高效快速掌握函数的各种性质

前言

高中数学的学习中，学生很是头疼函数的性质，性质多繁杂，而且是经常是组合式考查，让学生防不胜防，那么我们到底改怎么学习和掌握函数的性质呢？

厘清性质

重要的是，必须首先先弄清楚函数的各种基本性质以及各种性质的变式说法，这是正确快速理解题意的先决条件。

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掌握变形

比如我们知道函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的周期函数(非常函数)，其满足\(f(x+4)=f(x)\)，则可知其最小正周期\(T=4\)，所以我们就只有见到\(f(x+4)=f(x)\)，才能知道\(T=4\)，即使见到\(f(x+3)=f(x-1)\)，也不知道其周期\(T=4\)；这主要源于我们对数学概念的理解太肤浅。

解释：对周期函数而言，满足条件\(f(x+4)=f(x)\)，即意味着对所有的\(x\in D\)都满足，既然这样，我们就可以给其\(x\)大胆赋值，比如\(f(1+4)=f(1)\)，\(f(2+4)=f(2)\)，\(\cdots\)，

我们自然也可以给\(x\)赋值\(x-1\)，则得到\(f(x+3)=f(x-1)\)，自然还可以得到\(f(x+2)=f(x-2)\)，\(f(x+5)=f(x+1)\)，等等如此，其实上述的这些外形不一的数学符号语言其本质是一样的，是等价的。

由\(f(4-x)=f(x)\)能变形得到\(f(2-x)=f(2+x)\)吗？可以；

由\(f(2-x)+f(x)=2\)能变形得到\(f(1-x)+f(1+x)=2\)吗？可以；

熟悉转化

• 由符号语言到自然语言的转化，大多学生能理解和掌握，体现了对数学本质的理解；

$\hspace{4em}符号语言$

$\hspace{2em}自然语言$

周期性的刻画：

$①f(x+4)=f(x)或f(x+2)=f(x-2)\Longrightarrow$

$最小正周期T=4$

$②f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}\Longrightarrow$

$最小正周期T=2a(a>0，k\neq 0)$

奇偶性的刻画：

$③f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)是奇函数$

$④f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)是偶函数$

对称性的刻画：

$⑤f(4-x)=f(x)或f(4-x)-f(x)=0\Longrightarrow$

$f(x)关于直线x=2对称$

$⑥f(-x)+f(x)=2或f(-x)=2-f(x)\Longrightarrow$

$f(x)关于点(0，1)对称$

主动应用

• 由自然语言到符号语言的转化，对学生的数学素养提出了更高的要求，体现了数学的应用意识。

$\hspace{4em}自然语言$

$\hspace{2em}符号语言$

周期性的应用：

$①f(x)的最小正周期T=4\Longrightarrow$

$f(x+4)=f(x)或f(x+3)=f(x-1)$

奇偶性的应用：

$②f(x)是奇函数\Longrightarrow$

$f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0$

$③f(x)是偶函数\Longrightarrow$

$f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0$

对称性的应用：

$④f(x)关于直线x=2对称\Longrightarrow$

$f(4-x)=f(x)或f(3+x)=f(1-x)$

$⑤f(x)关于点(2，1)对称\Longrightarrow$

$f(4-x)+f(x)=2或f(3+x)+f(1-x)=2$

廓清思维

• 当我们能非常自如的游走在自然语言到符号语言的转化长河中时，此时我们就仅仅剩余一个难点，就是拓宽思维的难点了；如何理解这句话呢？比如题目给定了奇偶性和周期性，没有明确给定对称性，其实就是想考察你的数学创新意识如何，看你能不能依托这两个性质推出对称性，举例如下：

思维盲点：函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

• 奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子
  

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)

• 对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子
  

如，已知函数\(f(x)\)的周期是\(2\)，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。

• 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=8\)；

分析：由函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，

则由\(\begin{align*} f(x)&=f(2-x) \\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}\)\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)

\(\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow\)周期\(T=8\)

