集合知识点

前情概要

学完集合章节后，你必须对以下内容了如指掌才行。

相关概念

从高一的第一章开始，数学学习的难度之一就是三种数学语言之间的相互转化，他们分别是文字语言[或称为自然语言]，图形语言，符号语言，要特别注意她们之间的对应性，尤其是要主动适应符号语言的表达和应用。

元素与集合

1、集合元素的性质：确定性、互异性比如对方程 \(x^2\)\(-\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\) 而言，在初中我们认为有两个相同解，而不认为只有一个解；如果其解集用集合刻画，则必须写成 \(\{1\}\) ，是个单元素集合，而不能写成 \(\{1,1\}\) ；、无序性

2、集合与元素的关系： \(a\in\{a\}\) ，\(b\notin\{a\}\)，

3、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法；数集的表示方法还要添加字母法、区间法。

注意区分 \(\varnothing\)、\(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\)，其中集合 \(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\) 都是单元素集合，\(\varnothing\) 里面没有一个元素。

以下写法都是对的：\(\varnothing\in\{\varnothing\}\)，空集是以空集为元素的集合的元素，在特定条件下是成立的；

\(\varnothing\subseteq\{\varnothing\}\)，空集是任何集合的子集；\(\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}\)，空集是任何非空集合的真子集；

4、常见数集的字母表示及其关系： [真包含符号的表示方法有时候是随着教材版本和时间变化的]

\[N^*(N_+)\subsetneqq N\subsetneqq Z \subsetneqq Q \subsetneqq R \subsetneqq C \]

集合关系

子集：\(x\in A\Rightarrow x\in B\)，则 \(A\subseteq B\)。

真子集：\(A\subseteq B，\exists x\in B，x\notin A\)，则 \(A \subsetneqq B\)

相等：\(A\subseteq B，B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B\)

空集：\(\forall x\notin \varnothing，\varnothing\subseteq A\)

集合运算

交集：\(\{x\mid x\in A且x\in B\}\)；

并集：\(\{x\mid x\in A或x\in B\}\)；

补集：\(\{x\mid x\in U且x\notin A\}=\complement_UA\)；

集合性质

并集的性质：\(A\cup\varnothing=A\) ; \(A\cup A=A\) ; \(A\cup B=B\cup A\) ; \(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\) ；

交集的性质：\(A\cap\varnothing=\varnothing\) ; \(A\cap A=A\) ; \(A\cap B=B\cap A\) ; \(B\subseteq A\Longleftrightarrow A\cap B=B\)；

补集的性质：\(A\cup(\complement_UA)=U\) ; \(A\cap(\complement_UA)=\varnothing\) ; \(\complement_U(\complement_UA)=A\) ; \(\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB)\) ; \(\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cup(\complement_UB)\) ;

集合分类

我们根据集合的元素的特点，将其分为数集、点集、式集、图形集、向量集等等，这样我们在区分集合时就变得很容易；比如，

集合 \(A=\{ x\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是数集，就是函数 \(y=x^2+3x-2\) 的定义域；

集合 \(B=\{y\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是数集，就是函数 \(y=x^2+3x-2\) 的值域；

集合 \(C=\{(x，y)\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是点集区分点集和数集，主要看代表元素，若是数 \(\;x\;\) [往往对应方程的根，不等式的解集，或函数的定义域]或 \(\;y\;\) [往往对应值域]则为数集，若是有序数对则为点集；，就是函数 \(y=x^2+3x-2\) 图像上的所有点构成的点集合；此时如果求 \(A\cap C\)，则 \(A\cap C=\varnothing\)；

集合 \(D=\{x^2，x^2+2y-1，t^3+1\}\)，实质是代数式集合，简称式集；

集合 \(E=\{\)三角形\(\}\)，实质是图形集合；

集合 \(F=\{\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}，\vec{d}\}\)，实质是向量集合，在平面向量章节中我们将会用到以向量 \(\{\vec{a}，\vec{b}\}\) 为基底的向量集合 ；

