含参二次不等式的解法

前言

含参数的二次不等式的求解是高中学生的难点，涉及到代数的内涵。

数字系数

解关于\(x\)的不等式\(-x^2+4x-3 \ge 0\)

分析：\(x\in [1，3]\)；

字母系数

• 含参数的二次不等式，一动根一定根

解关于\(x\)的不等式\((x-2)[x-(3a+1)]<0\)

• (含参数的二次不等式，两动根)

解关于\(x\)的不等式\(x^2-\cfrac{a}{2}x-\cfrac{a^2}{2}<0\)

分析：将原不等式等价转化为\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})<0\)，

令\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})=0\)，

则方程的两个根为\(x=-\cfrac{a}{2}\)和\(x=a\)，

下来根据这两个动根的大小分类讨论

当\(-\cfrac{a}{2}<a\)时，即\(a>0\)时，不等式的解集为\((-\cfrac{a}{2}，a)\)；

当\(-\cfrac{a}{2}=a\)时，即\(a=0\)时，不等式的解集为\(\varnothing\)；

当\(-\cfrac{a}{2}>a\)时，即\(a<0\)时，不等式的解集为\((a，-\cfrac{a}{2})\)；

综上，略。

解关于\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)

分析：将原不等式等价转化为\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)，

其对应方程的两个根为\(x=a^2\)和\(x=a\)，分类讨论如下：

\(1^{\circ}\) 当\(a^2>a\)，即\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；

\(2^{\circ}\) 当\(a^2=a\)，即\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；

\(3^{\circ}\) 当\(a^2<a\)，即\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；

综上所述：

当\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；

当\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；

当\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；

解关于\(x\)的不等式\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0\).

分析：当\(a=1\)时，原不等式为\(1<0\)，故解集为\(\varnothing\)；

当\(a\neq 1\)时，由于\(a^2+1>2a\)，故解集为\((2a，a^2+1)\)；

解关于\(x\)的不等式\(ax^2-(a+1)x+1<0\)

分析：若\(a=0\)时，原不等式等价于\(-x+1<0\)，即\(x>1\)；

若\(a<0\)时，原不等式等价于\((x-\cfrac{1}{a})(x-1)>0\)，解得\(x<\cfrac{1}{a}\)或\(x>1\)；

若\(a>0\)时，原不等式等价于\((x-\cfrac{1}{a})(x-1)<0\)，

当\(\cfrac{1}{a}=1\)时，即\(a=1\)时，不等式无解；

当\(\cfrac{1}{a}<1\)时，即\(a>1\)时，不等式解集为\(\{x\mid \cfrac{1}{a}<x<1\}\)；

当\(\cfrac{1}{a}>1\)时，即\(0<a<1\)时，不等式解集为\(\{x\mid 1<x< \cfrac{1}{a}\}\)；

综上所述，

当\(a<0\)时，不等式解集为\(\{x\mid x<\cfrac{1}{a}\)或\(x>1\}\)；

当\(a=0\)时，不等式解集为\(\{x\mid x>1\}\)；

当\(0<a<1\)时，不等式解集为\(\{x\mid 1<x< \cfrac{1}{a}\}\)；

当\(a=1\)时，不等式解集为\(\varnothing\)；

当\(a>1\)时，不等式解集为\(\{x\mid \cfrac{1}{a}<x<1\}\)；

因式分解

实际高三数学教学和考试中的相关习题常常是这样的，理解掌握。

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

【2025届高三数学月考二用题】已知关于 \(x\) 的不等式组 \(\left\{\begin{array}{l}x^2-2x-8>0\\2x^2+(2k+7)x+7k<0\end{array}\right.\) 仅有一个整数解，则 \(k\) 的取值范围为 【\(\qquad\)】

