高斯函数的那些事

前言

对于 \(\forall x\in R\)， \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数；十八世纪，函数 \(y=[x]\) 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”。

其解析式如下：

\[[x]=\left\{\begin{array}{l} \cdots,&\cdots\\ -1,&-1\leqslant x<0\\ 0,&0\leqslant x<1\\ 1,&1\leqslant x<2\\ 2,&2\leqslant x<3\\ \cdots,&\cdots\\\end{array}\right.\]

其图像如下图所示，

典例剖析

规定\([t]\)为不超过\(t\)的最大整数，例如\([12.6]=12,[-3.5]=-4\)，对任意实数\(x\)，令\(f_1(x)=[4x]\)，\(g(x)=4x-[4x]\)，再令\(f_2(x)=f_1[g(x)]\),

(1).若\(x=\cfrac{7}{16}\)，求\(f_2(x)\);

(2).若\(f_1(x)=1,f_2(x)=3\)同时满足，则\(x\)的取值范围为多少？

分析：(1).由题可知，\(f_1(\cfrac{7}{16})=[\cfrac{7}{4}]=1\)，\(g(\cfrac{7}{16})=\cfrac{7}{4}-1=\cfrac{3}{4}\)，

故\(f_1[g(\cfrac{7}{16})]=f_1(\cfrac{3}{4})=[3]=3\);

(2).由\(f_1(x)=[4x]=1\)得，\(g(x)=4x-1\)，\(4g(x)=16x-4\)，则\(f_2(x)=f_1[g(x)]=[4g(x)]=[16x-4]=3\)，

由题目要求可知\([4x]=1\)和\([16x-4]=3\)必须同时满足，则必须满足\(1\leq 4x<2\)且\(3\leq 16x-4<4\)，

解得\(\cfrac{1}{4}\leq x<\cfrac{1}{2}\)且\(\cfrac{7}{16}\leq x<\cfrac{1}{2}\)，

二者求交集得到\(x\in[\cfrac{7}{16}，\cfrac{1}{2})\).

规定\([x]\)为不超过\(x\)的最大整数，则对任意实数\(x\)，有【\(\qquad\)】

$A.[-x]=-[x]$ $B.[x+\cfrac{1}{2}]=[x]$ $C.[2x]=2[x]$ $D.[x]+[x+\cfrac{1}{2}]=2[x]$

法1：特殊值验证法，比如取\(x=1.5\)，逐个验证，

对于选项A，当\(x=1.5\)时，\([-x]=[-1.5]=-2\)，\(-[x]=-[1.5]=1\)，故排除A；对于选项B，当\(x=1.5\)时，\([x+\cfrac{1}{2}]=[2]=2\)，\([x]=[1.5]=1\)，故排除B；

对于选项C，当\(x=1.5\)时，\([2x]=[3]=3\)，\(2[x]=2[1.5]=2\)，故排除C；故选D.

法2：函数法，做出函数的图像，如右图。待编辑。

【2018广东江门一模】设\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，如\([\pi]=3\)，\([-3.2]=-4\)，则\([lg1]\)\(+\)\([lg2]\)\(+\)\([lg3]\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\([lg100]\)=___________。

提示：\([lg1]=0\)，\([lg2]=0\)，\(\cdots\)，\([lg9]=0\)；

\([lg10]=1\)，\([lg11]=1\)，\(\cdots\)，\([lg99]=1\)；

\([lg100]=2\)，故所求为\(92\).

【2018江西新余一中模拟】设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(a_2=6\)，且\(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2\)，若\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，则\([\cfrac{2017}{a_1}+\cfrac{2017}{a_2}+\cdots +\cfrac{2017}{a_{2017}}]\)=_________。

提示：变形得到\((a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2\)，即数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)为等差数列，

再用累加法得到\(a_n=n(n+1)\)，则\(\cfrac{1}{a_n}=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\)，

则\(\cfrac{1}{a_1}+\cfrac{1}{a_2}+\cdots +\cfrac{1}{a_{2017}}=1-\cfrac{1}{2018}\)，

则\(2017(\cfrac{1}{a_1}+\cfrac{1}{a_2}+\cdots +\cfrac{1}{a_{2017}})=2017(1-\cfrac{1}{2018})=2017-\cfrac{2017}{2018}=2016+\cfrac{1}{2018}\)，

故\([\cfrac{2017}{a_1}+\cfrac{2017}{a_2}+\cdots +\cfrac{2017}{a_{2017}}]=[2016+\cfrac{1}{2018} ]=2016\)。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(f(x)=x-int(x)\)，\(x\geqslant 0\)，其中\(int(x)\)表示实数\(x\)的整数部分，如\(int(1.4)=1\)，\(int(2.6)=2\)，若函数\(g(x)=f(x)-ax+\cfrac{1}{2}\)在区间\([1，2)\)上有且仅有\(1\)个零点，则实数\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.(-\infty，\cfrac{3}{4}]$ $B.[\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4}]$ $C.[\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4})$ $D.[\cfrac{1}{2}，+\infty)$

