教给学生知识的本源
教给学生知识的本源
前言
曾经听过一位教授 一元二次方程根与系数关系 的讲座，深有感触，也算是多少理解了到底应该交给学生什么样的知识。
案例说明
[思路一]：在满足 \(\Delta>0\) 的前提下，由求根公式得到方程的两个根为$$x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
则方程的两个根求和，求积分别得到：
\[x_1+x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\cfrac{b}{a}
\]
\[x_1\cdot x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{c}{a}
\]
到此，一元二次方程根与系数的关系证明很完美的完成了；
但是如果要进一步问，一元三次方程的根与系数的关系，上述思路根本不能给出丝毫的提示和帮助。
紧接着，这位教授又给了另一个思路，他说：
[思路二]：一元二次方程如果有根，那么其必然满足关系
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
\]
对其整理得到，
\[ax^2+bx+c=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2
\]
上述表达式由于恒等，故对应系数相等，则得到
\[b=-a(x_1+x_2)，c=ax_1x_2
\]
稍作整理，即得到一元二次方程根与系数的关系如下：[1]
\[\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}}\\{x_1x_2=\cfrac{c}{a}}\end{array}\right.
\]
感悟引申
很明显，上述思路二具有更大的延展性，由此我们自己就可以推导出一元三次方程根与系数的关系，具体如下：
一元三次方程如果有根，则其必然满足
\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
\]
整理得到，
\[ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3
\]
由对应系数相等，则得到一元三次方程根与系数的关系：
\[\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2+x_3=-\cfrac{b}{a}}\\{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\cfrac{c}{a}}\\x_1x_2x_3=-\cfrac{d}{a}\end{array}\right.
\]
问题：由上述的推导思路，你能推导一元四次方程根与系数的关系吗？
这个思路也有一定的弊端，容易让人想到，任意给定一元二次方程，都可以写出根与系数的关系，从而淡化一元二次方程有实数根的前提： \(\Delta>0\) 。比如 \(x^2-x+1=0\) ，我们可以写出 \(\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2=1}\\{x_1x_2=1}\end{array}\right.\)， 但是我们知道方程 \(x^2\)\(-x\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\) 在实数范围内是无解的。故所写的根与系数关系是错误的。 ↩︎
