常用逻辑用语习题

前言

典例剖析

【易错题】命题“若\(ab=0\)，则\(a=0\)或\(b=0\)”，其否定为__________________.

解：若\(ab=0\)，则\(a\neq 0\)且\(b\neq 0\)；

易错写为“若\(ab=0\)，则\(a\neq 0\)或\(b\neq 0\)”；

其否命题为：若\(ab\neq 0\)，则\(a\neq 0\)且\(b\neq 0\)；

已知命题：\(p：x\neq 2\)或\(y\neq 3\)，命题：\(q：x+y\neq 5\)，则\(\;p\)是\(\;q\)的什么条件？\(q\)是\(p\)的什么条件？

法1，可以做出条件和结论的可行域，利用集合的关系来判断，但是这个方法比较难。

由题目可知，\(\;p：x\neq 2\)或\(y\neq 3\)，对应图中的除过点\((2,3)\)之外的区域\(A\)；

\(\;q：x+y\neq 5\)，对应坐标系中不在直线上的区域\(B\)；

显然区域\(A\)包含区域\(B\)，故\(\;p\)是\(\;q\)的必要不充分条件，\(\;q\)是\(\;p\)的充分不必要条件。

法2：利用等价命题和不等式性质求解。

命题：\(\neg\;q：x+y=5\)，命题：\(\neg\;p：x=2\)且\(y=3\)，则有\(\neg\;q \not\Rightarrow \neg\; p，\neg\; p \Rightarrow \neg\; q\)

故\(\neg\; q\)是\(\neg\; p\)的必要不充分条件，\(\neg\; p\)是\(\neg\; q\)的充分不必要条件。

由等价命题可知，\(\;p\)是\(\;q\)的必要不充分条件，\(\;q\)是\(\;p\)的充分不必要条件。

原命题：“\(x+y\neq 5\)”是"\(x\neq 2\)或\(y\neq 3\)"的何种条件；(充分不必要)

逆否命题："\(x=2\)且\(y=3\)"是"\(x+y=5\)"的何种条件；(充分不必要)

【2016宝鸡市三检№3】设\(A\)，\(B\)是两个同高的几何体，\(p：A，B\)的体积不相等，\(q：A，B\)在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，可知\(p\)是\(q\)的【】条件。

预备知识：我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．

分析：大前提：\(A，B\)是两个同高的几何体，\(\neg\;q：A，B\)在等高处的截面积恒相等，\(\neg\;p：A，B\)的体积相等，则由祖暅原理可知，\(\neg\; q \Rightarrow \neg\; p\)，但是\(\neg\; p \not\Rightarrow \neg\; q\)，比如两个相同的圆锥体，一正一倒夹在两个平行平面之间，很明显等高处的截面积不恒相等。故\(\neg\; q\)是\(\neg\; p\)的充分不必要条件，即\(p\)是\(q\)的\(\underline{充分不必要}\)条件。

【解后反思】：\(\neg\; q\)是\(\neg\; p\)的充分不必要条件，其逆否命题即 \(p\) 是\(q\)的充分不必要条件。命题中如果带有否定词，则最好借助逆否命题来判断。

下面四个条件中，使得\(a>b\)成立的充分不必要条件是【】

$A.a > b+1$ $B.a > b-1$ $C.a^2 > b^2$ $D.a^3 > b^3$

分析：由于题干\(a>b\)等价于\(a-b>0\)，本题目是想问，哪一个选项能是\(a>b\)的充分不必要条件，逐项分析如下：

\(A\)选项，即\(a-b>1\)，故是充分不必要条件；

\(B\)选项，即\(a-b>-1\)，故是必要不充分条件；

\(C\)选项，即\(a>b\not\Rightarrow a^2>b^2\)，且\(a^2>b^2\not\Rightarrow a>b\)(结合函数\(y=x^2\),举一个反例就行)，故既不充分也不必要条件；

\(D\)选项，\(y=x^3\)是增函数，即\(a>b\Rightarrow a^3>b^3\)，且\(a^3>b^3 \Rightarrow a>b\)，故是充要条件；

