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函数的奇偶性周期性习题

💎更新于 2022-05-12 15:34 | 发布于 2017-10-06 17:16
约 6384 字 | 阅读估时 21 分钟

公式定理💯随心记

【等差数列】符号语言:anan1=d(n2nNd)an+1an=d(n1nNd)


前言

典例剖析

已知 f(x+1) 是周期为 2 的奇函数,且当 1x0 时,f(x)=2x(x+1),且 f(32) 的值为_______.

分析:由于函数 f(x+1) 是奇函数,故 f(x+1)=f(x+1),即 f(x+1)+f(x+1)=0

故函数 f(x) 关于点 (10) 对称,则有 f(x)+f(2x)=0,即 f(2x)=f(x)

又函数 f(x+1) 是周期函数,故 f(x) 也是周期为 2 的周期函数,

则有 f(2x)=f(x),故 f(x)=f(x),即函数 f(x) 为奇函数,

f(32)=f(32)=f(322)=f(12)=2(12)(12+1)=12

【2015 全国二模】已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,f(x+1) 是偶函数,且当 x(24) 时,f(x)=|x3|,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=________.

分析:由函数 f(x+1) 是偶函数,得到 f(x+1)=f(x+1)

由此得到函数 f(x) 关于直线 x=1 对称,故有 f(x)=f(2x)

又函数 f(x) 还是奇函数,即 f(x)=f(x)

这样得到 f(2x)=f(x),将 x 换为 x,于是得到 f(x+2)=f(x),即周期为 4。

由于 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,则有 f(0)=0=f(4)

f(x)=f(2x) 中,令 x=0 得到 f(2)=f(0)=0,容易得到 f(3)=0

f(1)=f(3)=f(3)=0,故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

函数 f(x) 是周期为 4 的偶函数,当 x[02] 时,f(x)=x1,求不等式 xf(x)>0 [13] 上的解集。

分析:自己作图,读图即可解答,解集为 (10)(13)

法 2:还可以利用周期和对称性求得 f(x) 的解析式,

代入计算,当然这个方法没有图像法直观快捷。

f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [11] 上,f(x)={ax+1,1x<0bx+2x+1,0x1,其中 a,bR,若 f(12)=f(32),则求 a+3b 的值。

分析:本题目容易漏掉的一个条件是 f(1)=f(1)

已知奇函数 f(x) 的定义域是 [2,2],且在区间 [2,0] 上递减,求满足 f(1m)+f(1m2)<0 的实数 m 的取值范围。

分析:这类题目一般要考虑定义域和单调性,其中单调性的作用是去掉符号 f

①,由定义域可知,21m2 21m22

②、为去掉符号 f,转化为 f(1m)<f(1m2), 到此还不能顺利利用单调性,

其一奇函数和在区间 [2,0] 上递减,得到函数 f(x) 在区间 [2,2] 上递减,

还需要利用奇函数转化为 f(1m)<f(m21), 这样就能利用单调性去掉符号 f 了,

解析:有题目可知 {21m221m22

又函数为奇函数和在区间 [2,0] 上递减,得到函数 f(x) 在区间 [2,2] 上递减,

f(1m)+f(1m2)<0 转化为 f(1m)<f(1m2)=f(m21)

故有 1m>m21,联立①②③得到 m[11)

【2016 淄博模拟】设 f(x)g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f(x)g(x) +f(x)g(x)>0,且 g(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是【】

A.(30)(3+)
B.(30)(03)
C.(3)(3+)
D.(3)(03)

法 1 分析:令 h(x)=f(x)g(x), 则函数 h(x) 为奇函数,则 h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)

由题目可知,当 x<0 时,h(x)>0,即函数 h(x) 在区间 (0) 上单调递增,

在区间 (0+) 上单调递增,又 g(3)=0,则 h(3)=f(3)g(3)=0

故在区间 (3) h(x)<0,在区间 (30) h(x)>0

h(0)=0 是单独定义的,又由函数 h(x) 为奇函数,

故在区间 (0,3) h(x)<0h(3)=0,在区间 (3+) h(x)>0,

故不等式 f(x)g(x)<0 的解集即 h(x)<0 的解集为 (,3)(0,3)

反思总结:注意函数 h(x)=f(x)g(x) 的零点有三个 x=3x=0x=3

本题目容易错误的理解为在 (0) 单增,在 (0+) 单增,在 x=0 处有定义,

那么在 (+) 单增,这样函数 h(x) 的零点只有一个,这样的理解是错误的。

只有函数 h(x) x=0 处左右连续,且 lim

此时的 h(x) 才只有一个零点。
  
法 2:由上述解法可知,函数 h(x) (-\infty,0) 上单调递减,

(0,+\infty) 上单调递增,故由 h(x)<0=h(-3)

h(x)<0=h(3) 得到,解集为 (-\infty,-3)\cup(0,3)

【2017 德州模拟】【单调性 + 奇偶性】已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,对任意的 x,y\in R,2x+3y\neq 0,都有 \frac{f(x)+f(\frac{3y}{2})}{2x+3y}<0,若 2x+3y>0,则有【】

