线性回归和独立性检验难点解析

公式定理💯随心记

【向量垂直条件】文字语言：两个非零向量互相垂直的充要条件。符号语言：$\vec {a}\perp\vec {b}\;\Leftrightarrow\;\vec {a}\cdot\vec {b}=0\;\Leftrightarrow\;x_1x_2+y_1y_2=0$

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推导难点

线性回归方程的推导难点：

给定一组数据 $(x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_n，y_n)$，则该组数据的样本中心为 $(\bar{x}，\bar{y})$，其中 $\bar{x}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{x_i}$，$\bar{y}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{y_i}$

可知，线性回归直线方程为 [具体计算公式，题目中往往直接给定]： $$\widehat {y}=\widehat {b} x+\widehat {a}$$

其中回归系数 $\hat{b}$ 的部分推导过程如下：

$$\hat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}$$

回归系数 $\hat{a}$ 的计算公式：

$$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\cdot\bar{x}$$

• 上述公式中的部分难点变形说明如下：

$$\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}&=\sum\limits_{i=1}^n{(x_iy_i-x_i\bar{y}-\bar{x}y_i+\bar{x}\bar{y})}\\&=\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-\bar{y}\sum\limits_{i=1}^n{x_i}-\bar{x}\sum\limits_{i=1}^n{y_i}+\bar{x}\bar{y}\sum\limits_{i=1}^n{1}\\&=\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}-n\bar{x}\bar{y}+n\bar{x}\bar{y}\\&=\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}\end{align*}$$

仿照这个推导思路，你能推导 $\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\bar{x}^2}$ 吗？

提示：从 2016 和 2022 高考试题解答来看，以下公式是需要记忆的：

$\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}$$=$$\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}$， $\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\bar{x}^2}$，

计算难点

【案例】某题目给定 $\sum\limits_{i=1}^8{x_i}=480$，$\sum\limits_{i=1}^8{y_i}=480$，$\sum\limits_{i=1}^8{x_1y_i}=22500$，$\sum\limits_{i=1}^8{x_i^2}=30400$，

可以计算 $\bar{x}=60$，$\bar{y}=45$，代入 $\hat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}$ 来计算

计算细节：$\hat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^8{x_iy_i-8\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^8{x_i^2-8\cdot\bar{x}^2}}$

$=\cfrac{22500-8\times60\times 45}{30400-8\times 60\times60}=\cfrac{225-8\times6\times 4.5}{304-8\times 6\times6}$

$=\cfrac{225-36\times6}{304-8\times 6\times6}=\cfrac{225-216}{304-288}=\cfrac{9}{16}$

表格解读

• 独立性检验中的表格的解读：

$P$($\chi^2$$\geq$$k_0$)	$0.500$	$0.400$	$0.250$	$0.150$	$0.100$	$0.050$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$\;\;k_0\;\;$	$0.455$	$0.708$	$1.323$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.084$	$6.635$	$7.897$	$10.828$

• 独立性检验的数学原理：

$H_0：$ 先假设两个变量 $A$，$B$ 是无相关关系的，$\chi^2$ 的观测值 $k_0$ 越大，则与之对应的假设事件 $H_0$ 成立的概率越小，那么 $H_0$ 不成立的概率越大，即两个变量相关的概率越大。

• 使用实例：比如计算得到 $\chi^2=8$，则有 $8>7.897$，而 $7.897$ 对应概率值为 $0.005$，故有 $1-0.005=99.5\%$ 以上的把握认为 “两个变量有关”，但还是有低于 $0.5\%$ 的判断出错可能性，并不是百分之百。