当然，集合还可以根据其元素的有限与无限分为有限集和无限集。

• 注意区别刻画集合的描述法和列举法

集合 \(A=\{x\in N\mid x\leq \sqrt{10}\}\)，这是用描述法表达的，当然还可以简化为用列举法表示，比如 \(A\)\(=\)\(\{x\)\(\mid\)\(x\)\(=\)\(0\)\(，\)\(1\)\(，\)\(2\)\(，\)\(3\)\(\}\)，这时候我们甚至可以写的更简单，比如 \(A=\{0，1，2，3\}\)。

常用结论

含有 \(n\) 个元素的集合 \(\{a_1，a_2，\cdots，a_n\}\) ，其所有的子集个数有 \(2^n\) 个，所有的真子集个数有 \(2^n-1\) 个；所有的非空子集个数有 \(2^n-1\) 个；所有的非空真子集个数有 \(2^n-2\) 个。 详尽解释

【思维训练题目，转化化归】已知集合 \(A=\{x\mid x^2-3x+2=0, x\in R\}\)， \(B=\{x\mid 0<x<6, x\in N\}\)，则满足条件 \(A\subseteq M\subseteq B\) 的集合 \(M\) 有几个？

分析：由题意可知，先化简得到集合 \(A=\{1，2\}\)，集合 \(B=\{1，2，3，4，5\}\)，又由于 \(A\subseteq M\subseteq B\)，

则集合 \(M\) 的元素最少有两个，应该是用元素 \(2\) 保底，在此基础上，再从 \(3\)，\(4\)，\(5\) 三个元素中选取部分元素添加进去即可，

添加的元素最少应该是 \(0\) 个，最多是三个，故本题目等价于集合\(\{3，4，5\}\)的所有子集的个数 \(C_3^0\)\(+\)\(C_3^1\)\(+\)\(C_3^2\)\(+\)\(C_3^3\)，故应该是 \(2^3=8\) 个；

为便于理解，列举如下：\(\{1，2\}\)、\(\{1，2，3\}\)、\(\{1，2，4\}\)、\(\{1，2，5\}\)、\(\{1，2，3，4\}\)、\(\{1，2，3，5\}\)、\(\{1，2，4，5\}\)、\(\{1，2，3，4，5\}\)；

解后反思：注意符号语言 \(A\subseteq M\subseteq B\) 向文字语言的转化。

自定义概念

集合 \(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，由于其左右端点是固定不变化的，故我们可以形象的称其为定集；集合 \(B\)\(=\)\(\{\)\(x\)\(\mid\)\(m+1\)\(<\)\(x\)\(<\)\(2m-1\)\(\}\)，其左右端点是随着 \(m\) 的取值变化的，故我们可以形象的称其为动集；这样两个集合的关系就可能随着 \(m\) 的取值发生变化。

仿二次方程：比如 \(ax^2+3x-2=0\)，由于题目没有告诉 \(a\) 的取值，那么它就可能是一次方程 \(3x-2=0\)，也可能是二次方程 \(ax^2+3x-2=0(a\neq 0)\)，故当我们看到仿二次方程时，我们就应该想到分类讨论，由于思维定势的缘故，最容易漏掉 \(a=0\) 的情形；

以此类推，\(y=ax^2+3x-2\) 就是仿二次函数，包含了一次函数和二次函数两种情形；\(ax^2+3x-2\ge 0\) 就是仿二次不等式，包含了一次不等式和二次不等式两种情形；很显然题目中出现这个就是想看看，你的思维是否严密。

【北师大必修一 \(P_6\) \(B\) 组第1题】已知集合 \(A=\{x\in R\mid ax^2+2x+1=0，a\in R\}\)中只有一个元素(\(A\) 也可叫作单元素集合)，求 \(a\) 的值，并求出这个元素；

