图象是学习高中数学的生命线

前言

我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数学的学习和研究，无非是从两个角度入手分析，其一为形，其二为数，鉴于初中和高中学生的认知水平，往往都是先从形的角度研究，再对特殊的案例加以抽象概括从数的角度研究。因此，作为形的体现形式之一的函数图象自然就成了学习高中数学的生命线，高中数学中使用图象的地方几乎是时时、处处、事事，你们自己可以感受一下。

使用案例

✍️ 利用图象能研究函数的定义域、值域，数形结合的基础和出发点，

✍️利用图象能解不等式，

✍️利用图象能比较函数的大小

【人教A版\(P_{68}\)例6】给定函数 \(f(x)=x+1\)， \(g(x)=(x+1)^2\)， \(x \in R\)，

(1). 在同一直角坐标系中画出函数 \(f(x)\)， \(g(x)\) 的图象；

(2). \(\forall x \in R\)， 用 \(M(x)\) 表示 \(f(x)\)， \(g(x)\) 中的最大者，记为\(M(x)=\max \{f(x), g(x)\}\)，例如，当 \(x=2\) 时，\(M(2)\)\(=\)\(\max\{f(2), g(2)\}\)\(=\)\(\max\{3,9\}=9\)，请分别用图象法和解析法表示函数 \(M(x)\).

解： 由上图中函数取值的情况, 结合函数 \(M(x)\) 的定义, 可得函数 \(M(x)\) 的图象 .

由 \((x+1)^2=x+1\)， 得 \(x(x+1)=0\). 解得 \(x=-1\)， 或 \(x=0\).

结合上图， 得出函数 \(M(x)\) 的解析式为

\[M(x)=\left\{\begin{array}{l}(x+1)^2, &x \leqslant-1, \\x+1, &-1<x \leqslant 0, \\(x+1)^2, &x>0.\end{array}\right. \]

✍️能直观的观察原函数的单调区间。

【2018天津模拟改编】已知函数\(y=f(x)(x\in R)\)的图像如图所示，则函数\(f(x)\)的单调区间为_________。

分析：由图可知，函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，0)\)和\([\cfrac{1}{2}，+\infty)\)上单调递减，在区间\([0，\cfrac{1}{2}]\)上单调递增，

【点评】：①学会读图，解读图像时，是将变化趋势一致(仅仅上升或仅仅下降)的那部分图像，向\(x\)轴做射影，所得的区间即为单调区间。②这一方法可以解决高中阶段的许多简单函数的单调性，比如基本初等函数，一次、二次函数、分段函数，抽象函数，复合函数等，

✍️利用图象能判断导函数的正负，原函数的单调性；

已知函数\(f(x)=x^2+(m+2)x+1(m为常数)\)，讨论函数\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)的单调性；

分析：\(g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1]\)，定义域为\(R\)，

则\(g'(x)=e^x\cdot [x^2+(m+2)x+1]+e^x\cdot (2x+m+2)\)

\(=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)]\)

令\(g'(x)=0\)，得到\(x=-1\)或\(x=-(m+3)\)，由于\(e^x>0\)恒成立，

故借助开口向上的二次函数\(y=(x+1)[x+(m+3)]\)的图像分类讨论求解如下：

①当\(-(m+3)<-1\)时，即\(m>-2\)时，

\(x\in (-\infty，-m-3)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

\(x\in (-m-3，-1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (-1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

②当\(-(m+3)=-1\)时，即\(m=-2\)时，\(g'(x)\ge 0\)恒成立，

当且仅当\(x=-1\)时取得等号，故\(g(x)\)在R上单调递增；

③当\(-(m+3)>-1\)时，即\(m<-2\)时，

\(x\in (-\infty，-1)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

\(x\in (-1，-m-3)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (-m-3，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

综上所述：

当\(m<-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-1)\)和\((-m-3，+\infty)\)，单减区间为$ (-1，-m-3)$;

当\(m=-2\)时，函数\(g(x)\)只有单增区间为\((-\infty，+\infty)\)；

当\(m>-2\)时，函数\(g(x)\)的单增区间为\((-\infty，-m-3)\)和\((-1，+\infty)\)，单减区间为$ (-m-3，-1)$;

✍️利用图象能解决抽象函数的问题

【2018·珠海月考】已知定义在\(R\)上的奇函数\(y＝f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递增，且\(f(\cfrac{1}{2})=0\)，则满足\(f(log{\frac{1}{9}}x)>0\) 的$ x$ 的集合为_________。

分析：由于\(y＝f(x)\)在\((0，＋\infty)\)上单调递增，且为奇函数，

则可知函数在\((-\infty，0)\)上单调递增，又\(f(\cfrac{1}{2})=0\)，

则可知\(f(-\cfrac{1}{2})=0\)，又由于函数定义在\(R\)上，则\(f(0)=0\)，

做出大致示意图如下，

由图像可得，

故有\(log{\frac{1}{9}}x>\cfrac{1}{2}\)或\(-\cfrac{1}{2}<log{\frac{1}{9}}x<0\)

即\(log{\frac{1}{9}}x>\cfrac{1}{2}=log{\frac{1}{9}}(\cfrac{1}{9})^{{\frac{1}{2}}}=log{\frac{1}{9}}{\cfrac{1}{3}}\)或\(log{\frac{1}{9}}3<log{\frac{1}{9}}x<log{\frac{1}{9}}1\)

解得\(0<x<\cfrac{1}{3}\)或\(1<x<3\)，

故所求集合为\(\{x\mid 0<x<\cfrac{1}{3}或1<x<3 \}\)。

✍️利用图象能研究分段函数的性质，

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

✍️利用图象能研究复合函数的问题

✍️利用图象变换能研究更复杂的函数

【2019届高三理科数学资料用题】【2018日照一模】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x>0}\\{2^{|x|}，x\leq 0}\end{array}\right.\)，则函数\(y\)\(=\)\(2f^2(x)\)\(-\)\(3f(x)\)\(+\)\(1\)的零点个数是【5】个。

分析：函数\(y=2f^2(x)-3f(x)+1\)的零点个数即方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)的根的个数，

故先求解方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)，即\([2f(x)-1][f(x)-1]=0\)，

解得\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，

接下来原方程的根的个数转化为方程\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)的根的个数，

故做出函数\(y=f(x)\)的图像和直线\(y=1\)和\(y=\cfrac{1}{2}\)，

由图像可以看出，其共有 \(5\) 个交点，故原函数的零点个数为 \(5\) 个。

✍️图象是数形结合，转化划归的依托和桥梁，如函数有多个零点的问题。

反思感悟

那么，在我们平时的学习中，该如何做才能守住这条生命线？

学习具体函数[基本初等函数]时，对其图象的画法需要做到烂熟于心，多深入研究，多做拓展。