A.f(2x)+f(3y)\leq 0
B.f(2x)+f(3y)\ge 0
C.f(2x)+f(3y)< 0
D.f(2x)+f(3y) > 0

分析:\frac{f(x)+f(\frac{3y}{2})}{2x+3y}<0 可以先变形为 \frac{f(x)+f(\frac{3y}{2})}{x+\frac{3y}{2}}<0,即 \frac{f(x)-f(-\frac{3y}{2})}{x-(-\frac{3y}{2})}<0

x_1=x,x_2=-\cfrac{3y}{2},则 \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0,即函数 f(x) 为 R 上的减函数,

结合 2x>-3y, 可得 f(2x)<f(-3y)=-f(3y),故有 f(2x)+f(3y)< 0。故选 C

【2016\cdot 成都模拟】已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2^{-x},则不等式 f(x)<-\cfrac{1}{2} 的解集是【】

A.(-\infty,-1) B.(-\infty,-1] C.(1,+\infty) D.[1,+\infty)

法 1:先求得函数 f(x) 的解析式,转化为分段函数不等式求解;

x<0 时,则 -x>0,故 f(x)=-f(-x)=-(1-2^x)=-1+2^x

故函数 f(x) 的解析式为 f(x)=\begin{cases}1-2^{-x},&x\ge 0\\-1+2^x,&x<0\end{cases},求 f(x)<-\cfrac{1}{2}

等价转化为 \begin{cases}x\ge0\\1-2^{-x}<-\cfrac{1}{2}\end{cases},或 \begin{cases}x<0\\-1+2^x<-\cfrac{1}{2}\end{cases}

解得 x<-1,故选 A

法 2:利用奇函数的对称性求解,由于奇函数的图像关于原点对称,

x>0 时,f(x)=1-2^{-x}>0,而 f(x)<-\cfrac{1}{2} 的解集和 f(x)>\cfrac{1}{2}(x>0) 的解集关于原点对称,

故先求解不等式 f(x)>\cfrac{1}{2}(x>0)

得到 1-2^{-x}>\cfrac{1}{2}(x>0),解得 x>1

故原不等式 f(x)<-\cfrac{1}{2} 的解集为 x<-1,故选 A

已知定义在 R 上的偶函数 f(x), 在 x\ge 0 时,f(x)=e^x+ln(x+1),若 f(a)<f(a-1),则 a 的取值范围是【】

A.(-\infty,1) B.(-\infty,\cfrac{1}{2}) C.(\cfrac{1}{2},1) D.(1,+\infty)

分析。根据题中所给的函数解析式,可知函数 y=e^x,y=ln(x+1) [0,+\infty) 上是增加的,

故函数 f(x)=e^x+ln(x+1) [0,+\infty) 上是增加的,

根据偶函数图像的对称性,可知函数在 (-\infty,0] 上是减少的,

所以 f(a)<f(a-1) 等价于 |a|<|a-1|,两边同时平方去掉绝对值符号,

解得 a<\cfrac{1}{2},故选 B

解后反思:①、本题目如果分类讨论去掉符号 f,就会变得很麻烦。②、遇到两个绝对值符号,通常平方处理。

【2019 届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第 7 题】设函数 f(x)(x\in R) 满足 f(x+\pi)=f(x)+sinx,当 0\leq x<\pi 时,f(x)=0,求 f(\cfrac{23\pi}{6}) 的值。

分析:f(x+2\pi)=f[(x+\pi)+\pi]=f(x+\pi)+sin(x+\pi)

=[f(x)+sinx]-sinx=f(x),故 T=2\pi

f(\cfrac{23\pi}{6})=f(\pi+\cfrac{5\pi}{6})=f(\cfrac{5\pi}{6})+sin\cfrac{5\pi}{6}=0+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}

【2019 届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第 13 题】设定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足一下条件:

f(x)+f(-x)=0

f(x)=f(x+2)

③当 0\leq x<1 时,f(x)=2^x-1

f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2}) 的值是_________。

分析:由①知,函数为奇函数,在利用③先做出 [0,1) 上的图像,

再利用奇函数,做出 (-1,0] 上的图像,一个周期基本完成,就差端点值 f(-1) f(1) 的值未确定;

难点是求 f(1) 的值,可以通过以下几个思路求解,

法 1:图像法,假设 f(1)=\cfrac{1}{2},则 f(-1)=-\cfrac{1}{2},奇偶性是说的通的,

但是周期性不满足,因为向右平移一个周期后,元素 1 对应 \cfrac{1}{2},还对应 -\cfrac{1}{2}

出现了一对多,不是函数了,故只能有 f(1)=0,即也有 f(-1)=0

这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。

法 2:题中没有明确告诉,但是由①②可知,

f(x+2)=-f(-x),即 f(x+2)+f(-x)=0,即对称中心是 (1,0)

这时要么函数在 (1,0) 处没有定义,这个不满足题意;

要么必有 f(1)=0,则 f(-1)=0;其余就好处理了。

法 3:赋值法,由 f(x)+f(-x)=0,令 x=1,得到 f(1)+f(-1)=0①,

x=-1,由 f(x)=f(x+2) 得到,f(-1)=f(1)②,故有 f(1)=f(-1)=0

在此基础上,做出函数的大致图像,可知 f(1)=f(2)=f(0)=0

f(\cfrac{3}{2})+f(\cfrac{5}{2})=0f(\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}-1

f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})=\sqrt{2}-1

作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
情怀:一直设想如何利用自己浅陋的教学感悟和粗鄙的电脑知识,将数学学习的手段和要素都整合到云端。

出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7631819.html

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