含参二次不等式的解法

公式定理💯随心记

【排列组合性质】文字语言：组合数的两个重要性质。符号语言：$C_n^m=C_n^{n-m}$；$C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$；$C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n$

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前言

含参数的二次不等式的求解是高中学生的难点，涉及到代数的内涵。

数字系数

解关于 $x$ 的不等式 $-x^2+4x-3 \ge 0$

分析：$x\in [1，3]$；

字母系数

• 含参数的二次不等式，一动根一定根

解关于 $x$ 的不等式 $(x-2)[x-(3a+1)]<0$

• (含参数的二次不等式，两动根)

解关于 $x$ 的不等式 $x^2-\cfrac{a}{2}x-\cfrac{a^2}{2}<0$

分析：将原不等式等价转化为 $(x-a)(x+\cfrac{a}{2})<0$，

令 $(x-a)(x+\cfrac{a}{2})=0$，

则方程的两个根为 $x=-\cfrac{a}{2}$ 和 $x=a$，

下来根据这两个动根的大小分类讨论

当 $-\cfrac{a}{2}<a$ 时，即 $a>0$ 时，不等式的解集为 $(-\cfrac{a}{2}，a)$；

当 $-\cfrac{a}{2}=a$ 时，即 $a=0$ 时，不等式的解集为 $\varnothing$；

当 $-\cfrac{a}{2}>a$ 时，即 $a<0$ 时，不等式的解集为 $(a，-\cfrac{a}{2})$；

综上，略。

解关于 $x$ 的不等式 $x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0$

分析：将原不等式等价转化为 $(x-a^2)(x-a)\leq 0$，

其对应方程的两个根为 $x=a^2$ 和 $x=a$，分类讨论如下：

$1^{\circ}$ 当 $a^2>a$，即 $a<0$ 或 $a>1$ 时，解集为 $[a，a^2]$；

$2^{\circ}$ 当 $a^2=a$，即 $a=0$ 或 $a=1$ 时，解集为 $\{0，1\}$；

$3^{\circ}$ 当 $a^2<a$，即 $0<a<1$ 时，解集为 $[a^2，a]$；

综上所述：

当 $a<0$ 或 $a>1$ 时，解集为 $[a，a^2]$；

当 $a=0$ 或 $a=1$ 时，解集为 $\{0，1\}$；

当 $0<a<1$ 时，解集为 $[a^2，a]$；

解关于 $x$ 的不等式 $\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0$.

分析：当 $a=1$ 时，原不等式为 $1<0$，故解集为 $\varnothing$；

当 $a\neq 1$ 时，由于 $a^2+1>2a$，故解集为 $(2a，a^2+1)$；

解关于 $x$ 的不等式 $ax^2-(a+1)x+1<0$

分析：若 $a=0$ 时，原不等式等价于 $-x+1<0$，即 $x>1$；

若 $a<0$ 时，原不等式等价于 $(x-\cfrac{1}{a})(x-1)>0$，解得 $x<\cfrac{1}{a}$ 或 $x>1$；

若 $a>0$ 时，原不等式等价于 $(x-\cfrac{1}{a})(x-1)<0$，

当 $\cfrac{1}{a}=1$ 时，即 $a=1$ 时，不等式无解；

当 $\cfrac{1}{a}<1$ 时，即 $a>1$ 时，不等式解集为 $\{x\mid \cfrac{1}{a}<x<1\}$；

当 $\cfrac{1}{a}>1$ 时，即 $0<a<1$ 时，不等式解集为 $\{x\mid 1<x< \cfrac{1}{a}\}$；

综上所述，

当 $a<0$ 时，不等式解集为 $\{x\mid x<\cfrac{1}{a}$ 或 $x>1\}$；

当 $a=0$ 时，不等式解集为 $\{x\mid x>1\}$；

当 $0<a<1$ 时，不等式解集为 $\{x\mid 1<x< \cfrac{1}{a}\}$；

当 $a=1$ 时，不等式解集为 $\varnothing$；

当 $a>1$ 时，不等式解集为 $\{x\mid \cfrac{1}{a}<x<1\}$；

因式分解

实际高三数学教学和考试中的相关习题常常是这样的，理解掌握。

①$x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0$，即 $(x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0$；

②$x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0$，即 $[x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0$；

③$x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0$；即 $[x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0$；

④$x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0$，即 $(x-a)(x-a^2)\leq 0$；

⑤$x^2-(a+1)x+a\leq 0$，即 $(x-1)(x-a)\leq 0$；

⑥$x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0$；即 $(x-a)[x-(a+1)]\leq 0$；