故选\(A\);

已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a>0)\)，若\(m\)满足关于\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，则下列选项中的命题为真命题的是【】

$A.$存在$x\in R，f(x) < f(m)$

$B.$存在$x\in R，f(x) > f(m)$

$C.$任意$x\in R，f(x)\leq f(m)$

$D.$任意$x\in R，f(x)\ge f(m)$

分析：由题目\(m\)满足关于\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，即\(m=-\cfrac{b}{2a}\)，

又二次函数\(f(x)\)开口向上，\(x=-\cfrac{b}{2a}\)为其对称轴，故其有最小值\(f(-\cfrac{b}{2a})\)，

即\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{b}{2a})=f(m)\)，故对任意\(x\in R\)，\(f(x)\ge f(m)\) ，故选\(D\)。

命题\(p\)：“\(\forall x\in R，x^2+1\ge 1，\)”则其否定形式是什么。

分析：全称命题的否定是特称命题，方法思路：改写量词，否定结论即可；

故\(\neg p：\exists x_0\in R，x_0^2+1<1\)。

【上例对照题，易错】命题\(“\)\(\forall x>0\)，\(\frac{x}{x-1}>0\)\(”\)的否定是【\(\qquad\)】

$A.\exists x<0,\cfrac{x}{x-1}\leqslant0$ $B.\exists x>0,0\leqslant x\leqslant1$ $C.\exists x>0,\cfrac{x}{x-1}\leqslant0$ $D.\forall x>0,0\leqslant x\leqslant1$

解：本题目学生容易按照改写量词，否定结论的思路，错误的选择\(C\)，其实，\(\cfrac{x}{x-1}>0\)的否定应该是\(\cfrac{x}{x-1}\leqslant0\)或\(x-1=0\)两种情况，由于正面\(\cfrac{x}{x-1}>0\)中不含有\(x-1=0\)，故其否定中应该含有\(x-1=0\)；

可以这样思考，将\(\cfrac{x}{x-1}>0\)解出来得到，\(x<0\)或\(x>1\)，故其否定应该为\(0\leqslant x\leqslant1\)，故本题目应该选择\(B\) .

【2020贵州联考】已知命题\(p：\)任意\(x>0\)，总有\((x+1)e^x>1\)，则非\(p\)为_____________.

解：非\(p：\)存在\(x_0>0\)，使得\((x_0+1)e^{x_0}\leqslant 1\)；

注意，本题目学生容易错误的写为：非\(p：\)存在\(x_0\leqslant 0\)，使得\((x_0+1)e^{x_0}\leqslant 1\)；

【2016•浙江】命题“ 任意\(x\in R\)，存在\(n\in N^*\)，使得\(n\ge x^2\) ” 的否定形式是【】

$A.$任意$x\in R$，存在$n\in N^*$，使得$n< x^2$

$B.$任意$x\in R$，任意$n\in N^*$，使得$n< x^2$

$C.$存在$x\in R$，存在$n\in N^*$，使得$n< x^2$

$D.$存在$x\in R$，任意$n\in N^*$，使得$n< x^2$

法1：对于\(\forall x\in R\)，要找到合适的\(n\)，使得\(n\ge x^2\)，此时我们只要取\(n=[x^2+1]\)即可，故满足题意的\(n\)一定存在，故原命题为真，其否定形式自然就是假命题，即存在\(x\in R\)，任意\(n\in N^*\)，使得\(n< x^2\)，故选\(D\)。

法2：利用全称命题的否定形式解题，选\(D\)。

命题\(“\)任意\(n\in N^*\)，\(f(n)\in N^*\)且\(f(n)\leqslant n\) \(”\)的否定形式为【】

$A.$任意$n\in N^*$，$f(n)\not\in N^*$且$f(n)>n$

$B.$任意$n\in N^*$，$f(n)\not\in N^*$或$f(n)>n$

$C.$存在$n_0\in N^*$，$f(n_0)\not\in N^*$且$f(n_0)>n_0$

$D.$存在$n_0\in N^*$，$f(n_0)\not\in N^*$或$f(n_0)>n_0$

分析：利用全称命题的否定形式解题， 选\(D\)。

【命题中的否定】已知\(M\)是不等式\(\cfrac{ax+10}{ax-25}\leq 0\)的解集，且\(5\notin M\)，则\(a\)的取值范围是___________.