小试牛刀

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：

①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；

③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，

则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；

由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，

那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；

\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；

\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；

或\(c=f(\cfrac{41}{4})=f(2+\cfrac{1}{4})=f(2+\cfrac{1}{4}-4)=f(-\cfrac{7}{4})=f(\cfrac{7}{4})=f(1.75)\)

由\(\because f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，

即\(a<b<c\)，故选\(D\)。

设函数\(y=f(x)\)是定义域为 \(R\) 的奇函数，且满足 \(f(x-2)=-f(x)\) 对一切 \(x \in R\) 恒成立，当 \(1\)\(\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(1\)时， \(f(x)=x^{3}\)，则下列四个命题：

①\(f(x)\)是以 \(4\) 为周期的周期函数；

②\(f(x)\) 在\([1，3]\)上的解析式为 \(f(x)=(2-x)^{3}\)；

③\(f(x)\) 在 \((\cfrac{3}{2}, f(\cfrac{3}{2}))\) 处的切线方程为\(3 x+4 y-5=0\)；

④\(f(x)\)的图像的对称轴中，有 $x=\pm 1 $；

[注:若 \(f(x)=(2-x)^{3}\)，则 \(f^{\prime}(x)=-3(2-x)^{2}]\)

其中正确的命题是【】

$A.①②③$ $B.②③④$ $C.①③④$ $D.①②③④$

分析：对于选项①而言，由于\(f(x-2)=-f(x)\) ，故很容易得到，\(T=4\)，故①是真命题；

对于选项②而言，其实质是求解析式，由于\(1\leqslant x\leqslant 3\)，则\(-1\leqslant x-2\leqslant 1\)，又由于已知\(1\)\(\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(1\)时， \(f(x)=x^{3}\)，故\(f(x-2)=(x-2)^3\)，又由于\(f(x)=-f(x-2)\)，故当\(1\leqslant x\leqslant 3\)时，\(f(x)=-(x-2)^3=(2-x)^3\)，故②是真命题；

对于选项③而言，由于切点为 \((\cfrac{3}{2}, f(\cfrac{3}{2}))\)，故需要计算其纵坐标此时必须借助解析式\(1\)\(\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(3\)时，\(f(x)=(2-x)^3\)计算，\(\quad\)，\(f(\cfrac{3}{2})=(2-\cfrac{3}{2})^3=\cfrac{1}{8}\)；同时还需要计算斜率\(k\)，由于\(f(x)=(2-x)^3\)，故\(f'(x)=-3(2-x)^2\)此处易错，涉及到复合函数的求导运算，请参阅博文复合函数\(\quad\)，故\(k=f'(\cfrac{3}{2})=-\cfrac{3}{4}\)，由点斜式可得切线方程为\(y-\cfrac{1}{8}=-\cfrac{3}{4}(x-\cfrac{3}{2})\)，整理得到\(3x+4y-5=0\)，则③是真命题；

对于选项④而言，要说明对称轴中有直线\(x=1\)，需要得到\(f(-x)=f(x-2)\)此处当然也可以是其等价变形形式中的任意一个，比如\(f(1-x)\)\(=\)\(f(1+x)\)，或者\(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)，或者\(f(-1-x)\)\(=\)\(f(3+x)\)等等，但是越接近题目的已知条件越便于利用已知条件；\(\quad\)，由\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(x-2)=-f(x)\)联立，得到\(f(-x)=f(x-2)\)，故其有对称轴\(x=1\)；

同理，要说明对称轴中有直线\(x=-1\)，需要得到\(f(-x)=f(x+2)\)，故用\(x+2\)替换条件\(f(x-2)=-f(x)\)中的\(x\)，得到\(f(x)=-f(x+2)\)，又由于\(-f(-x)=f(x)\)，得到\(-f(x+2)=-f(-x)\)，即\(f(x+2)=f(-x)\)，故其有对称轴\(x=-1\)；则可知④是真命题；

综上所述，选\(D\).