离散型随机变量及其分布列习题

前言

题目难度都比较大

典例剖析

【2015高考安徽卷】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束。

（1）. 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率。

解法1：利用排列数公式和古典概型求解； \(P=\cfrac{A_2^1A_3^1}{A_5^2}=\cfrac{3}{10}\)

解法2：利用相互独立事件求解；

第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为\(P=\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}=\cfrac{3}{10}\)

（2）. 已知每检测一件产品需要费用100元，设\(X\)表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费（单位：元），求\(X\)的分布列和数学期望。

解：先设检测过的产品数为\(x\)，则由题目可知\(x=2，3，4\)

其中\(x=2\)时对应“次次”一种；

其中\(x=3\)时对应“正次次、次正次、正正正”三种；

其中\(x=4\)时对应“正次正次、正正次次、次正正次、次正正正、正正次正、正次正正”六种；

故\(X\)的所有可能取值为\(200，300，400\)，(注意：由于是无放回的，故有顺序，故用排列而不是组合)

\(P(X=200)=\cfrac{A_2^2}{A_5^2}=\cfrac{1}{10}\)，

\(P(X=300)=\cfrac{A_3^3+C_2^1\cdot C_3^1\cdot C_1^1+C_3^1\cdot A_2^2}{A_5^3}=\cfrac{3}{10}\)，

\(P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=\cfrac{6}{10}\)，^[1]

故 \(X\) 的分布列为

\(X\)	\(200\)	\(300\)	\(400\)
\(P\)	\(\cfrac{1}{10}\)	\(\cfrac{3}{10}\)	\(\cfrac{6}{10}\)

\(E(X)=200\times \cfrac{1}{10}+300\times \cfrac{3}{10}+400\times \cfrac{6}{10}=350\)

【2016山东高考节选】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜想一个成语。在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都猜错，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率为\(\cfrac{3}{4}\)，乙每轮猜对的概率为\(\cfrac{2}{3}\)，每轮活动中甲乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，假设“星队”参加两轮活动，求：

⑴. “星队”至少猜对 \(3\) 个成语的概率；

解析：先定义事件，记“星队”至少猜对3个成语 为事件\(E\)，

“甲第一轮猜对”为事件\(A\)，“乙第一轮猜对”为事件\(B\)，

“甲第二轮猜对”为事件\(C\)，“乙第二轮猜对”为事件\(D\)，

且\(P(A)=P(C)=\cfrac{3}{4}\)，\(P(B)=P(D)=\cfrac{2}{3}\)，

则\(E=ABCD+\bar{A}BCD+A\bar{B}CD+AB\bar{C}D+ABC\bar{D}\)，事件\(A、B、C、D\)相互独立，

事件\(ABCD、\bar{A}BCD、A\bar{B}CD、AB\bar{C}D、ABC\bar{D}\)互斥，故有

\(P(E)\)\(=\)\(P(ABCD+\bar{A}BCD+A\bar{B}CD+AB\bar{C}D+ABC\bar{D})\)

\(=\)\(P(ABCD)+P(\bar{A}BCD)+P(A\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}D)+P(ABC\bar{D})\)，

\(=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(=\)\(\cfrac{2}{3}\).

【反思】:能不能利用二项分布来求解？为什么？

分析：设甲猜对的成语个数为\(X\)，则\(X\sim B\left(2，\cfrac{3}{4}\right)\)，乙猜对成语的个数为\(Y\)，

则\(Y\sim B\left(2，\cfrac{2}{3}\right)\)，“星队至少猜对3个成语”为事件\(E\)，则

\(P(E)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)\)

\(=P(\bar{A}BCD)+P(A\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}D)+P(ABC\bar{D})+P(ABCD)\)

⑵. “星队”两轮得分之和\(X\)的分布列。

解析：由于“星队”每轮得分分别为0分、1分、3分，

则“星队”两轮得分之和 \(X\) 可能取值为0、1、2、3、4、6，

\(P(X=0)\)\(=\)\(P(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D})\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(=\)\(\cfrac{1}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{1}{144}\)

\(P(X=1)\)\(=\)\(P(A\bar{B}\bar{C}\bar{D})\)\(+\)\(P(\bar{A}B\bar{C}\bar{D})\)\(+\)\(P(\bar{A}\bar{B}C\bar{D})\)\(+\)\(P(\bar{A}\bar{B}\bar{C}D)\)

\(=\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)

\(=\)\(\cfrac{10}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{5}{72}\)

\(P(X=2)\)\(=\)\(P(A\bar{B}C\bar{D})+P(A\bar{B}\bar{C}D)+P(\bar{A}B\bar{C}D)+P(\bar{A}BC\bar{D})\)

\(=\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)

\(=\)\(\cfrac{25}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{25}{144}\)

