常用逻辑用语

四种命题

• 1、命题的定义，真命题，假命题
• 2、四种命题的关系

原命题(若\(p\)，则\(q\))；逆命题(若\(q\)，则\(p\))；否命题(若\(\neg p\)，则\(\neg q\))；逆否命题(若\(\neg q\)，则\(\neg p\))；

互逆关系：原命题和逆命题、否命题和逆否命题；

互否关系：原命题和否命题、逆命题和逆否命题；

等价关系：原命题和逆否命题、逆命题和否命题；即同真同假。

充要条件

1、如果\(p\Rightarrow q\)，则\(p\)是\(q\)的充分条件不能将“若\(p\)，则\(q\)”形式与“\(p\Rightarrow q\)”混为一谈，只有“若\(p\)，则\(q\)”为真命题时，才有“\(p\Rightarrow q\)”，即“\(p\Rightarrow q\)” \(\Leftrightarrow\)“若\(p\)，则\(q\)”为真命题\(\quad\)；

2、如果\(q\Rightarrow p\)，则\(p\)是\(q\)的必要条件；

3、如果满足\(p\Rightarrow q\)且\(q\Rightarrow p\)，记作\(q\Leftrightarrow p\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件(互为充要)；

4、如果满足\(p\nRightarrow q\)且\(q\nRightarrow p\)，则\(p\)是\(q\)的既不充分也不必要条件；

常用结论

1、若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，若\(q\)是\(r\)的充分不必要条件，则\(p\)是\(r\)的充分不必要条件[传递性]；

2、若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件[原命题]，则\(q\)是\(p\)的必要不充分条件[逆命题]；

若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件[原命题]，则\(\neg q\)是\(\neg p\)的充分不必要条件[逆否命题]；

若\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要不充分条件[原命题]，则\(q\)是\(p\)的必要不充分条件[逆否命题]；

3、命题的否命题和命题的否定[如原命题是"若\(p\)，则\(q\)"]

则其否命题是：若\(\neg p\)，则\(\neg q\)；命题的否定：若\(p\)且\(\neg q\)；

4、有关充要条件的语序问题：

①比如给定“\(A\)是\(B\)的充要条件”，则充分性是指：\(A\Rightarrow B\)，必要性是指：\(B\Rightarrow A\)，

②如果给定“\(A\)的充要条件是\(B\)”，则需要调整语序为“\(B\)是\(A\)的充要条件”，此时充分性是指：\(B\Rightarrow A\)，必要性是指：\(A\Rightarrow B\)，

使得\(a>0,b>0\)成立的一个必要不充分条件是【】

$A.a+b >0$ $B.a-b>0$ $C.ab >1$ $D.\cfrac{a}{b}>1$

分析：本题是问下面的四个选项哪一个是题干\(a>0,b>0\)的必要不充分条件，如果从下面往上做，就有难度，如果调整语序，那么原题目是问\(a>0,b>0\)是哪一个选项的充分不必要条件，那么我们就很容易选择\(A\)是正确的。

5、题目中出现“若\(p\)或\(q\)为真命题，若\(p\)且\(q\)为假命题”，则意味着\(p\)、\(q\)必然一真一假，接下来需要分类讨论：\(p\)真\(q\)假；或\(p\)假\(q\)真；

题型方法

• 1、写出一个命题的其他三种命题形式：

①若不是“若\(p\)，则\(q\)”的形式，先改写；如“对顶角相等”。

②若有大前提，要保留；如[设\(a\)、\(b\)、\(c\in R\)，若\(a>b\)，则\(ac^2>bc^2\)]，题中的\(a\)、\(b\)、\(c\in R\)就是大前提。

• 2、判断一个命题的真假：直接法，等价转化法(等价关系：原命题和逆否命题、逆命题和否命题；即同真同假)。

• 3、充分必要条件的判断：

①定义法，利用\(p\Rightarrow q\)和\(q\Rightarrow p\)来判断；

②集合法：利用集合之间的包含关系来间接判断命题之间的充要关系

若命题\(p、q\)的结果对应的集合是\(A\)、\(B\)，记为\(A=\{x\mid p\{x\}\}\)，\(B=\{x\mid q\{x\}\}\)，则有以下结论：

若\(A\subseteq B\)，则\(p\)是\(q\)的充分条件；若\(B\subseteq A\)，则\(p\)是\(q\)的必要条件；

若\(A\subsetneqq B\)，则\(p\)是\(q\)的充分不必要条件；若\(B\subsetneqq A\)，则\(p\)是\(q\)的必要不充分条件；

若\(A=B\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件；若\(A\not\subseteq B\)且\(B\not\subseteq A\)，则\(p\)是\(q\)的既不充分也不必要条件；

③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题等价性，把要判断的原命题转化为逆否命题进行判断，这个方法特别适用于以否定形式给出的命题。

引例1，比如判断“\(x+y\neq 5\)”是"\(x\neq 2\)或\(y\neq 3\)"的何种条件，不好判断，那么转化为判断"\(x= 2\)且\(y= 3\)"是"\(x+y=5\)"的什么条件，(充分不必要)。

原命题：“\(x+y\neq 5\)”是"\(x\neq 2\)或\(y\neq 3\)"的何种条件；(充分不必要)

逆否命题："\(x=2\)且\(y=3\)"是"\(x+y=5\)"的何种条件；(充分不必要)

