函数图像变换中的规律总结 | 图象系列

公式定理💯随心记

【双曲线的标准方程】文字语言：平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹。符号语言：标准方程 $\cfrac {x^2}{a^2}-\cfrac {y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$，其中 $c^2=a^2+b^2$；渐近线 $y=\pm\cfrac {b}{a} x$；离心率 $e=\cfrac {c}{a}>1$

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前言

• 在高中的教学中，经常会用到函数图像。而作函数图像的角度有三个：描点法 ^[1]；变换法；同解变形法利用方程的同解变形法，如 $y$$=$$\sqrt{1-x^2}$，主要涉及隐函数的图像的做法。$\quad$；其中使用最多的是变换法作图的方法和思路。函数图像的变化是一个很重要的内容。学生普遍感觉难，其实掌握了变换的实质 [坐标的替换]，都可以轻松搞定，而且能用函数的变换延申到非函数比如曲线的变换。

变换原理

• 其实质就是坐标的替换，用下面的例子体会一下：

已知圆 $C:x^2+y^2=4$ 经过 $\phi:\begin{cases}x'=3x\\y'=2y\end{cases}$ 变换后所得的曲线 $C'$ 是什么？

分析：由 $\phi:\begin{cases}x'=3x\\y'=2y\end{cases}$ 得到 $\phi':\begin{cases}x=\cfrac{x'}{3}\\y=\cfrac{y'}{2}\end{cases}$，

代入圆 $C:x^2+y^2=4$ 得到 $(\cfrac{x'}{3})^2+(\cfrac{y'}{2})^2=4$，即 $\cfrac{x'^2}{9}+\cfrac{y'^2}{4}=4$，

即变换后所得的曲线 $C'$ 是 $\cfrac{x^2}{36}+\cfrac{y^2}{16}=1$。

解后反思：此变换实际上就是伸缩变换。

已知函数 $y=x^2$ 经过 $\phi:\begin{cases}x'=x+3\\y'=y\end{cases}$ 变换后所得的函数解析式是什么？

分析：由变换 $\phi:\begin{cases}x'=x+3\\y'=y\end{cases}$ 得到变换 $\phi':\begin{cases}x=x'-3\\y=y'\end{cases}$，

代入函数 $y=x^2$ 得到 $y'=(x'-3)^2$，即变换后的函数为 $y=(x-3)^2$。

解后反思：此变换实际上就是左右平移变换。

将函数 $y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{3})$ 图像上所有点的横坐标扩大 4 倍，将纵坐标扩大到原来的 2 倍，得到的函数解析式是什么？

分析：涉及的变换为 $\phi:\begin{cases}x'=4x\\y'=2y\end{cases}$，变形得到变换 $\phi':\begin{cases}x=\cfrac{x'}{4}\\y=\cfrac{y'}{2}\end{cases}$，

代入函数 $y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{3})$ 得到函数 $\cfrac{y'}{2}=2sin(3(\cfrac{x'}{4})+\cfrac{\pi}{3})$，

即函数 $y=4sin(\cfrac{3x}{4}+\cfrac{\pi}{3})$。

解后反思：此变换实际上就是周期变换和振幅变换的综合。

案例解析

最具有代表性的函数解析式模型 [$y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k$]

• 左右平移，其实质是用 $x+\phi\Rightarrow x$ [只替换单独的自变量 $x$，保留 $x$ 前面原有的系数]

口诀：左加右减 [由平移得解析式] 或加左减右 [由解析式确定平移方向]

【引例】如 $y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1$ 向右平移一个单位，得到 $y=2\sin[3(\color{Red}{x-1})+\cfrac{\pi}{4}]+1$

【引例】反之，由 $y=2\sin[3(\color{Red}{x-1})+\cfrac{\pi}{4}]+1$ 变换得到 $y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1$ ，

由于是用 $x+1$ 替换的 $x$，所以应该向左平移一个单位。

• 上下平移，其实质是用 $y+k\Rightarrow y$[只替换单独的因变量 $y$，保留 $y$ 前面原有的系数]

口诀：上减下加 [由平移得解析式] 或减上加下 [由解析式确定平移方向]

【引例】$y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1$ 向上平移一个单位，是用 $y-1\Rightarrow y$ ，

整理得到 $\color{Red}{y-1}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1$ ，即 $y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+2$