法1：直接法求解，由于\(x=5\)时不等式不成立，

即\(\cfrac{5a+10}{5a-25}>0\)或\(5a-25=0\)，解得\(a<-2\)或\(a\ge 5\)，故\(a\)的取值范围是\((-\infty，-2)\cup [5，+\infty)\)。

法2：间接法，正难则反，补集思想

令\(5\in M\)，代入不等式\(\cfrac{5a+10}{5a-25}\leq 0\)，解得解集为\(A=[-2，5)\)；

又由于原题\(5\notin M\)，故取集合\(C_RA=(-\infty，-2)\cup [5，+\infty)\)，即为所求。

【数学归纳法+等价命题】某个命题与自然数\(n\)有关，若\(n=k(k\in N^*)\)时命题成立，那么可以推得当\(n=k+1\)时命题也成立。现已知当\(n=5\)时，该命题不成立，那么可以推得【】

$A.$当$n=6$时，该命题不成立

$B.$当$n=6$时，该命题成立

$C.$当$n=4$时，该命题不成立

$D.$当$n=6$时，该命题成立

分析：选\(C\)，本题目考查数学归纳法和命题的等价性。

如果认定原命题为真，则其逆否命题是：“若\(n=k+1(k\in N^*)\)时命题不成立，则\(\;\;n=k\;\;\)时命题也不成立。”也为真，

这样由于题目已知当\(n=5\)时，该命题不成立，则可以推出当\(n=4\)时，该命题不成立，而且当\(n=3，2，1\)时，该命题也不成立。

故选\(C\).

已知命题\(p\)：\(x^2+2x-3>0\)，命题\(q\)：\(\cfrac{1}{3-x}>1\)，若“\(\neg q 且p\)”为真，则\(x\)的取值范围是____________。

分析：由“\(\neg q 且p\)”为真，可知\(p\)真\(q\)假；

由\(p\)为真，则\(x^2+2x-3>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)；若\(q\)为真，则\(\cfrac{1}{3-x}>1\)，解得\(2<x<3\)，

故\(q\)为假时，得\(x\leq 2或x\ge 3\)，故由\(p\)真\(q\)假可知，

满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{x<-3或x>1}\\{x\leq 2或x\ge 3}\end{array}\right.\)

即\(x\in (-\infty，-3)\cup(1，2]\cup[3，+\infty)\)。

辨析：命题\(q\)：\(\cfrac{1}{3-x}>1\)，则\(\neg q\)：应该为\(\cfrac{1}{3-x}\leq 1\)或\(3-x=0\)，而不是\(\cfrac{1}{3-x}\leq 1\)。

或解为：由命题\(q\)：\(\cfrac{1}{3-x}>1\)，化简得到，命题\(q\)：\(2<x<3\)，故\(\neg q\)：\(x\leqslant 2\)或\(x\geqslant 3\)；

已知命题\(p\)：\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，命题\(q\)：\((x-1)^2>m\)的解集为\(R\)，若命题"\(p\)且\(q\)”为假，“\(p\)或\(q\)”为真，那么\(m\)的取值范围是________。

分析：由题目可知，

若\(p\)为真，则\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性)；

若\(q\)为真，由\(m<(x-1)^2\)对\(R\)恒成立，可知\(m<0\)，

由命题"\(p\)且\(q\)”为假，“\(p\)或\(q\)”为真可知，命题\(p\) 和\(q\)必然是一真一假；

当\(p\)真且\(q\)假时，有\(\left\{\begin{array}{l}{m<\cfrac{1}{2}}\\{m\ge 0}\end{array}\right.\)

解得\(0\leq m< \cfrac{1}{2}\)；

当\(p\)假且\(q\)真时，有\(\left\{\begin{array}{l}{m\ge \cfrac{1}{2}}\\{m< 0}\end{array}\right.\)