分析：由于 \(ax^2+2x+1=0\)，\(a\in R\)，则所给的方程为仿二次方程，故需要针对 \(a\) 分类讨论，

①当 \(a=0\) 时，方程变化为 \(2x+1=0\)，则解集为单元素集合\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，满足题意；

②当 \(a\neq 0\) 时，方程 \(ax^2+2x+1=0\) 为二次方程，又要求其解集为单元素集合，则必须\(\Delta=0\)，即 \(2^2\)\(-\)\(4a\)\(=\)\(0\)，即 \(a=1\)，此时方程变为 \(x^2\)\(+\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\)，解集为单元素集合\(\{-1\}\)；

加深认识

当你学习完集合章节后，你对集合的认知还是比较肤浅的，所以需要你重新认识集合的作用和地位，主动使用集合工具刻画数学素材，这样你对三种数学语言之间的相互转化就比较自如，以下的内容有些可能需要到高二才接触到 .

用集合工具来刻画点集

直线比如 \(\{(x，y)\mid 2x-y+1=0\}\) ；曲线比如 \(\{(x，y)\mid x^2+y^2=4\}=\{(2cos\theta，2sin\theta)\}\)；

比如 \(\{(x，y)\mid \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\}\) \(=\) \(\{(3cos\theta，2sin\theta)\}\)；

交点比如 \(\{(x，y)\mid \begin{cases}2x+y-1=0\\3x-y+2=0\end{cases}\}\) ；平面区域比如 \(\left\{(x，y)\mid \begin{cases}x^2+y^2\leq 4\\ x\ge 0\\ y\ge0\end{cases}\right\}\)；

用集合工具来刻画函数的性质

定义域比如 \(\{x\mid y=x^2-3x-2\}=R\)；

值域比如 \(\{y\mid y=x^2+2\}=[2，+\infty)\)；

单调性比如函数 \(y=f(x)\) 上的任意两个点 \((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\) 满足条件，若 \(x_1>x_2\) ，则必有 \(y_1>y_2\) ，也即意味着函数是单调递增的；也就是当 \(x_1>x_2\) 时，有 \(f(x_1)>f(x_2)\) 成立；

奇偶性比如函数 \(y=f(x)\) 上的任意两个点 \((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\) 满足条件，若 \(x_1+x_2=0\) ，则必有 \(y_1=y_2\) ，也即意味着函数是偶函数；也就是满足 \(f(-x)=f(x)\) ；

对称性比如函数 \(y=f(x)\) 上的任意两个点 \((x_1，y_1)、(x_2，y_2)\) 满足条件，若 \(x_1+x_2=2\) ，则必有 \(y_1+y_2=2\) ，也即意味着函数是关于点\((1，1)\) 对称的；也就是满足 \(f(2-x)+f(x)=2\) ；

用集合工具来刻画数集

方程的根比如 \(\{x\mid x^2-3x+2=0\}\) \(=\) \(\{1，2\}\)；

不等式的解集比如 \(\{x\mid x^2-3x+2\leq 0\}\) \(=\) \([1，2]\)；

用集合工具来表示其他的集合

无理数集合比如 \(\complement_RQ\)；

集合的并集 \(\{x\mid x=2k，k\in Z\}\) \(\cup\) \(\{x\mid x=2k+1，k\in Z\}\) \(=\) \(Z\)

角的集合的并集\(\{x\mid x=2k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\) \(\cup\) \(\{x\mid x=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\) \(=\) \(\{x\mid x=k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\)

题型方法

1、利用集合之间的关系求参数的取值时，解题后要进行检验，防止不满足集合元素的确定性和互异性；

若\(-1\in\{2,a^2-a-1,a^2+1\}\)，则 \(a\)= 【\(\qquad\)】

$A.-1$ $B.0$ $C.1$ $D.0或1$

分析：①当 \(a^2-a-1=-1\) 时，即 \(a^2-a=0\)，解得 \(a=0\) 或 \(a=1\)；

当 \(a=1\) 时，\(\{2,a^2-a-1,a^2+1\}=\{2,-1,2\}\)，与元素的互异性矛盾，舍去；故 \(a=0\)

②当 \(a^2+1=-1\) 时，\(a^2=-2\)，\(a\) 无实数解，

由①②可得，\(a=0\)，故选 \(B\).

