数，满足题意；

当 $m=3$ 时，函数 $f(x)=x^{-1}$，奇函数，但是其定义域不包含 $0$，不会是区间 $[-3-m，m^2-m]$，

即区间 $[-6，6]$，故不符合题意，舍去。

故函数 $f(x)=x^3$，$f(m)=f(-1)=(-1)^3=-1$。

【2019 武汉模拟】幂函数 $y=x^{\alpha}$，当 $\alpha$ 取不同的正数时，在区间 $[0，1]$ 上它们的图象是一组美丽的曲线 (如图)，设点 $A(1，0)$，$B(0，1)$，连接 $AB$，线段 $AB$ 恰好被其中的两个幂函数 $y＝x^a$，$y＝x^b$ 的图象三等分，即有 $BM=MN=NA$，那么 $a－\cfrac{1}{b}$ 值是【 】

$A.0$ $B.1$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.2$

分析：由题目可知，$M(\cfrac{1}{3},\cfrac{2}{3})$，$N(\cfrac{2}{3},\cfrac{1}{3})$，将其分别代入函数 $y＝x^a$，$y＝x^b$

得到 $\cfrac{2}{3}=(\cfrac{1}{3})^a$，$\cfrac{1}{3}=(\cfrac{2}{3})^b$，

则 $a=log_{\frac{1}{3}}\frac{2}{3}$，$b=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}$，显然有 $ab=1$，则 $a=\cfrac{1}{b}$

故 $a-\cfrac{1}{b}=0$，故选 $A$。

不等式 $(x-1)^{\frac{2}{3}}>(3x+1)^{\frac{2}{3}}$ 的解集为 【$\qquad$】

$A.(-1,0)$ $B.(-\cfrac{1}{3},1)$ $C.(0,1)$ $D.(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$

解析： 函数 $y=f(x)=x^{\frac{2}{3}}$，偶函数 ，故原不等式等价于 $f(|x-1|)>f(|3x+1|)$，

又函数 $y=f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，故有 $|x-1|>|3x+1|$，

两边平方得到， $|x-1|^2>|3x+1|^2$，解得，$x\in (-1,0)$，故选 $A$ .