函数的奇偶性周期性习题
💎更新于 2022-05-12 15:34 | 发布于 2017-10-06 17:16
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前言
典例剖析
分析:由于函数 f(x+1) 是奇函数,故 f(−x+1)=−f(x+1),即 f(−x+1)+f(x+1)=0,
故函数 f(x) 关于点 (1,0) 对称,则有 f(x)+f(2−x)=0,即 f(2−x)=−f(x),
又函数 f(x+1) 是周期函数,故 f(x) 也是周期为 2 的周期函数,
则有 f(2−x)=f(−x),故 f(−x)=−f(x),即函数 f(x) 为奇函数,
f(−32)=−f(32)=−f(32−2)=−f(−12)=2⋅(−12)(−12+1)=−12。
分析:由函数 f(x+1) 是偶函数,得到 f(−x+1)=f(x+1),
由此得到函数 f(x) 关于直线 x=1 对称,故有 f(x)=f(2−x),
又函数 f(x) 还是奇函数,即 f(x)=−f(−x),
这样得到 f(2−x)=−f(−x),将 −x 换为 x,于是得到 f(x+2)=−f(x),即周期为 4。
由于 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,则有 f(0)=0=f(4),
在 f(x)=f(2−x) 中,令 x=0 得到 f(2)=f(0)=0,容易得到 f(3)=0,
而 f(1)=f(−3)=−f(3)=0,故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
分析:自己作图,读图即可解答,解集为 (−1,0)∪(1,3);
法 2:还可以利用周期和对称性求得 f(x) 的解析式,
代入计算,当然这个方法没有图像法直观快捷。
分析:本题目容易漏掉的一个条件是 f(−1)=f(1)。
分析:这类题目一般要考虑定义域和单调性,其中单调性的作用是去掉符号 f,
①,由定义域可知,−2≤1−m≤2 且 −2≤1−m2≤2
②、为去掉符号 f,转化为 f(1−m)<−f(1−m2), 到此还不能顺利利用单调性,
其一奇函数和在区间 [−2,0] 上递减,得到函数 f(x) 在区间 [−2,2] 上递减,
还需要利用奇函数转化为 f(1−m)<f(m2−1), 这样就能利用单调性去掉符号 f 了,
解析:有题目可知 {−2≤1−m≤2①−2≤1−m2≤2②,
又函数为奇函数和在区间 [−2,0] 上递减,得到函数 f(x) 在区间 [−2,2] 上递减,
则 f(1−m)+f(1−m2)<0 转化为 f(1−m)<−f(1−m2)=f(m2−1),
故有 1−m>m2−1③,联立①②③得到 m∈[−1,1)。
法 1 分析:令 h(x)=f(x)g(x), 则函数 h(x) 为奇函数,则 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
由题目可知,当 x<0 时,h′(x)>0,即函数 h(x) 在区间 (−∞,0) 上单调递增,
在区间 (0,+∞) 上单调递增,又 g(−3)=0,则 h(−3)=f(−3)g(−3)=0,
故在区间 (−∞,−3) 上 h(x)<0,在区间 (−3,0) 上 h(x)>0,
h(0)=0 是单独定义的,又由函数 h(x) 为奇函数,
故在区间 (0,3) 上 h(x)<0,h(3)=0,在区间 (3,+∞) 上 h(x)>0,
故不等式 f(x)g(x)<0 的解集即 h(x)<0 的解集为 (−∞,−3)∪(0,3)。
反思总结:注意函数 h(x)=f(x)g(x) 的零点有三个 x=−3、x=0、x=3,
本题目容易错误的理解为在 (−∞,0) 单增,在 (0,+∞) 单增,在 x=0 处有定义,
那么在 (−∞,+∞) 单增,这样函数 h(x) 的零点只有一个,这样的理解是错误的。
只有函数 h(x) 在 x=0 处左右连续,且 lim,
此时的 h(x) 才只有一个零点。
法 2:由上述解法可知,函数 h(x) 在 (-\infty,0) 上单调递减,
在 (0,+\infty) 上单调递增,故由 h(x)<0=h(-3),
和 h(x)<0=h(3) 得到,解集为 (-\infty,-3)\cup(0,3)。
分析:\frac{f(x)+f(\frac{3y}{2})}{2x+3y}<0 可以先变形为 \frac{f(x)+f(\frac{3y}{2})}{x+\frac{3y}{2}}<0,即 \frac{f(x)-f(-\frac{3y}{2})}{x-(-\frac{3y}{2})}<0,
令 x_1=x,x_2=-\cfrac{3y}{2},则 \cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0,即函数 f(x) 为 R 上的减函数,
结合 2x>-3y, 可得 f(2x)<f(-3y)=-f(3y),故有 f(2x)+f(3y)< 0。故选 C。