解得\(m\in \varnothing\)；

故\(m\)的取值范围是\([0，\cfrac{1}{2})\)。

辨析：本题目利用函数\(f(x)\)的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，

也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。

导数法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，则有

\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，+\infty)\)上恒成立，

即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，这个结果是错误的，

原因是缺少验证，当\(m=\cfrac{1}{2}\)时， 函数\(f(x)=0\)为常函数，

不符合题意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。

【根据充分必要条件求参数范围】已知\(“\)命题\(p：(x-m)^2>3(x-m)\)\(”\)是\(“\)命题\(q：x^2+3x-4<0\)\(”\)成立的必要不充分条件,则实数\(m\)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题\(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，

即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，

则有\(p：x>m+3\)或\(x<m；q：-4<x<1\)；

因为\(p\)是\(q\)成立的必要不充分条件，则\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，

所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\)，即\(m≤-7\)或\(m≥1\)，

故\(m\)的取值范围为\((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。

【根据复合命题的真假求求参数范围】设集合 \(A=\{x\mid -2-a<x<a，a>0\}\)，命题 \(p\)：\(1\in A\)，命题 \(q\)：\(2\in A\)，若 \(p\) 或 \(q\) 为真命题，\(p\) 且 \(q\) 为假命题，则实数 \(a\) 的取值范围是【】

$A.\{a\mid 0< a <1$或$a>2\}$

$B.\{a\mid 0< a <1$或$a\ge 2\}$

$C.\{a\mid 1< a \leq 2\}$

$D.\{a\mid 1\leq a\leq 2\}$

法1：转化划归+分类讨论，由 \(p\) 或 \(q\) 为真命题，\(p\) 且 \(q\) 为假命题可知，转化为命题 \(p\) 和 \(q\) 必然是一真一假；

当 \(p\) 真且 \(q\) 假时，有\(\left\{\begin{array}{l}{-2-a<1<a}\\{2\ge a或 2\leq -2-a}\end{array}\right.\)，解得 \(1<a\leq 2\)；

当 \(p\) 假且 \(q\) 真时，有\(\left\{\begin{array}{l}{1\ge a或 1\leq -2-a}\\{-2-a<2<a}\end{array}\right.\)，解得 \(a\in \varnothing\)；

综上，\(1<a\leq 2\)；故选\(C\)。

法2：利用运动观点求解，做出区间\((-2-a，a)\)，然后让参数\(a\)从\(0\)到\(3\)逐渐增大，

当\(a=0\)时，设给定区间为\(A\)，则\(A=(-2，0)\)，此时\(1\not\in A\)且\(2\not\in A\)，故不满足题意；

当\(a=1\)时，则\(A=(-3，1)\)，此时\(1\not\in A\)且\(2\not\in A\)，故不满足题意；

当\(a=1.5\)时，则\(A=(-3.5，1.5)\)，此时\(1\in A\)且\(2\not\in A\)，故满足题意；

当\(a=2\)时，则\(A=(-4，2)\)，此时\(1\in A\)且\(2\not\in A\)，故满足题意；

当\(a=3\)时，则\(A=(-5，3)\)，此时\(1\in A\)且\(2\in A\)，故不满足题意；

综上可知，参数\(a\)的取值只能是\(1<a\leq 2\)；选\(C\).

【根据全(特)称命题的真假求参数范围】设 \(p\)：存在 \(x\in (1，\cfrac{5}{2})\)，使函数 \(g(x)\)\(=\)\(log_2(\)\(tx^2\)\(+\)\(2x\)\(-\)\(2)\) 有意义，若 \(\neg p\) 为假命题，则实数 \(t\) 的取值范围是__________.