疑问，为什么关于 $y$ 的变换和关于 $x$ 的变换实质是一样的呢？

我们用图像作以解释，当把坐标系绕直线 $y=x$ 旋转 $180^{\circ}$，$y$ 轴就成了 $x$ 轴，即 $y$ 和 $x$ 轴一样，没有啥特殊之处，故变换的实质一样。

• 横向伸缩 [类似周期变换]，其实质是用 $\omega_1 x\Rightarrow x$[是用新的 $\omega_1 x$ 替换单独的自变量 $x$，原来的系数 $\omega$ 依然代入运算]

这样的变换推广后，也适用类周期函数

口诀：$0<\omega_1<1$ 时，伸长到原来的 $\cfrac{1}{\omega_1}$ 倍；$\omega_1>1$ 时，缩短到原来的 $\cfrac{1}{\omega_1}$ 倍。

【引例】如 $y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1$，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，即 $\omega_1=\cfrac{1}{2}$，

所以得到的解析式为 $y=2\sin[3(\color{Red}{\cfrac{1}{2}x})+\cfrac{\pi}{4}]+1$，课件演示

• 纵向伸缩 [类似振幅变换]，其实质是用 $\cfrac{y}{A_1}\Rightarrow y$ [单独的因变量 $y$]

口诀：$0<A_1<1$ 时，缩短到原来的 $A_1$ 倍；$A_1>1$ 时，伸长到原来的 $A_1$ 倍。

【引例】如 $y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1$，横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，$A_1=2$，

所以用 $\cfrac{y}{2}\rightarrow y$ 得到 $\color{Red}{\cfrac{y}{2}}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1$，整理得到 $y=4\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+2$

• 对称变换 [关于谁对称，谁不变]

关于 $y$ 轴对称，其实质是用 $-x\Rightarrow x$；

【引例】如 $y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})$ 关于 y 轴对称得到解析式 $y=2\sin[3(\color{Red}{-x})+\cfrac{\pi}{4}]$

关于 $x$ 轴对称，其实质是用 $-y\Rightarrow y$；

【引例】如 $\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$ 关于 x 轴对称得到解析式 即 $\color{Red}{-y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$

关于直线 $x=1$ 对称，其实质是用 $2-x\Rightarrow x$；

【引例】如 $y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})$ 关于直线 x=1 对称得到解析式 $y=2\sin[3(\color{Red}{2-x})+\cfrac{\pi}{4}]$

关于直线 $y=1$ 轴对称，其实质是用 $2-y\Rightarrow y$；

【引例】如如 $\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$ 关于直线 y=1 对称得到解析式 $\color{Red}{2-y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$

关于直线 $y=x$ 对称，$x\rightarrow y$， $y\Rightarrow x$；

【引例】如 $\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$ 关于直线 $y=x$ 对称得到解析式 $\color{Red}{x}=2\sin(3y+\cfrac{\pi}{4})$

关于原点 $(0，0)$ 对称，$-x\Rightarrow x；-y\Rightarrow y$；

【引例】如 $y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$ 关于原点 $(0，0)$ 对称得到解析式 $\color{Red}{-y}=2\sin[3(\color{Red}{-x})+\cfrac{\pi}{4}]$.

曲线对称

以 $(x-2)^2+(y+1)^2=1$ 为例子，可以利用数学软件 $Desmos$，自行验证，以加深理解。

关于 $y$ 轴对称，得到 $(-x-2)^2+(y+1)^2=1$ ；

关于 $x$ 轴对称，得到 $(x-2)^2+(-y+1)^2=1$ ；

关于直线 $x=1$ 对称，得到 $(2-x-2)^2+(y+1)^2=1$；

关于直线 $y=1$ 对称，得到 $(x-2)^2+(2-y+1)^2=1$；

关于直线 $y=x$ 对称，得到 $(y-2)^2+(x+1)^2=1$；

关于原点 $(0，0)$ 对称，得到 $(-x-2)^2+(-y+1)^2=1$；

典例剖析

给定命题，函数 $f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$ 和函数 $g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})$ 的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数 $f(x)$ 的图像和函数 $g(x)$ 的图像关于原点对称，则函数 $f(x)$ 上的任意一点 $(x_0，y_0)$ 关于原点的对称点 $(-x_0，-y_0)$，必然在函数 $g(x)$ 的图像上。

解答：先化简函数 $g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})$，

$g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})$，

$f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$

在函数 $f(x)$ 图像上任意取一点 $P(x_0，y_0)$，

则其关于原点的对称点为 $P'(-x_0，-y_0)$，

将点 $P(x_0，y_0)$ 代入函数 $f(x)$，得到 $y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})$