分析：先将\(y=g(x)\)在区间\([1，2)\)上有且仅有\(1\)个零点，

转化为\(y=f(x)+\cfrac{1}{2}\)与\(y=ax\)在区间\([1，2)\)上有且仅有\(1\)个交点，

接下来在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，

当直线\(y=ax\)经过点\((1，\cfrac{1}{2})\)和点\((2，\cfrac{3}{2})\)时是两种临界状态，

故要使得\(y=f(x)+\cfrac{1}{2}\)与\(y=ax\)在区间\([1，2)\)上有且仅有\(1\)个交点，

则必须满足\(a\in [\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{4})\)，故选\(C\)。

对于实数 \(x\)， 规定 \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数，那么不等式 \(4[x]^{2}-36[x]+45<0\) 成立的 \(x\) 的取值范围是【\(\quad\)】

$A.(\cfrac{3}{2}, \cfrac{15}{2}$ $B.[2,8]$ $C.[2,8)$ $D.[2,7]$

解析 : 因为 \(4[x]^{2}-36[x]+45<0\)，所以 \(\cfrac{3}{2}<[x]<\cfrac{15}{2}\)，

因为 \(1.5<[x]<7.5\)， 所以 \(2\leq x<8\)，

故选 \(C\). 点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.

【2021届高三文科数学三轮模拟题】 对于 \(\forall x\in \R\)， \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数，十八世纪， \(y=[x]\) 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，定义函数 \(\{x\}=x-[x]\) ，给出下列四个命题，其中正确的命题为 【\(\qquad\)】

$A.$函数 $\{x\}$ 的定义域为 $R$，值域为 $[0,1]$；

$B.$方程$\{x\}=\frac{1}{2}$ 有无数个解；

$C.$函数 $\{x\}$ 不是周期函数；

$D.$ 函数 $\{x\}$ 是增函数

解析：由于 \(x\in [0,1)\)时， \([x]=0\)； \(x\in [1,2)\)时， \([x]=1\)； \(x\in [2,3)\)时， \([x]=2\)；\(\cdots\)；

则 \(x\in [0,1)\)时， \(\{x\}=x-0\)； \(x\in [1,2)\)时， \(\{x\}=x-1\)； \(x\in [2,3)\)时， \(\{x\}=x-2\)；\(\cdots\)；

故制作图像如下所示：

故选 \(B\)；

【2021届高三文科数学三轮模拟题】设 \(x\in R\)， \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数，若存在实数 \(t\) ，使得 \([t]=1\) ， \([t^2]=2\) ， \(\cdots\) ， \([t^n]=n\) 同时成立，则正整数 \(n\) 的最大值是 【\(\qquad\)】

$A.3$ $B.4$ $C.5$ $D.6$

法1：由于 \([t]=1\) 得到， \(1\leqslant t<2\) ；由于 \([t^2]=2\) 得到， \(2\leqslant t^2<3\) ；

由于 \([t^3]=3\) 得到， \(3\leqslant t^3<4\) ①；由于 \([t^4]=4\) 得到， \(4\leqslant t^4<5\) ，即 \(2\leqslant t^2<\sqrt{5}\)② ；

①②两个同向不等式相乘得到，\(6\leqslant t^5<4\sqrt{5}\)，

又由 \([t^5]=5\) 得到， \(5\leqslant t^5<6\)，与上式 \(6\leqslant t^5<4\sqrt{5}\)矛盾，

故正整数 \(n\) 的最大值为 \(4\) .

法2：由于 \([t]=1\) 得到， \(1\leqslant t<2\) ；由于 \([t^2]=2\) 得到， \(\sqrt{2}\leqslant t<\sqrt{3}\) ；

由于 \([t^3]=3\) 得到， \(\sqrt[3]{3}\leqslant t<\sqrt[3]{4}\) ；由于 \([t^4]=4\) 得到， \(\sqrt{2}=\sqrt[4]{4}\leqslant t<\sqrt[4]{5}\) ；

由于要同时存在，故以上求交集得到， \(\sqrt[3]{3}<t<\sqrt[4]{5}\)，

又 由于 \([t^5]=5\) 得到， \(\sqrt[5]{5}\leqslant t<\sqrt[5]{6}\) ；

而 \(\sqrt[3]{3}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243}\) ， \(\sqrt[5]{6}=\sqrt[15]{6^3}=\sqrt[15]{216}\) ，

由于 \(\sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{6}\)，故其交集为空集，

则正整数 \(n\) 的最大值为 \(4\) .