⑦$\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)$；即 $(x-2a)[x-(a^2+1)]<0$，解集为 $(2a，a^2+1)$；

⑧$x^2+(m+4)x+m+3<0$，即 $(x+1)[x+(m+3)]<0$；

【2025 届高三数学月考二用题】已知关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x^2-2x-8>0\\2x^2+(2k+7)x+7k<0\end{array}\right.$ 仅有一个整数解，则 $k$ 的取值范围为 【$\qquad$】

$A.\{x\mid-5 < x < 3 或 4 < x < 5\}$

$B.\{x\mid-5\leq x < 3 或 4 < x \leq 5\}$

$C.\{x\mid -5 < x \leq 3 或 4 \leq x < 5\}$

$D.\{x\mid-5 \leq x \leq 3 或 4 \leq x \leq 5\}$

解析：红色区域代表 $x<-2$ 或 $x>4$，$2x^2+(2k+7)x+7k<0$ 即 $(x+k)(2x+7)<0$，故此时的不等式解集为 $(-k,-3.5)$ 或 $(-3.5,-k)$，借助动态课件观察得到，

要使得关于 $x$ 的不等式组仅有一个整数解，必须满足 $-3<-k\leqslant 5$ 或 $-5\leqslant -k<-4$，

从而解得，$-5\leqslant k<3$ 或 $4<k\leqslant 5$，故选 $B$ .

转化划归

设函数 $f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)$，讨论 $f(x)$ 的单调性；

【分析】利用导数转化为求解含有参数 a 的不等式，给导函数的分子配方就能找到分类讨论的标准。

【解答】导数法研究单调性，先求出定义域 $(-1，+\infty)$，

$f'(x)=x+\cfrac{a}{x+1}$$=\cfrac{x(x+1)+a}{x+1}$$=\cfrac{x^2+x+a}{x+1}$$=\cfrac{(x+\cfrac{1}{2})^2+a-\cfrac{1}{4}}{x+1}$，

①当 $a≥\cfrac{1}{4}$ 时，$f'(x)≥0$ 恒成立，且当 $a=\cfrac{1}{4}$ 时仅仅在 $x=-\cfrac{1}{2}$ 处取到等号，

故函数 $f(x)$ 在 $(-1，+∞)$ 上单调递增；

②当 $a<\cfrac{1}{4}$ 时，令 $x^2+x+a=0$，得到 $x=\cfrac{-1±\sqrt{1-4a}}{2}$，

接下来将其中的小根和 - 1 作比较，

当 $-1<\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$ 时，即 $0<a<\cfrac{1}{4}$ 时，

$x\in (-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

$x\in(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，

$x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

当 $-1=\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$ 时，即 $a=0$ 时，$x\in (-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，$x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

当 $-1>\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$ 时，即 $a<0$ 时，$x\in(-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，$x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，

综上所述，当 $a≥\cfrac{1}{4}$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1，+∞)$，无单调递减区间；

当 $0<a<\cfrac{1}{4}$ 时，单调递增区间为 $(-1，\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})$ 和 $(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)$，

单调递减区间为 $(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})$；

当 $a≤0$ 时，单调递减区间为 $(-1，\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})$，单调递增区间为 $(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}，+\infty)$；

已知函数 $f(x)=\cfrac{1}{3}ax^3-\cfrac{1}{2}(a+1)x^2+x$，且 $a>0$，试判断函数 $f(x)$ 的单调性；

分析：函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$，$f'(x)=ax^2-(a+1)x+1=a(x-\cfrac{1}{a})(x-1)$，

当 $\cfrac{1}{a}=1$ 时，即 $a=1$ 时，$f'(x)\geqslant 0$ 恒成立，则在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增；

当 $\cfrac{1}{a}<1$ 时，即 $a>1$ 时，

当 $x\in (-\infty,\cfrac{1}{a})$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x\in (\cfrac{1}{a},1)$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x\in (1,+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

当 $\cfrac{1}{a}>1$ 时，即 $0<a<1$ 时，

当 $x\in (-\infty,1)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x\in (1,\cfrac{1}{a})$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x\in (\cfrac{1}{a},+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

综上所述，

当 $0<a<1$ 时，函数的单调递增区间为 $(-\infty,1)$ 和 $(\cfrac{1}{a},+\infty)$，单调递减区间为 $(1,\cfrac{1}{a})$；

当 $a=1$ 时，函数的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$；

当 $a>1$ 时，函数的单调递增区间为 $(-\infty,\cfrac{1}{a})$ 和 $(1,+\infty)$，单调递减区间为 $(\cfrac{1}{a},1)$；