则 $-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})$，即 $-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})$，

即点 $P'(-x_0，-y_0)$ 在函数 $g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})$ 上，

也即点 $P'(-x_0，-y_0)$ 在函数 $g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})$ 上，

又由点 $P(x_0，y_0)$ 的任意性可知，

函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的图像必然关于原点对称，

故为真命题。辅助图像

【2019 高一期末考试题】要得到 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{6})$ 的图像，只需要将函数 $y=cos2x$ 的图像【】

$A. 向左平移 \cfrac {\pi}{12} 个单位$ $B. 向左平移 \cfrac {\pi}{6} 个单位$ $C. 向右平移 \cfrac {\pi}{12} 个单位$ $D. 向右平移 \cfrac {\pi}{6} 个单位$

分析：由于左右平移的实质是用 $x+\phi$ 替换 $x$，故将函数 $y=cos2x$ 替换后得到 $y=cos(2x+2\phi)$，

由于 $y=cos(2x+2\phi)$ 和 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{6})$ 完全相同，故 $2\phi=-\cfrac{\pi}{6}$，解得 $\phi=-\cfrac{\pi}{12}$，

即其实我们是用 $x-\cfrac{\pi}{12}$ 替换 $x$，故向右平移 $\cfrac{\pi}{12}$ 个单位，故选 $C$.

【2019 高三理科数学启动卷，2019 陕西省二检试卷第 8 题】要得到函数 $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})$，需要将函数 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})$ 的图像【】

$A. 向左平移 \cfrac {\pi}{12} 个单位$ $B. 向右平移 \cfrac {\pi}{12} 个单位$ $C. 向左平移 \cfrac {\pi}{4} 个单位$ $D. 向左平移 \cfrac {\pi}{4} 个单位$

分析：本题目要求将源函数 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})$，变换得到目标函数 $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})$，为此，我们需要先将二者的函数名称做统一；

法 1：源函数 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(\cfrac{\pi}{2}-2x+\cfrac{\pi}{3})=sin(-2x+\cfrac{5\pi}{6})$，这种变换要得到目标函数 $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})$，不仅仅是左右平移；故需要调整使用的公式；

源函数 $y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(\cfrac{\pi}{2}+2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})$，用替换法，由 $2(x+\phi)+\cfrac{\pi}{6}=2x+\cfrac{\pi}{3}$，得到 $\phi=\cfrac{\pi}{12}$，即使用 $x+\cfrac{\pi}{12}$ 替换单独的自变量 $x$ 后得到目标函数，故需要 $向左平移 \cfrac {\pi}{12}$，则选 $A$；

法 2：将目标函数 $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})$ 变换为余弦函数，略；

【2019 江西师大附中联考】若函数 $y=f(2x-1)$ 是偶函数，则函数 $y=f(2x+1)$ 的图像的对称轴是【】

$A.x=-1$ $B.x=0$ $C.x=\cfrac{1}{2}$ $D.x=-\cfrac{1}{2}$

分析：函数 $y=f(2x-1)$ 图像到函数 $y=f(2x+1)$ 的图像的变换只涉及左右平移变换，

而左右平移变换的本质即用 $x+\phi$ 替换单独的自变量 $x$ 整理得到的，

故用 $x+\phi$ 替换 $y=f(2x-1)$ 中的单独的自变量 $x$，整理得到 $f[2(x+\phi)-1]=f(2x+1)$，

由 $2(x+\phi)-1=2x+1$ 解得 $\phi=1$，即上述替换是用 $x+1$ 替换 $x$ 得到的，

故由左加右减的口诀得到，应该将函数 $y=f(2x-1)$ 向左平移 $1$ 个单位，得到函数 $y=f(2x+1)$，

而 $y=f(2x-1)$ 的对称轴是 $x=0$[$y$ 轴]，故函数 $y=f(2x+1)$ 的对称轴为 $x=-1$。故选 $A$。

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1. 描点法可以作所有函数的图象。作一次函数的图象，我们只用两点法，因为两点确定一条直线；而作二次函数的图象，我们常用五点法 (图象和 $x$ 轴的两个交点，与 $y$ 轴的交点以及该点关于对称轴的对称点，最高点或最低点共五个点)，或三点法 (有些二次函数与 $x$ 轴没有交点，故五点法变为三点法)，作三角函数图象时常用五点法或变换作图 (其中这个五点法仅仅适用正弦型或余弦型函数图象，而变换作图适用所有函数的图象)； ↩︎