程序框图习题

两种循环结构

• 当型循环：先判断后循环，条件满足时执行循环；

• 直到型循环：先循环后判断，条件满足时终止循环；

常用变量

• 1、计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如\(i=i+1\)，往往初值\(i=0\)，如果是奇数或者偶数的递增，则使用\(i=i+2\)；

• 2、累加变量：用来计算数据之和，如\(S=S+i\)，往往初值\(S=0\)

• 3、累积变量：用来计算数据之积，如\(p=p\times i\)，往往初值\(p=1\)

• 4、注意程序框图知识和数列中的求和如裂项法的结合，和统计、概率(古典概型和几何概型)、分段函数、 不等式、函数定义域、值域、最值问题的结合，和逻辑推理等的结合。

典例剖析

如右图所示，若该程序框图输出的结果是\(8\)，则判断框内\(m\)的取值范围是多少？\((42，56]\)。

分析：

\(R_1\)：\(0 < m?\)，是，\(S=0+2\)，\(k=2\)

\(R_2\)：\(2<m?\)，是，\(S=2+4\)，\(k=3\)

\(R_3\)：\(6<m?\)，是，\(S=2+4+6\)，\(k=4\)

\(R_4\)：\(12<m?\)，是，\(S=2+\cdots+8\)，\(k=5\)

\(R_5\)：\(20<m?\)，是，\(S=2+\cdots+10\)，\(k=6\)

\(R_6\)：\(30<m?\)，是，\(S=2+\cdots+12\)，\(k=7\)

\(R_7\)：\(42<m?\)，是，\(S=2+\cdots+14\)，\(k=8\)

\(R_8\)：\(56<m?\)，否，输出\(k=8\)。

如图所示的程序框图中，若\(f(x)＝x^2－x＋1，g(x)＝x＋4\)，且\(m\leq h(x)\)恒成立，则\(m\)的最大值是(　　)

$A.4$ $B.3$ $C.1$ $D.0$

分析：由题目和程序框图可知，\(f(x) = \begin{cases}f(x)，f(x)\ge g(x)\\ g(x)，f(x)< g(x) \end{cases}\)

\(=\begin{cases}x^2-x+1 &-1\leq x \leq 3\\ x+4 &x<-1,x>3 \end{cases}\)，求函数\(h(x)_{min}=3\)，故选\(B\).

已知函数\(f(x)＝x^2－ax\)的图像在点\(A(1，f(1))\)处的切线与直线\(x＋3y＋2＝0\)垂直，执行如图所示的程序框图，则输出的\(k\)值是________．

考点：算法框图，函数在点处的切线，裂项相消法，算法和函数、数列的交汇

分析：本题目的考点比较多，需要先计算出\(a=-1\)，从而\(f(x)=x^2+x=x(x+1)\)，
所以程序框图中的\(S=S+\cfrac{1}{f(x)}\)，而\(\cfrac{1}{f(x)}=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{x+1}\).

同时还考察了真分数的性质\(\cfrac{a}{b}<\cfrac{a+1}{b+1}(a<b)\).

解答如下：

\(R_1\)：\(0>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=1\)，\(S=0+1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)；

\(R_2\)：\(\cfrac{1}{2}>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=2\)，\(S=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}\)；

\(R_3\)：\(\cfrac{2}{3}>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=3\)，\(S=\cfrac{3}{4}\)；

\(R_4\)：\(\cfrac{3}{4}>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=4\)，\(S=\cfrac{4}{5}\)；

\(R_5\)：\(\cfrac{4}{5}>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=5\)，\(S=\cfrac{5}{6}\)；

\(R_6\)：\(\cfrac{5}{6}>\cfrac{5}{6}\)，否，\(k=6\)，\(S=\cfrac{6}{7}\)；

\(R_7\)：\(\cfrac{6}{7}>\cfrac{5}{6}\)，是，输出\(k=6\)。

已知 \(MOD\) 函数是一个求余函数，其格式为 \(MOD(n，m)\)，其结果为 \(n\) 除以 \(m\) 的余数，例如 \(MOD(8，3)＝2\) .下面是一个算法的程序框图，当输入的值为 \(36\) 时，则输出的结果为【\(\quad\)】