$A.\{x\mid-5 < x < 3 或 4 < x < 5\}$

$B.\{x\mid-5\leq x < 3或 4 < x \leq 5\}$

$C.\{x\mid -5 < x \leq 3或4 \leq x < 5\}$

$D.\{x\mid-5 \leq x \leq 3 或 4 \leq x \leq 5\}$

解析：红色区域代表 \(x<-2\) 或 \(x>4\)，\(2x^2+(2k+7)x+7k<0\) 即 \((x+k)(2x+7)<0\)，故此时的不等式解集为 \((-k,-3.5)\) 或 \((-3.5,-k)\)，借助动态课件观察得到，

要使得关于 \(x\) 的不等式组仅有一个整数解，必须满足 \(-3<-k\leqslant 5\) 或 \(-5\leqslant -k<-4\)，

从而解得，\(-5\leqslant k<3\) 或 \(4<k\leqslant 5\)，故选 \(B\) .

转化划归

设函数\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)\)，讨论\(f(x)\)的单调性；

【分析】利用导数转化为求解含有参数a的不等式，给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。

【解答】导数法研究单调性，先求出定义域\((-1，+\infty)\)，

\(f'(x)=x+\cfrac{a}{x+1}\)\(=\cfrac{x(x+1)+a}{x+1}\)\(=\cfrac{x^2+x+a}{x+1}\)\(=\cfrac{(x+\cfrac{1}{2})^2+a-\cfrac{1}{4}}{x+1}\)，

①当\(a≥\cfrac{1}{4}\)时，\(f'(x)≥0\)恒成立，且当\(a=\cfrac{1}{4}\)时仅仅在\(x=-\cfrac{1}{2}\)处取到等号，

故函数\(f(x)\)在\((-1，+∞)\)上单调递增；

②当\(a<\cfrac{1}{4}\)时，令\(x^2+x+a=0\)，得到\(x=\cfrac{-1±\sqrt{1-4a}}{2}\)，

接下来将其中的小根和-1作比较，

当\(-1<\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(0<a<\cfrac{1}{4}\)时，

\(x\in (-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

\(x\in(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，

\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

当\(-1=\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(a=0\)时，\(x\in (-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

当\(-1>\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)时，即\(a<0\)时，\(x\in(-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，

综上所述，当\(a≥\cfrac{1}{4}\)时，函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-1，+∞)\)，无单调递减区间；

当\(0<a<\cfrac{1}{4}\)时，单调递增区间为\((-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)和\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)，

单调递减区间为\((\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)；

当\(a≤0\)时，单调递减区间为\((-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)，单调递增区间为\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)\)；

已知函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}ax^3-\cfrac{1}{2}(a+1)x^2+x\)，且\(a>0\)，试判断函数\(f(x)\)的单调性；

分析：函数\(f(x)\)的定义域为\((-\infty,+\infty)\)，\(f'(x)=ax^2-(a+1)x+1=a(x-\cfrac{1}{a})(x-1)\)，

当\(\cfrac{1}{a}=1\)时，即\(a=1\)时，\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立，则在\((-\infty,+\infty)\)单调递增；

当\(\cfrac{1}{a}<1\)时，即\(a>1\)时，

当\(x\in (-\infty,\cfrac{1}{a})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in (\cfrac{1}{a},1)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in (1,+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

当\(\cfrac{1}{a}>1\)时，即\(0<a<1\)时，

当\(x\in (-\infty,1)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in (1,\cfrac{1}{a})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in (\cfrac{1}{a},+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

综上所述，

当\(0<a<1\)时，函数的单调递增区间为\((-\infty,1)\)和\((\cfrac{1}{a},+\infty)\)，单调递减区间为\((1,\cfrac{1}{a})\)；

当\(a=1\)时，函数的单调递增区间为\((-\infty,+\infty)\)；

当\(a>1\)时，函数的单调递增区间为\((-\infty,\cfrac{1}{a})\)和\((1,+\infty)\)，单调递减区间为\((\cfrac{1}{a},1)\)；