分析：由题目可知，命题 \(p\) 为真命题，则

\(\exists x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，使得\(f(x)=tx^2+2x-2> 0\)能成立，

分离参数可得，\(t>\cfrac{2-2x}{x^2}\) 对 \(x\in(1，\cfrac{5}{2})\) 能成立编者注：由能成立模型可知，接下来，需要求解函数 \(\cfrac{2-2x}{x^2}\)的最小值或最小值的极限，至此，问题转化为求函数的值域或最值问题，观察此函数的特征，我们可以考虑用导数法或换元为二次函数后求解最值；\(\quad\)，

求解最小值的思路一：

令\(h(x)=\cfrac{2-2x}{x^2}\)，\(x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，需要求\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=\cfrac{(2-2x)'\cdot x^2-(2-2x)\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{2(x-2)}{x^3}\)

\(x\in (1，2)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

\(x\in (2，\cfrac{5}{2})\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

故\(h(x)_{min}=h(2)=-\cfrac{1}{2}\)，故\(t>-\cfrac{1}{2}\)

即\(t\in (-\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。

求解最小值的思路二：

令 \(\cfrac{1}{x}=t\)，由 \(x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，得到 \(t\in(\cfrac{2}{5},1)\)，

则 \(h(x)=\cfrac{2-2x}{x^2}=2(\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x})=2(t^2-t)=g(t)\)，

即 \(g(t)=2[(t-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{1}{4}]=2(t-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{1}{2}\)，

故当 \(t=\cfrac{1}{2}\in(\cfrac{2}{5},1)\) 时， \(g(t)_{\min}=-\cfrac{1}{2}=h(x)_{\min}\)，

故\(t>-\cfrac{1}{2}\)，即\(t\in (-\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。

【2018\(\cdot\)太原模拟，来源于凤中2019理科资料微课时练习三的第6题】已知命题\(p\)：\(\exists x_0\in R\)，\(e^{x_0}-mx_0=0\)，命题\(q\)：\(\forall x\in R\)，\(x^2+mx+1\ge 0\)，若\(p\lor(\neg q)\)为假命题，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由复合命题真值表可知，\(p\lor(\neg q)\)为假命题，

则\(p\)和\(\neg q\)都为假命题，即\(p\)假\(q\)真。

先说命题\(q\)：\(\forall x\in R\)，\(x^2+mx+1\ge 0\)，为真命题，

则属于恒成立命题，由\(\Delta=m^2-4\leq 0\)，解得\(-2\leq m\leq 2\)；

即\(q\)为真，则有\(-2\leq m\leq 2\)；

以下重点研究命题\(p\)，而由题目可知，

\(\neg p\)：\(\forall x\in R\)，\(e^x-mx \neq 0\)，为真命题。

即方程\(e^x-mx =0\)无实根，此时准备分离参数：

思路一：方程\(mx= e^x\) 无实根，由不完全分离参数法，即函数\(y=e^x\)和函数\(y=mx\)的图像没有交点。如图所示，

设直线\(y=mx\)与曲线\(y=e^x\)相切于点\(P(x_0，y_0)\)，

则\(\quad\left\{\begin{array}{l}{m=e^{x_0}①}\\{y_0=e^{x_0}②}\\{y_0=mx_0③}\end{array}\right.\) \(\quad\quad\)释难列方程的来源是：从斜率相等角度，从切点在曲线上的角度，从切点在直线上的角度

解得切点坐标为\(P(1，e)\)，\(m=e\)，即二者相切时的斜率为\(e\)，

故由图可知，两个函数图像没有交点时，\(0\leq m < e\)。

思路二：方程\(m=\cfrac{e^x}{x}\)无实根，由完全分离参数法，即函数\(y=m\)和函数\(y=\cfrac{e^x}{x}\)的图像没有交点。

令\(g(x)=\cfrac{e^x}{x}\)，下面用导数研究其单调性，定义域为\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，

\(g'(x)=\cfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\cfrac{e^x(x-1)}{x^2}\)，

则\(x\in (-\infty，0)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，且\(g(1)=\cfrac{e^1}{1}=e\)，

在同一个坐标系中做出函数\(y=m\)和函数\(g(x)=\frac{e^x}{x}\)做函数\(g(x)=\frac{e^x}{x}\)的图像时，务必要注意函数值的正负，一般来说当函数中包含有\(e^x\)，\(\ln x\)时，做函数的图像就必须特别注意函数值的正负。\(\quad\)的图像，

由图像可知，两个函数图像没有交点时，\(0 \leq m < e\)

故\(e^x-mx\neq 0\)时，得到\(0\leq m<e\)，此时\(p\)为假，

综上，\(p\)为假且\(q\)为真时，

必有\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq m\leq 2}\\{ 0\leq m<e}\end{array}\right.\)

故\(0\leq m\leq 2\)，即实数\(m\)的取值范围为\([0，2]\)。End.