$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.7$

分析：

执行程序框图(图略)，得到分段函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^3，&x\leq 1\\3x-3，&1< x\leq 3\\\frac{1}{x}， &x>3\end{array}\right.\)，若要使输入的\(x\)值与输出的\(y\)值相等，则这样的\(x\)值的个数【\(\quad\)】个。

分析：本题就是求解分段函数方程\(f(x)=x\)，转化为以下三个条件组求解即可。

将分段函数方程\(f(x)=x\)等价转化为以下三个混合组(含有等式和不等式的组)

\(\begin{cases} &x\leq 1 \\ &x^3=x\end{cases}\)或\(\begin{cases} &1<x\leq 3 \\ &3x-3=x\end{cases}\)或\(\begin{cases} &x>3 \\ &\cfrac{1}{x}=x\end{cases}\)

解得\(x=0或x=\pm 1或x=\cfrac{3}{2}\)，故这样的\(x\)值有 \(4\) 个。

执行右边的程序框图，如果输入的\(a=-1\)，则输出的\(S\)=【 】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：由于\(a=-1\)，则

\(R_1\)：\(1\leq 6\)，是，\(S=-1\)，\(a=1\)，\(k=2\)

\(R_2\)：\(2\leq 6\)，是，\(S=1\)，\(a=-1\)，\(k=3\)

\(R_3\)：\(3\leq 6\)，是，\(S=-2\)，\(a=1\)，\(k=4\)

\(R_4\)：\(4\leq 6\)，是，\(S=2\)，\(a=-1\)，\(k=5\)

\(R_5\)：\(5\leq 6\)，是，\(S=-3\)，\(a=1\)，\(k=6\)

\(R_6\)：\(6\leq 6\)，是，\(S=3\)，\(a=-1\)，\(k=7\)

\(R_7\)：\(7\leq 6\)，否，输出\(S=3\)。

如图所示的程序框图是为了求出满足\(3^n-2^n>1000\)的最小偶数\(n\)，那么在\(\Diamond\)和\(\Box\)两个空白框中，可以分别填入

$A.$$A>1000$和$n=n+1$

$B.$$A>1000$和$n=n+2$

$C.$$A\leqslant 1000$和$n=n+1$

$D.$$A\leqslant 1000$和$n=n+2$

分析：有题目可知\(A=3^n-2^n\)，一开始肯定是要循环的，故需要填写的判断条件应该是\(A>1000\)的反面，也就是\(A\leq 1000\)，又因为判断的只是偶数，故计数条件是\(n=n+2\)，结合这些选D。

根据下面的程序框图，当输入的\(x=2016\)时，输出的\(y=\)【\(\quad\)】

$A.28$ $B.10$ $C.4$ $D.2$

分析：本题目选B。具体解答过程看下面的程序演示：

感悟反思：1、这是我第一次用javascript实现的程序框图题目。给自己点个赞；

【2017宝鸡市二检文科第9题】(程序框图+解对数不等式组)执行如图所示的程序框图，若输出\(i\)的值是5，则输入的\(t\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$

分析：第一次循环，当\(i=1\)时，不能退出循环，由于是将\(log_3t\)赋值给了\(t\)，故下一步判断应为\(log_3t\ge 0\)，而不是\(t\ge 0\)，此时\(i=3\)

第二次循环，当\(i=3\)时，也不能退出循环，同上，应有\(log_3(log_3t)\ge 0\)，此时\(i=5\)

第三次循环，当\(i=5\)时，应该退出循环，同上，应有\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，此时输出\(i=5\)

故要求得\(t\)的范围，必须满足如下的不等式组，

\(\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}\)

求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；

求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；

求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3 < t <27③\)；

求交集得到\(3 < t < 27\)，故选B。

解后反思：

1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制，

比如求解不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，

从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零，

即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0\\log_3(log_3t)>0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0=log_31\\log_3(log_3t)>log_31\end{cases}\)，

即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\log_3t>1\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\t>3\end{cases}\)

故从定义域的角度得到\(t>3\)

从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置，

即先变形为\(log_3[log_3(log_3t)]< log_31\)，则由单调性得到\(log_3(log_3t)]<1\)，

即\(log_3(log_3t)]<1=log_33\)，

即\(log_3t<3=log_327\)，即从单调性角度得到，\(t<27\)

综上，不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)的解集为\(3 < t < 27\)。

• 2018宝鸡市三检理科数学第15题，程序框图和古典概型的结合