求函数的解析式

公式定理💯随心记

【点到直线距离公式】点 $P (x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\cfrac {|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt {A^2+B^2}}$

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前言

函数的解析式是函数的重要性质之一，要研究函数，我们往往需要以函数的解析式为依托和切入，如果知道了函数的解析式，那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质，比如 $f(x)=x+x^3$，看到这个解析式，我们就能知道函数的定义域和值域都是 $R$，是奇函数，是单调递增函数，过点 $(0，0)$ 等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。对常用的基本方法详细说明如下：

$$\textbf {求函数的解析式}\left\{\begin {array}{l}\textbf {待定系数法 [常规考法]}\rightarrow\textbf {解方程}\\\textbf {方程组法 [常规考法]}\rightarrow\textbf {解方程组}\\\textbf {换元法 (代数 + 三角)[常规考法]}\rightarrow\textbf {反解} x\textbf {代入}\\\textbf {配凑法 [常规考法]}\rightarrow\textbf {等价变形}\\\textbf {奇偶性或周期性法 [新考法]}\rightarrow\textbf {利用函数性质}\end {array}\right.$$

注意事项

• 定义域优先原则也适用求解析式

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(\cfrac{2}{x+|x|})=log_2 {\sqrt{x|x|}}$，求函数解析式 $f(x)$

分析：本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力，本题目乍一看似乎很生猛，

但是如果有定义域优先的意识，注意到右端真数位置的 $\sqrt{x|x|}$，

应该知道定义域 $x\in(0，+\infty)$，这样所给的解析式就能很快化简了。

即 $f(\cfrac{2}{x+|x|})=f(\cfrac{2}{2x})=f(\cfrac{1}{x})=log_2 {\sqrt{x|x|}}=log_2 x$，

即 $f(\cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0)$，做代换令 $\cfrac{1}{x}=t(t>0)$，

则 $f(t)=log_2 \cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0)$，

故所求的 $f(x)=-log _2 x (x>0)$。

配凑法

操作说明：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

已知函数 $f(x)$ 满足条件 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}$，求 $f(x)$ 的解析式；

分析： $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1$，

注意右端需要配凑出以 $\sqrt{x}+1$ 为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令 $\sqrt{x}+1=t$，则新元 $\quad$ $t\ge 1$，故解析式为 $f(t)=t^2-1(t\ge 1)$，

再将自变量替换为我们适应的 $x$，则所求的解析式为 $f(x)=x^2-1(x\ge 1)$。

其余参阅配凑法；

换元法

操作说明：将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。

【代数换元】求函数 $f(x)=4^x+3\cdot 2^x+1$ 的值域。

分析：注意到函数的结果特点，做代数换元令 $2^x=t>0$，

则原函数就转化为 $f(x)=g(t)=t^2+3t+1，t\in(0，+\infty)$ 上的值域；

【三角换元】求函数 $f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$ 的值域。

分析：求定义域得到 $x\in[-1，1]$，故做三角换元令 $x=cos\theta,\theta\in[0，\pi]$，

则函数 $f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$$=cos\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}$$=cos\theta+|sin\theta|$

$=sin\theta+cos\theta$$=\sqrt{2}sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，

故函数的值域为 $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$。

其余参阅换元法；

待定系数法

操作说明：适用于已知函数的类型， 比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(2)=-1$，$f(-1)=-1$，且 $f(x)$ 的最大值是 $8$，试确定此二次函数的解析式。

法 1：一般式，设 $f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)$，

由题意得 $\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}$，

故 $f(x)=-4x^2+4x+7$。

法 2：顶点式，设 $f(x)=a(x-m)^2+n$，由题意得 $n=8$，又 $f(2)=f(-1)$，

故函数的对称轴是 $x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}$，故 $m=\cfrac{1}{2}$。

则 $y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8$，

又 $f(2)=-1$，$a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1$，

解得 $a=-4$，故 $f(x)=-4x^2+4x+7$。

法 3：两根式 (零点式)，由已知 $f(x)+1=0$ 的两根 $x_1=2$，$x_2=-1$，

故可设 $f(x)+1=a(x+1)(x-2)$，即 $f(x)=ax^2-ax-2a-1$，

又函数 $f(x)_{max}=8$，即 $\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8$，

解得 $a=-4$ 或 $a=0 (舍去)$，故 $f(x)=-4x^2+4x+7$。

方程组法

操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形

若函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2f(1-x)=x$，则 $f(x)$ 的解析式为__________.