\(P(X=3)\)\(=\)\(P(\bar{A}\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}\bar{D})\)

\(=\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}\)

\(=\)\(\cfrac{12}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{1}{12}\)

\(P(X=4)\)\(=\)\(P(\bar{A}BCD)+P(A\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}D)+P(ABC\bar{D})\)

\(=\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)

\(=\)\(\cfrac{60}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{5}{12}\)

\(P(X=6)\)\(=\)\(P(ABCD)\)\(=\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)

\(=\)\(\cfrac{36}{16\times 9}\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\)

所以，随机变量 \(X\) 的分布列为

\(X\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(6\)
\(P\)	\(\cfrac{1}{144}\)	\(\cfrac{5}{72}\)	\(\cfrac{25}{144}\)	\(\cfrac{1}{12}\)	\(\cfrac{5}{12}\)	\(\cfrac{1}{4}\)

【例2改编】甲、乙两人参加定点投球大赛活动，每轮活动由甲、乙各投球两次。在每轮活动中，如果投不中得\(0\)分，投中得\(1\)分。已知甲每次投中的概率为\(\cfrac{3}{4}\)，乙每次投中的概率为\(\cfrac{2}{3}\)，求：

⑴. 甲至少投中\(1\)个球的概率；

解析：由题目可知，甲投球两次，每次投中的概率相等，

设甲投中球的次数为\(X\)，则\(X\sim B\left(2，\cfrac{3}{4}\right)\)

故甲至少投中 \(1\) 个球的概率 \(P=P(X\ge 1)=C_2^1\times(\cfrac{3}{4})^1\times(\cfrac{1}{4})^1+C_2^2\times(\cfrac{3}{4})^2\times(\cfrac{1}{4})^0=\cfrac{15}{16}\).

⑵. 甲乙两人每轮投球得分之和\(Z\)的分布列。

解析： 再设乙投中球的次数为\(Y\)，则\(Y\sim B\left(2，\cfrac{2}{3}\right)\)，则\(Z\)可能的取值为\(0、1、2、3、4\)，

\(P(Z=0)=P(X=0)\times P(Y=0)\)

\(P(Z=1)=P(X=0)\times P(Y=1)+P(X=1)\times P(Y=0)\)

\(P(Z=2)=P(X=0)\times P(Y=2)+P(X=1)\times P(Y=1)+P(X=2)\times P(Y=0)\)

\(P(Z=3)=P(X=1)\times P(Y=2)+P(X=2)\times P(Y=1)\)

\(P(Z=4)=P(X=2)\times P(Y=2)\)

反思1: 【分析】：“甲第一次投中”为事件\(A\)，“乙第一次投中”为事件\(B\)，“甲第二次投中”为事件\(C\)，“乙第二次投中”为事件\(D\)，

且\(P(A)=P(C)=\cfrac{3}{4}\)，\(P(B)=P(D)=\cfrac{2}{3}\)，

\(P(Z=2)=P(X=0)\times P(Y=2)+P(X=1)\times P(Y=1)+P(X=2)\times P(Y=0)\)

\(=P(\bar{A}B\bar{C}D)+P(\bar{A}\bar{B}CD+\bar{A}BC\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}D+AB\bar{C}\bar{D})+P(A\bar{B}C\bar{D})\)

反思2:本问，为什么不能用二项分布来求解？

依上，设甲猜对的成语个数为\(\mu\)，则\(\mu\sim B\left(2，\cfrac{3}{4}\right)\)，

乙猜对成语的个数为\(\eta\)，则\(\eta\sim B\left(2，\cfrac{2}{3}\right)\)，则

\(P(X=2)\)\(=\)\(P(\mu=1)P(\eta=1)\)\(=\)\(P(\bar{A}C+A\bar{C})P(\bar{B}D+B\bar{D})\)

\(=\)\(P(AB\bar{C}\bar{D}+\bar{A}BC\bar{D}\)\(+\)\(A\bar{B}\bar{C}D+\bar{A}\bar{B}CD)\)

而由上可知，

\(P(X=2)\)\(=\)\(P(A\bar{B}C\bar{D})\)\(+\)\(P(A\bar{B}\bar{C}D)\)\(+\)\(P(\bar{A}B\bar{C}D)\)\(+\)\(P(\bar{A}BC\bar{D})\)，

明显事件中有一样的，也有不一样的，主要是二项分布是单独刻画甲和乙的猜测结果，而例2中是把甲乙两个人绑成了“星队”这个整体。所以是不一样的。

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1. 详解：\(P(X=400)\)\(=\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{2}{5}\times \cfrac{3}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(+\)\(\cfrac{3}{5}\times \cfrac{2}{4}\times \cfrac{2}{3}\times \cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{6}{10}\) ↩︎