【2021届高三文科数学三轮模拟题】把不超过实数 \(x\) 的最大整数记为 \([x]\) ，则函数 \(f(x)=[x]\) 称作取整函数， 又叫高斯函数。在 \([2,5]\) 上任取 \(x\) ，则 \([x]=[\sqrt{2x}\;]\) 的概率为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{4}$ $B.\cfrac{1}{3}$ $C.\cfrac{1}{2}$ $D.\cfrac{2}{3}$

解析：当 \(2\leqslant x<3\) 时，\([x]=2\) ，\([\sqrt{2x}\;]=2\)；

当 \(3\leqslant x<4\) 时，\([x]=3\) ，\([\sqrt{2x}\;]=2\)；

当 \(4\leqslant x<4.5\) 时，\([x]=4\) ，\([\sqrt{2x}\;]=2\)；

当 \(4.5\leqslant x<5\) 时，\([x]=4\) ，\([\sqrt{2x}\;]=3\)；

则由长度型几何概型可知， \(\cfrac{3-2}{5-2}=\cfrac{1}{3}\)，故选 \(B\).

【2021·山东临沂一模】高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的美誉， 用其名字命名的 “高斯函数” ： 设 \(x\in{R}\)，用 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数，则 \(y=[x]\) 称为高斯函数，也称取整函数， 例如: \([-3.7]\)\(=\)\(-4\)，\([2.3]\)\(=\)\(2\)。已知 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)，则函数 \(y\)\(=\)\([f(x)]\) 的值域为 【\(\qquad\)】

$A.\{0\}$ $B.\{-1,0\}$ $C.\{-2,-1,0\}$ $D.\{-1,0,1\}$

解析: \(f(x)=\cfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{e^{x}+1-2}{e^{x}+1}-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{2}{e^{x}+1}+\cfrac{1}{2}\)，

由于当 \(x\in R\) 时， \(e^{x}>0\)， 则 \(e^x+1>1\)，则 \(0<\cfrac{1}{e^{x}+1}<1\)，则 \(0<\cfrac{2}{e^{x}+1}<2\)，

则 \(-2<-\cfrac{2}{e^{x}+1}<0\)，则 \(-2+\cfrac{1}{2}<-\cfrac{2}{e^{x}+1}+\cfrac{1}{2}<0+\cfrac{1}{2}\)，

即 \(-\cfrac{3}{2}<f(x)<\cfrac{1}{2}\)，故 \([f(x)]\in \{-2,-1,0\}\)，故选 \(C\) .

【2024高一训练题】高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的美誉， 用其名字命名的 “高斯函数” ： 设 \(x\in{R}\)，用 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数，则 \(y=[x]\) 称为高斯函数，也称取整函数， 例如: \([-3.7]\)\(=\)\(-4\)，\([2.3]\)\(=\)\(2\)。已知函数 \(f(x)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{2^x}{1+2^x}\)，\(G(x)=[f(x)]\)，则下列说法正确的有【\(\qquad\)】

$A$.$G(x)$是偶函数

$B.$$G(x)$的值域是$\{-1,0\}$

$C.$$f(x)$是奇函数

$D.$$f(x)$在 $R$ 上为增函数

解析：由于 \(f(x)=\cfrac{1}{2}-\cfrac{2^x}{1+2^x}\)，定义域为 \(R\)，利用变量集中策略，可以得到

\(f(x)=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{1+2^x}\)，借助判定函数的单调性的基本函数法，可以判断 \(f(x)\) 在 \(R\) 上为减函数，故选项 \(D\) 错误；

又由于 \(2^x>0\)，则 \(0<\cfrac{1}{2^x+1}<1\)，故 \(-\cfrac{1}{2}<-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{1+2^x}<\cfrac{1}{2}\)， 即 \(-\cfrac{1}{2}<f(x)<\cfrac{1}{2}\)，

则当 \(f(x)\in (-\cfrac{1}{2},0)\) 时，\(G[f(x)]=-1\)， 当 \(f(x)\in [0，\cfrac{1}{2})\) 时，\(G[f(x)]=0\)， 故 \(G(x)\)的值域是\(\{-1,0\}\)，则选项 \(B\) 正确；

由奇函数的判定思路可知，\(f(-x)+f(x)=0\)，则 \(f(x)\) 是奇函数，则选项 \(C\) 正确；

又由于 \(G(-1)=[\cfrac{1}{6}]=0\)， \(G(1)=[-\cfrac{1}{6}]=-1\)，\(G(1)\neq G(-1)\)，故 \(G(x)\) 不是偶函数，则 选项 \(A\) 错误；

故本题目选 \(BC\) .