分析：方程组法，用 $1-x$ 替换原方程中的 $x$, 得到 $f(1-x)+2f(x)=1-x$，

联立两式，则有 $\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\\f(1-x)+2f(x)=1-x\end{cases}$，

解以 $f(x)$ 和 $f(1-x)$ 为元的二元一次方程组，

解得 $f(x)=\cfrac{2}{3}-x$;

若函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2f(2-x)=x$，则 $f(x)$ 的解析式为__________.

分析：方程组法，用 $2-x$ 替换原方程中的 $x$, 得到 $f(2-x)+2f(x)=2-x$，联立两式，解得 $f(x)=?$;

其余参阅方程组法求解析式；

奇偶性法

利用奇偶性求解析式，备注：近年高考的热点，最好不要掌握简洁方式，要老实掌握解析式的求法；

【2017 全国卷 2，文科第 14 题高考真题】已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，$x <0$ 时，$f(x)=2x^3+x^2$，求 $f(2)$ 的值；

法 1：当 $x >0$ 时，$-x <0$，$f(-x)=-2x^3+x^2$，

又函数是奇函数，故 $f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2$，

即 $x >0$ 时的解析式 $f(x)=2x^3-x^2$；又 $f(0)=0$

故解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2x^3+x^2，x\leqslant 0}\\{2x^3-x^2，x>0}\end{array}\right.$

故 $f(2)=2\times 2^3-2^2=12$；

法 2：求 $f(2)$ 的值还可以这样做，不求解析式，利用奇偶性求值。

$f(-2)=-12$，$f(2)=-f(-2)=12$；

已知 $f(x)$，$g(x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，$f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$，求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式。

分析：由题目可知，奇函数满足 $f(x)+f(-x)=0$，偶函数满足 $g(x)=g(-x)$

又题目已知 $f(x)-g(x)=x^3+x^2+1$①，

则有 $f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1$②，

两式相加得到，$[f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1)$，

即 $-2g(x)=2(x^2+1)$，则 $g(x)=-x^2-1$，

代入①式得到，$f(x)=x^3$，

故所求解析式 $f(x)=x^3$，$g(x)=-x^2-1$。

【2016 全国卷 Ⅲ】已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x\leq 0$ 时，$f(x)=e^{-x-1}-x$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1，2)$ 处的切线方程是___________。

分析：利用偶函数性质求解析式，

设 $x>0$，则 $-x<0$，则 $f(-x)=e^{x-1}+x$，由于 $f(x)$ 为偶函数，

所以 $f(-x)=f(x)$，故 $f(x)=e^{x-1}+x$，

即其解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{e^{-x-1}-x，x\leqslant 0}\\{e^{x-1}+x，x>0}\end{array}\right.$

由于 $x>0$ 时，$f'(x)=e^{x-1}+1$，所以 $f'(1)=e^{1-1}+1=2$，

所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1，2)$ 处的切线方程为 $y-2=2(x-1)$，即 $2x-y=0$。

对称性法

利用对称性求解析式，备注：近年高考的热点

【函数中心对称】已知定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1-x)+f(1+x)=2$，且当 $x>1$ 时，$f(x)=\cfrac{x}{e^{x-2}}$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程是_____。

法 1：利用函数的对称性，先求 $x<1$ 时的函数解析式。

由于 $f(1-x)+f(1+x)=2$，则有 $f(x)+f(2-x)=2$，

故 $f(x)=2-f(2-x)$；

又当 $x<1$ 时，$2-x>1$

即 $x<1$ 时的解析式为 $f(x)=2-f(2-x)=2-\cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-\cfrac{2-x}{e^{-x}}$，图像演示

则 $f'(x)=-\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(2-x)\cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-\cfrac{1-x}{e^{-x}}$

故 $f'(0)=-1$，又 $f(0)=0$，即切点为 $(0 ,0)$，

由点斜式可得切线方程为：$y=-x$

法 2：由 $f(1-x)+f(1+x)=2$，得到函数 $f(x)$ 关于点 $(1，1)$ 中心对称；

令 $x=1$，得到 $f(0)+f(2)=2$，

又函数 $f(x)$ 关于点 $(1，1)$ 中心对称；

故 $f'(0)=f'(2)$

则 $f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1$，

又 $f(0)=2-f(2)=0$，即切点为 $(0 ,0)$，

由点斜式可得切线方程为：$y=-x$

【函数轴对称】已知定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$，且当 $x\ge 1$ 时，$f(x)=(x-1)^2$，求函数 $f(x)$ 的解析式；