已知函数\(f(x)\)的定义域为\((a，b)\)，若\(“\exists x_0\in (a，b),f(x_0)+f(-x_0)\neq 0”\)是假命题，则\(f(a+b)\)=______________。

分析：由题可知，\(“\forall x_0\in (a，b),f(x_0)+f(-x_0)= 0”\)是真命题，即\(f(-x)=-f(x)\)，

即函数\(f(x)\)是奇函数，则\(a+b=0\)，即\(f(a+b)=f(0)=0\)；

对应练习

【2021高三文科逻辑用语课时作业】给出下列结论:

①若命题\(p:\exists x_{0}\in R\)，\(\tan x_{0}=1\)；命题\(q:\forall x \in R\)，\(x^{2}-x+1>0\)；则命题“\(p \wedge(\neg q)”\)是假命题；

②已知直线\(l_{1}:ax+3y-1=0\)，\(l_{2}:x+by+1=0\)，则\(l_{1}\perp l_{2}\)的充要条件是\(\cfrac{a}{b}=-3\)；

③命题“若\(x^{2}-3x+2=0\)，则 \(x=1\)”的逆否命题是“若\(x\neq 1\)，则\(x^{2}-3x+2\neq 0\)”；

其中正确结论的序号为___________.

解析: ①中命题\(p\)为真命题，命题\(q\)为真命题，所以\(p\wedge(\neg q)\)为假命题， 故①正确；

②中当\(b=a=0\)时，有\(l_{1}\perp l_{2}\)，故②不正确；

③显然正确；所以正确结论的序号为①③；

说明：其实②中，\(l_{1}\perp l_{2}\)的充要条件是\(a+3b=0\)；

已知命题\(p：\exists x_0\in R\)，\((m+1)(x_0^2+1)\leq 0\)；命题\(q：\forall x\in R\)，\(x^2+mx+1>0\)恒成立，若\(p\land q\)为假命题，则实数\(m\)的取值范围是_________.

分析：若\(p\)为真，则\(m\leq -1\)，若\(q\)为真，则\(-2<m<2\)，则\(p\land q\)为真时，\(-2<m\leq -1\)，

故\(p\land q\)为假命题，则取上述结果的补集得到，\((-\infty，-2]\cup(-1，+\infty)\)。

设\(p: f(x)=e^{x}+\ln x+2x^{2}+mx+1\)在\((0,+\infty)\)内单调递增，\(q:m\geqslant -5\)，则\(p\)是\(q\)的【\(\quad\)】

$A.$必要不充分条件

$B.$充分不必要条件

$C.$充分必要条件

$D.$既不充分也不必要条件

解析：对于命题\(p: f(x)=e^{x}+\ln x+2x^{2}+m x+1\) 在\((0,+\infty)\)内单调递增，

则\(f^{\prime}(x)=e^{x}+\cfrac{1}{x}+4x+m\geqslant 0\)在\((0,+\infty)\)内恒成立，

分离参数，得到\(m\geqslant -e^{x}-\cfrac{1}{x}-4x\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，

令\(g(x)=-e^{x}-\cfrac{1}{x}-4x=-(e^{x}+4x+\cfrac{1}{x})\)，

由于\(x>0\)，则\(e^{x}>1\)，又\(4x+\cfrac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{4x\cdot\cfrac{1}{x}}=4\)，

则\(e^{x}+4 x+\cfrac{1}{x}>5\)，说明此处，两个同向不等式相加，由于其中一个不能取到等号，故结果不能取到等号\(\quad\)，则\(g(x)<-5\)，

设\(g(x)\)的最大值为\(N\)[比如取为\(-5.5\)]，则必有\(N<-5\)，

则化简命题\(p\)后得到参数的取值范围是\(m\geqslant N[-5.5]\)，所以\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，故选\(A\).