案例分析

涉及线性回归计算中的几点技巧 [实验验证] 数学实验验证

【案例】某公司第二、第三季度的用电量与月份线性相关，数据统计如下：

月份 $x$	4	5	6	7	8	9
用电量 $y$	6	16	27	55	46	56

[备注说明] 此题目在计算之前，需要先剔除其中的无效数据 $(7，55)$；

依照以下的几个层次的问题，逐步理解：

①能不能直接利用数据进行计算？

②能不能对数据先做预处理，即每一组数据都减去 $(6，27)$？

③能不能对数据先做预处理，即每一组数据都减去 $(6，16)$？

④能不能对数据先做预处理，即每一组数据都减去 $(\overline{x}，\overline{y})$？

典例剖析

【对统计大数据的预处理】【2019 高三理科数学第二次月考第 18 题】

某地随着经济发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款 (年底余额)，如下表 1：

年份 $x$	2011	2012	2013	2014	2015
储蓄存款 $y$(千亿元)	5	6	7	8	10

为便于计算，将上表做以处理，令 $t=x-2010$，$z=y-5$，得到下表 2：

时间代号 $t$	1	2	3	4	5
$z$	0	1	2	3	5

附可能用到的公式：线性回归直线为 $\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$，

$\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\cdot\bar{x}^2}}$，

$\widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b}\cdot\bar{x}$.

(1) 求 $z$ 关于 $t$ 的线性回归方程。

分析：需要先注意 $z\rightarrow y\;\;$，$t\rightarrow x\;\;$，然后将所给的公式翻译为关于 $z$ 和 $t$ 的公式，这涉及到数学素养，公式的正向迁移。

由表格可知，$\bar{t}=3$，$\bar{z}=2.2$， $\sum\limits_{i=1}^5{t_iz_i}=45$， $\sum\limits_{i=1}^5{t_i^2}=55$，

故 $\widehat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{t_iz_i-n\cdot\bar{t}\cdot\bar{z}}}{\sum\limits_{i=1}^n{t_i^2-n\cdot\bar{t}^2}}$，

$=\cfrac{45-5\times 3\times 2.2}{55-5\times 9}=1.2$，

$\widehat{a}=\bar{z}-\widehat{b}\cdot\bar{t}=2.2-3\times 1.2=-1.4$。

故 $\hat{z}=1.2t-1.4$。

(2) 通过 (1) 中的方程，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程。

分析：将 $t=x-2010$，$z=y-5$ 代入 $\hat{z}=1.2t-1.4$，

得到 $y-5=1.2\times (x-2010)-1.4$，

即 $\hat{y}=1.2x-2408.4$。

(3) 用所求的线性回归方程预测，到 $2020$ 年底，该地的储蓄存款余额可达到多少？

分析：当 $x=2020$ 时，代入 $\hat{y}=1.2x-2408.4$，

得到 $\hat {y}=1.2\times 2020-2408.4=15.6 (千亿元)$。

【2017-18 高三理科高考冲刺模拟试题 9 第 15 题】已知由样本数据点集合 $\{(x_i，y_i)\mid i=1，2，\cdots，n\}$ 求得的回归直线方程为 $\hat{y}=1.5x+0.5$，且 $\bar{x}=3$，现发现两个数据点 $(1.1，2.1)$ 和 $(4.9，7.9)$ 误差较大，去除后重新求得的回归直线 $l$ 的斜率为 $1.2$，那么，当 $x=2$ 时，$y$ 的估计值是______。

分析：由于样本中心点 $(\bar{x}，\bar{y})$ 必在回归直线上，先代入计算得到 $\bar{y}=5$，

即原数据的样本中心点为 $(3，5)$，故 $\sum\limits_{i=1}^{n}x_i=3n$，$\sum\limits_{i=1}^{n}y_i=5n$，

由于 $1.1+4.9=6$，$2.1+7.9=10$，去除两个样本点后，

新的样本中心点的坐标 $\bar{x}=\cfrac{3n-6}{n-2}=3$，$\bar{y}=\cfrac{5n-10}{n-2}=5$，

故新的样本中心点 $(3，5)$ 必在回归直线 $\hat{y}=1.2x+b$ 上，

则有 $5=1.2\times 3+b$，则 $b=1.4$，

即重新求得的回归直线 $l$ 为 $\hat{y}=1.2x+1.4$；

当 $x=2$ 时，代入计算得到 $\hat{y}=1.2\times 2+1.4=3.8$。

法 2：特殊化策略，将样本数据点的个数认定为 $5$ 个，其他的计算仿上完成。