分析：当 $x<1$ 时，$2-x>1$，故有 $f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2$，

又 $f(x)=f(2-x)=(x-1)^2$，

故 $x<1$ 时，$f(x)=(x-1)^2$，

综上，$f(x)=(x-1)^2(x\in R)$。

【两个函数关于某点的对称】已知函数 $f(x)$ 的图像与函数 $h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2$ 的图像关于点 $A(1，0)$ 对称，求 $f(x)$ 的解析式；

分析：设 $f(x)$ 图像上任一点 $P(x，y)$，则点 $P$ 关于 $(0，1)$ 点的对称点 $P'(-x，2-y)$ 必在 $h(x)$ 的图像上，

即 $2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2$，即所求解析式为 $f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)$。

周期性法

利用周期性求解析式，备注：冷门

函数 $f(x)$ 的周期为 2，$0< x <2$ 时，$f(x)=x^2$，求 $2<x<4$ 时的解析式 $f(x)$.

分析：当 $2< x <4$ 时，$0< x-2<2$，故 $f(x-2)=(x-2)^2$，

又由于 $f(x)=f(x-2)$，则 $f(x)=(x-2)^2$

即 $2< x <4$ 时的解析式 $f(x)=(x-2)^2$。

综合使用

【2020 届凤翔中学高三理科月考一第 10 题】已知函数 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f(x+2)$$+$$f(x)$$=$$0$，当 $x\in [-2，0]$ 时，$f(x)=-x^2-2x$，则当 $x\in [4，6]$ 时，$y=f(x)$ 的最小值为【】

$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$

分析：本题目的本质是求解函数 $f(x)$ 的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；

[法 1]：由于 $f(x+2)+f(x)=0$，即 $f(x+2)=-f(x)$，故 $T=4$，又 $y=f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数，

故可以先利用奇偶性求得 $x\in [0，2]$ 上的解析式；

当 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x$，

再利用周期性求得 $x\in [4，6]$ 上的解析式；

当 $x\in [4,6]$ 时，$x-4\in [0,2]$，$f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2\times (x-4)=x^2-10x+24$，

接下来求解 $x\in [4,6]$ 时函数 $f(x)=x^2-10x+24$ 的最小值；

$f(x)=(x-5)^2-1$，$x\in [4,6]$，故 $f(x)_{min}=f(5)=-1$；故选 $B$；

[法 2]：当求得 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\times (-x)]=x^2-2x$，

由于函数的周期为 $4$，故函数 $f(x)$ 在 $x\in [0,2]$ 段上的值域和 $x\in [4,6]$ 段上的值域相同，

故只需要求解 $x\in [0,2]$ 时，$f(x)=x^2-2x$ 的最小值即可，$f(x)=(x-1)^2-1$，

故 $f(x)_{min}=f(1)=-1$，故 $x\in [4，6]$ 上的最小值也是 $-1$，故选 $B$;

[法 3]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：

由于周期为 $T=4$，故有 $f(x+4)=f(x)$，又由于函数为奇函数，故 $f(x)=-f(-x)$，

则得到 $f(x+4)=-f(-x)$，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点 $(2,0)$ 成中心对称；

若 $x\in[0,2]$，则此时 $f(-x)$ 可解，且 $f(x+4)$ 即表达函数在 $x\in [4,6]$ 上的解析式；

故 $f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2\times (-x)]]=x^2-2x$，$x\in [0,2]$，

直接求 $y=x^2-2x$，$x\in [0,2]$ 上的最小值即可，同上可知此时 $y_{min}=y_{|x=1}=-1$，

故所求的最小值为 $-1$，故选 $B$；

其实做个代换，即能得到 $x\in [4,6]$ 上的解析式；分析如下，

由于 $f(x+4)=x^2-2x$，$x\in [0,2]$，令 $x+4=t$，则 $t\in [4,6]$，则 $x\in t-4$

故 $f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24$，即 $f(x)=x^2-10x+24$，$x\in [4,6]$；

【2020 届凤翔中学高三文科资料用题】【2018 上海崇明二模】设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上以 $2$ 为周期的偶函数，当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)=log_2(x+1)$，则函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的解析式是___________.