集合 \(\{2a,a^2-a\}\) 中实数 \(a\) 的取值范围为___________.

分析：由 \(a^2-a\neq 2a\)，解得 \(a\neq 0\) 且 \(a\neq 3\).

2、要重视符号语言和文字语言之间的相互转化。

3、集合的运算问题的常用策略：充分利用数轴和韦恩图，数形结合。

失误防范

• 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。

• 解答集合题目，认清集合元素的属性(点集，数集，或其他)和化简集合是正确求解的两大先决条件。

• 常用韦恩图示法和数轴图示法解决集合的交、并、补集运算，利用数轴图示法时要注意端点的实心或空心。

• 要注意这五个关系的等价性：

$A\subseteq B$ $\Longleftrightarrow$ $A\cap B=A$ $\Longleftrightarrow$ $A\cup B=B$ $\Longleftrightarrow$ $\complement_UB\subseteq \complement_UA$ $\Longleftrightarrow$ $A\cap(\complement_UB)=\varnothing$

• 题目中出现 \(A\subseteq B\) 时，常常意味着集合 \(A\) 有两种情形：\(A=\varnothing\) 和 \(A\neq \varnothing\)。

\(A\subseteq\) \(B\Longleftrightarrow\) \(A\cap\) \(B=A\)；\(A\subseteq\) \(B\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\cup\) \(B=B\)；

• 由集合关系求参数的取值范围时，给定 \(A\subseteq B\) 和 \(A\subsetneqq B\) 的求解是有区别的，后者常常需要验证排除使得 \(A=B\) 的参数值。

本来针对 \(A\subsetneqq B\) 列不等式组时，应该分类讨论，但我们觉得太麻烦，常常直接依照 \(A\subseteq B\) 来列不等式组，最后添加一个口算验证即可，这样省事的多。

给定集合 \(A=\{x\mid-4<x<1\}\)，\(B=\{x\mid m<x<m+3\}\)，已知 \(B\subsetneqq A\)，求参数 \(m\) 的取值范围。

分析：由 \(B\subsetneqq A\)，则\(\{x\mid m<x<m+3\}\subsetneqq \{x\mid -4<x<1\}\)，

由题目可先直接得到\(\left\{\begin{array}{l}{-4\leqslant m}\\{m+3\leqslant 1}\end{array}\right.\)，从而解得\(-4\leqslant m\leqslant -2\)，

然后口算验证，当 \(m=-4\) 时，\(A=(-4,1)\)，\(B=(-4,-1)\)，满足题意，同理当 \(m=-2\) 时也满足题意，

故 \(m\) 的取值范围为\([-4，-2]\)。

• 涉及两个集合的关系时，端点值能否取到是个高频易错点。如已知 \(B \subseteq A\)，

①当 \(A=[-3,1]\)，\(B=[1+2m,m+1]\) 时，应该得到 \(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即 \(m\in [-2,0]\);

②当 \(A=(-3,1)\)，\(B=(1+2m,m+1)\) 时，应该得到 \(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即 \(m\in [-2,0]\);

③当 \(A=[-3,1]\)，\(B=(1+2m,m+1)\) 时，应该得到 \(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即 \(m\in [-2,0]\);

④当 \(A=(-3,1)\)，\(B=[1+2m,m+1]\) 时，应该得到 \(\left\{\begin{array}{l}{-3< 1+2m}\\{m+1<1}\end{array}\right.\)，即 \(m\in (-2,0)\);