法 1:先求得函数 f(x) 的解析式,转化为分段函数不等式求解;
当 x<0 时,则 -x>0,故 f(x)=-f(-x)=-(1-2^x)=-1+2^x,
故函数 f(x) 的解析式为 f(x)=\begin{cases}1-2^{-x},&x\ge 0\\-1+2^x,&x<0\end{cases},求 f(x)<-\cfrac{1}{2},
等价转化为 \begin{cases}x\ge0\\1-2^{-x}<-\cfrac{1}{2}\end{cases},或 \begin{cases}x<0\\-1+2^x<-\cfrac{1}{2}\end{cases},
解得 x<-1,故选 A;
法 2:利用奇函数的对称性求解,由于奇函数的图像关于原点对称,
当 x>0 时,f(x)=1-2^{-x}>0,而 f(x)<-\cfrac{1}{2} 的解集和 f(x)>\cfrac{1}{2}(x>0) 的解集关于原点对称,
故先求解不等式 f(x)>\cfrac{1}{2}(x>0) ,
得到 1-2^{-x}>\cfrac{1}{2}(x>0),解得 x>1,
故原不等式 f(x)<-\cfrac{1}{2} 的解集为 x<-1,故选 A。
分析。根据题中所给的函数解析式,可知函数 y=e^x,y=ln(x+1) 在 [0,+\infty) 上是增加的,
故函数 f(x)=e^x+ln(x+1) 在 [0,+\infty) 上是增加的,
根据偶函数图像的对称性,可知函数在 (-\infty,0] 上是减少的,
所以 f(a)<f(a-1) 等价于 |a|<|a-1|,两边同时平方去掉绝对值符号,
解得 a<\cfrac{1}{2},故选 B。
解后反思:①、本题目如果分类讨论去掉符号 f,就会变得很麻烦。②、遇到两个绝对值符号,通常平方处理。
分析:f(x+2\pi)=f[(x+\pi)+\pi]=f(x+\pi)+sin(x+\pi)
=[f(x)+sinx]-sinx=f(x),故 T=2\pi,
则 f(\cfrac{23\pi}{6})=f(\pi+\cfrac{5\pi}{6})=f(\cfrac{5\pi}{6})+sin\cfrac{5\pi}{6}=0+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}。
①f(x)+f(-x)=0;
②f(x)=f(x+2);
③当 0\leq x<1 时,f(x)=2^x-1,
则 f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2}) 的值是_________。
分析:由①知,函数为奇函数,在利用③先做出 [0,1) 上的图像,
再利用奇函数,做出 (-1,0] 上的图像,一个周期基本完成,就差端点值 f(-1) 和 f(1) 的值未确定;
难点是求 f(1) 的值,可以通过以下几个思路求解,
法 1:图像法,假设 f(1)=\cfrac{1}{2},则 f(-1)=-\cfrac{1}{2},奇偶性是说的通的,
但是周期性不满足,因为向右平移一个周期后,元素 1 对应 \cfrac{1}{2},还对应 -\cfrac{1}{2},
出现了一对多,不是函数了,故只能有 f(1)=0,即也有 f(-1)=0,
这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。
法 2:题中没有明确告诉,但是由①②可知,
f(x+2)=-f(-x),即 f(x+2)+f(-x)=0,即对称中心是 (1,0),
这时要么函数在 (1,0) 处没有定义,这个不满足题意;
要么必有 f(1)=0,则 f(-1)=0;其余就好处理了。
法 3:赋值法,由 f(x)+f(-x)=0,令 x=1,得到 f(1)+f(-1)=0①,
令 x=-1,由 f(x)=f(x+2) 得到,f(-1)=f(1)②,故有 f(1)=f(-1)=0,
在此基础上,做出函数的大致图像,可知 f(1)=f(2)=f(0)=0,
f(\cfrac{3}{2})+f(\cfrac{5}{2})=0,f(\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}-1,
故 f(\cfrac{1}{2})+f(1)+f(\cfrac{3}{2})+f(2)+f(\cfrac{5}{2})=\sqrt{2}-1。
作者:陕西凤翔,微信:wh1979448597,邮箱:wanghai0666@126.com,敬请雅正,欢迎联系。
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出处:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7631819.html
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