法 1：利用奇偶性和周期性求解；

令 $x\in [-1，0]$，则 $-x\in[0,1]$，则 $f(-x)=log_2(-x+1)$，又由偶函数得到 $f(x)=f(-x)=log_2(-x+1)$；

令 $x\in [1,2]$，则 $x-2\in [-1,0]$，则 $f(x-2)=log_2[-(x-2)+1]=log_2(3-x)$，又由周期性得到 $f(x)=f(x-2)=log_2(3-x)$；

法 2：利用对称性，由 $f(x+2)=f(x)$ 以及 $f(x)=f(-x)$，得到 $f(2+x)=f(-x)$，即 $f(x)=f(2-x)$，

当 $x\in [1,2]$ 时，$2-x\in [0,1]$，故 $f(x)=f(2-x)=log_2[(2-x)+1]=log_2(3-x)$；

三角函数法

请参阅求正弦型函数的解析式；

实际问题中求解析式 (勿忘定义域)

如图，曲边三角形中，线段 $OP$ 是直线 $y=2x$ 的一部分，曲线段 $PQ$ 是抛物线 $y=-x^2+4$ 的一部分．矩形 $ABCD$ 的顶点分别在线段 $OP$，曲线段 $PQ$ 和 $y$ 轴上．设点 $A(x，y)$，记矩形 $ABCD$ 的面积为 $f(x)$．求函数 $f(x)$ 的解析式并指明定义域；

分析：结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式；由题可知，点 $A(x，2x)(x>0)$，点 $B(x，-x^2+4)$，

故 $|AD|=x$，$|AB|=-x^2-2x+4$，

则可知矩形 $ABCD$ 的面积为 $f(x)=|AD|\cdot |AB|=x\cdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x$．

令 $2x=-x^2+4$，解得 $x=\pm\sqrt{5}-1$，舍去负值，即 $x=\sqrt{5}-1$，即定义域为 $0<x<\sqrt{5}-1$，

故函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=-x^3-2x^2+4x(0<x<\sqrt{5}-1)$。

【2018 豫东豫北十所名校联考】根据如下样本数据：

$x$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$4.0$	$a-5.4$	$-0.5$	$0.5$	$b-0.6$

得到的回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，若样本点的中心为 $(5，0.9)$，则当 $x$ 每增加 1 个单位，$y$ 就【$\quad$】

$A.$ 增加 $1.4$ 个单位；

$B.$ 减少 $1.4$ 个单位；

$C.$ 增加 $7.9$ 个单位；

$D.$ 减少 $7.9$ 个单位；

分析：由题意可知，$\cfrac{a+b-2}{5}=0.9$，即 $a+b=6.5$①，

有样本中心点为 $(5，0.9)$ 在回归直线上，则 $0.9=5b+a$②，

联立①②，解得 $b=-1.4$，$a=7.9$，

则回归直线方程为 $\hat{y}=-1.4x+7.9$。

故可知则当 $x$ 每增加 1 个单位，$y$ 就减少 1.4 个单位；故选 $B$。

易错题目

若函数 $f(x)=\cfrac{x}{ax+b}(a\neq 0)$，$f(2)=1$，又方程 $f(x)=x$ 有唯一解，求 $f(x)$ 的解析式。

法 1：从数的角度分析，由 $f(2)=1$，得到 $\cfrac{2}{2a+b}=1$，即 $2a+b=2$；

由 $f(x)=x$，得到 $\cfrac{x}{ax+b}=x$，变形得到 $x(\cfrac{1}{ax+b}-1)=0$，

解此方程得到，$x=0$ 或 $x=\cfrac{1-b}{a}$，又由于方程有唯一解，故 $\cfrac{1-b}{a}=0$，

解得 $b=1$，代入 $2a+b=2$ 得到 $a=\cfrac{1}{2}$，

再将 $x=0$ 代入方程 $\cfrac{x}{ax+b}=x$ 检验，发现此时要方程有意义，必须 $b\neq 0$，

故上述的解法可能丢失了 $b=0$ 的情形，当 $b=0$ 时，代入 $2a+b=2$，得到 $a=1$，

代入验证也满足题意，故 $a=\cfrac{1}{2}$ 且 $b=1$ 或者 $a=1$ 且 $b=0$

综上所述，$f(x)=\cfrac{2x}{x+2}$ 或者 $f(x)=\cfrac{x}{1\cdot x+0}=1$。

法 2：从形的角度分析，图形解释如下。

相关补充

1、观察归纳法，可以参见 函数的迭代 ;

2、为什么要求解函数的解析式，请参阅由函数的解析式给出函数的性质