引例2，命题 “面积相等的两个三角形全等”的否命题的真假判断，

否命题为：“面积不相等的两个三角形不全等”，这是个真命题，若判断不了，利用逆命题：两个三角形全等，则面积相等，显然逆命题是真命题，故命题 “面积相等的两个三角形全等”的否命题也是真命题。

• 4、命题的否定

①\(p\)的否定：\(\neg p\)；

已知命题\(p:\)任意\(a\geqslant 0,\) \(a^4+a^2\geqslant 0\)，则命题\(\neg p:\) 存在\(a_0\geqslant 0\)，\(a_0^4+a_0^2<0\)。

②\(\neg p\)的否定：\(\neg(\neg p)=p\)；

③\(p\land q\)的否定：\(\neg(p\land q)=(\neg p)\lor(\neg q)\)；

④\(p\lor q\)的否定：\(\neg(p\lor q)=(\neg p)\land(\neg q)\)；

⑤若\(p\)则\(q\)型命题的否定：\(\neg(p \rightarrow q)=p\land (\neg q)\)；根据真值表可以看出，若\(p\)则\(q\)型命题的否定，应该为：若\(p\)且\(\neg q\)；而不是：若\(p\)则\(\neg q\)；

给定命题\(p：\)若\(x^2=4\)，则\(x=2\)；求其否定\(\neg p\)；

分析：本题目是求若\(p\)则\(q\)形式的命题的否定，

如果按照若\(p\)则\(\neg q\)来求解，就是若\(x^2=4\)，则\(x\neq 2\)，显然是错误的；

其否定\(\neg p\)为，存在\(x_0\)，虽然满足\(x_0^2=4\)，但\(x_0\neq 2\)；

解后反思：我们一般碰到求“若 \(p\)，则 \(q\) ”形式的命题的否定时，常将其转化为全称命题或特称命题[新教材称为全称量词命题和存在量词命题]来求其否定；有些命题如 “ \(p:\) 平行四边形的对角线互相平分”，在写出其否定时，我们常需要将其省略了的量词恢复，变成全称量词命题或存在量词命题再否定，即“所有平行四边形的对角线互相平分。”，故其否定为 “存在一个平行四边形的对角线不互相平分。”

教学研究

\(p\)或\(q\)去完成某个事情；

[数学中]指仅仅\(p\)完成，或仅仅\(q\)完成，或\(p\)和\(q\)两个人完成，有三种情形；

[生活中]指仅仅\(p\)完成，或仅仅\(q\)完成，只有两种情形；

命题\(p:\)若\(a^2<b^2\)，则\(a<b\)；写出命题\(p\)的非命题；

思考1：我们知道，由于\(a^2<b^2\)，只能得到\(|a|<|b|\)，不能得到\(a<b\)，故命题\(p\)为假命题，

那么其否定命题\(\neg p\)应该为真命题；按照命题的否定的写法，

\(\neg p\)应该为：若\(a^2<b^2\)，则\(a\geqslant b\)，但是我们知道这个也是假命题；

比如由\(2^2<4^2\)，不能得到\(2\geqslant 4\)；说明这样的作法有问题；

思考2：若这样来思考，之所以我们认为命题\(p\)为假命题，是因为我们认为，对任意的\(a^2<b^2\)，都能得到\(a<b\)，

这是错误的，比如\(2^2<(-3)^2\)，但是不能得到\(2<-3\)，故为假命题；

这样我们按照全称命题的否定形式得到，\(\neg p:\) 存在实数\(a\)，\(b\)，虽然\(a^2<b^2\)，但是\(a\geqslant b\)成立；真命题；

开语句：无法判断其真假含有变元的语句，如\(x+2>0\)，开语句不是命题；

但实际教学中我们碰到的绝大多数为假言命题，如“若\(p(x)\)，则\(q(x)\)”，其并不是开语句，而是全称命题，只不过用语言表达时省略了全称量词，

如：若\(x>3\)，则\(x>5\)；即“任意大于\(3\)的实数都大于\(5\)”，而全称命题的否定是存在命题；

故其否定不是：若\(x>3\)，则\(x\leqslant 5\)；而是：存在实数\(x\)，使得\(x>3\)且\(x\leqslant 5\)；这显然是真命题。

补充： 设\(p\Rightarrow A\)，\(q\Rightarrow B\)，若\(p\lor q\)为真，则\(p\)和\(q\)中至少有一个为真；则只需要求\(A\cup B\)即可；

常用否定词

原词语	否定词	原词语	否定词	原词语	否定词
等于	不等于	大于	不大于	小于	不小于
是	不是	能	不能	都是	不都是
至多有一个	至少有两个	至少有一个	一个也没有	任意的	某个
至多有\(n\)个	至少有\(n+1\)个	任意两个	某两个	所有的	某些

给出方式

• 若\(p\land q\)为假，则\(p\)和\(q\)中至少有一个为假； 若\(p\lor q\)为真，则\(p\)和\(q\)中至少有一个为真；
• 若\(p\land q\)为真，则\(p\)和\(q\)都为真； 若\(p\lor q\)为假，则\(p\)和\(q\)都为假；
• 若\(\neg p\land q\)为真，则\(\neg p\)和\(q\)都为真，即\(p\)为假且\(q\)为真；
• 若\(\neg p\lor q\)为假，则\(\neg p\)和\(q\)都为假，即\(p\)为真且\(q\)为假；
• “若\(p\lor q\)为真命题，\(p\land q\)为假命题”，则意味着\(p\)、\(q\)必然一真一假，需要分类讨论：\(p\)真\(q\)假；或\(p\)假\(q\)真；