教学研究

命题\(p:\)若\(a^2<b^2\)，则\(a<b\)；写出命题\(p\)的非命题；

思考1：我们知道，由于\(a^2<b^2\)，只能得到\(|a|<|b|\)，不能得到\(a<b\)，故命题\(p\)为假命题，

那么其否定命题\(\neg p\)应该为真命题；按照命题的否定的写法，

\(\neg p\)应该为：若\(a^2<b^2\)，则\(a\geqslant b\)，但是我们知道这个也是假命题；

比如由\(2^2<4^2\)，不能得到\(2\geqslant 4\)；说明这样的作法有问题；

思考2：若这样来思考，之所以我们认为命题\(p\)为假命题，是因为我们认为，对任意的\(a^2<b^2\)，都能得到\(a<b\)，

这是错误的，比如\(2^2<(-3)^2\)，但是不能得到\(2<-3\)，故为假命题；

这样我们按照全称命题的否定形式得到，\(\neg p:\) 存在实数\(a\)，\(b\)，虽然\(a^2<b^2\)，但是\(a\geqslant b\)成立；真命题；

开语句：无法判断其真假含有变元的语句，如\(x+2>0\)，开语句不是命题；

但实际教学中我们碰到的绝大多数为假言命题，如“若\(p(x)\)，则\(q(x)\)”，其并不是开语句，而是全称命题，只不过用语言表达时省略了全称量词，

如：若\(x>3\)，则\(x>5\)；即“任意大于\(3\)的实数都大于\(5\)”，而全称命题的否定是存在命题；

故其否定不是：若\(x>3\)，则\(x\leqslant 5\)；而是：存在实数\(x\)，使得\(x>3\)且\(x\leqslant 5\)；这显然是真命题。

【2020届宝鸡质检3文理科第3题】命题“偶函数的图像关于\(y\)轴对称”的否定是【】

$A.$所有偶函数的图像都不关于$y$轴对称

$B.$不是偶函数的图像都关于$y$轴对称

$C.$存在一个偶函数的图像不关于$y$轴对称

$D.$存在一个偶函数的图像关于$y$轴对称

分析：原命题的内涵是所有偶函数的图像关于\(y\)轴对称，是全称命题，故其否定是特称命题，

则其否定是“存在一个偶函数的图像不关于\(y\)轴对称”，即选项\(C\)正确；

解后反思：①对易错选项\(A\)的思考，

有些学生认为，原命题可以改写为“如果一个函数是偶函数，则其图像关于\(y\)轴对称”，

那么其否定应该是“如果一个函数是偶函数，则其图像不关于\(y\)轴对称”，

即所有偶函数的图像都不关于\(y\)轴对称，则选项\(A\)正确，这个理解是错误的，

以\(n\)个偶函数为例，每一个函数关于\(y\)轴的对称情况，自然分为两种情形：对称和不对称，

那么所有的情形应该有\(2^n\)种，则都关于\(y\)轴对称，只是其中的一种情形，

都不关于\(y\)轴对称的情形，也只是其中的一种情形，

那么要否定都关于\(y\)轴对称，其否定应该包含\(2^n-1\)种，

即应该用不都关于\(y\)轴对称来否定，而不是用都不关于\(y\)轴对称来否定，

这样选项\(A\)是错误的；

我们也可以用“两个数都是偶数”的否定来理解，其反面包含一奇一偶，一偶一奇，两个奇数共三种情形\(2^2-1\)，

都不是偶数只包含两个奇数这一种情形，不都是偶数包含有一奇一偶，一偶一奇，两个奇数三种情形；

②偶函数的图像都关于\(y\)轴对称，真命题；关于\(y\)轴对称的都是偶函数，假命题；

由于有些图形虽然关于\(y\)轴对称，但是其可能不是函数，比如\(x^2+y^2=1\)，只能称作曲线，不能称作函数；

若改写为关于\(y\)轴对称的函数都是偶函数，这时就是真命题；