求解同一高中数学题目 | 不同 AI 同台竞技

前情概要

通过同一道高中数学题目的求解来体验不同 AI 的深度思索能力。

复制题目的 AI 解答结果后乱码怎么办？

将解题结果复制到博客园中后，相关的显示还需要做转义或批量替换工作，其中工作量比较小的思路是，利用浏览器的Find & Replace插件，批量替换，显示效果能更好些。

具体操作：

\( 替换为 $; \) 替换为 $ ; \[ 替换为 $$; \] 替换为 $$; \frac 替换为 \cfrac;

• 又记，EDGE 有个插件叫 查找和替换，能一次完成上述的批量工作，更好用。

• 再记，20250402-20250414，给博客园反馈后，博客园已经实现了前端的显示兼容，当数学公式渲染引擎为 katex 时，能自动且正确显示。注意：这不是后台代码的替换，而是前端的显示。如果结合上述的插件 查找和替换[域名要更改为 i.cnblogs.com ]，此时能实现后台代码的自动替换。具体做法是将从 AI 复制的内容，原封不动的复制粘贴到博客园的你自己的某一篇博文中，然后 保存修改-->立即查看-->编辑，此时稍微等一会就自动实现了替换，但是此时需要在任意一个空白位置添加至少一个字符或者空格，然后保存，这时候就完全完成了替换，下次打开后后台的代码就是替换好的，真香。

具体例题

设 \(M\) 是椭圆 \(C:\cfrac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) 上的上顶点，点 \(P\) 在 \(C\) 上，则 \(|P M|\) 的最大值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{9\sqrt{5}}{5}$ $B.\sqrt{15}$ $C.\sqrt{13}$ $D.4$

例题对应的图片

豆包的💡解答

在豆包网页版中选择 解题答疑 ，然后上传上述对应的图片，得到的豆包的解答如下：

分析

首先设出点\(P\)坐标，利用两点间距离公式表示出\(\vert PM\vert\)，再结合椭圆方程将其转化为关于一个变量的函数，最后通过求函数最值来确定\(\vert PM\vert\)的最大值。

详解

1. 设点\(P\)坐标

已知椭圆\(C:\cfrac {x^{2}}{9}+\cfrac {y^{2}}{4}=1\)，设\(P(x,y)\)，因为点\(P\)在椭圆上，所以满足椭圆方程\(\cfrac {x^{2}}{9}+\cfrac {y^{2}}{4}=1\)，即\(x^{2}=9(1-\cfrac {y^{2}}{4})\)。椭圆上顶点\(M(0,2)\)。

2. 表示出\(\vert PM\vert\)

根据两点间距离公式，\(\vert PM\vert=\sqrt{(x - 0)^{2}+(y - 2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y - 2)^{2}}\)。

把\(x^{2}=9(1-\cfrac {y^{2}}{4})\)代入上式可得：

\(\vert PM\vert=\sqrt{9(1-\cfrac {y^{2}}{4})+(y - 2)^{2}}\)。

3. 化简并求最值

对\(\vert PM\vert=\sqrt{9(1-\cfrac {y^{2}}{4})+(y - 2)^{2}}\)进行化简：

\[\begin{align*} \vert PM\vert&=\sqrt{9-\cfrac{9y^{2}}{4}+y^{2}-4y + 4}\\ &=\sqrt{-\cfrac{5y^{2}}{4}-4y + 13}\\ \end{align*} \]

令\(f(y)=-\cfrac{5y^{2}}{4}-4y + 13\)，这是一个二次函数，对于二次函数\(ax^{2}+bx + c\)（这里\(a = -\cfrac{5}{4}\)，\(b = -4\)，\(c = 13\)），其对称轴为\(y = -\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-4}{2\times(-\cfrac{5}{4})}=-\cfrac{8}{5}\)。

因为\(a = -\cfrac{5}{4}<0\)，所以函数图象开口向下，在对称轴\(y = -\cfrac{8}{5}\)处取得最大值。

把\(y = -\cfrac{8}{5}\)代入\(f(y)\)可得：

\[\begin{align*} f(-\cfrac{8}{5})&=-\cfrac{5}{4}\times (-\cfrac{8}{5})^{2}-4\times (-\cfrac{8}{5}) + 13\\ &=-\cfrac{5}{4}\times\cfrac{64}{25}+\cfrac{32}{5}+13\\ &=-\cfrac{16}{5}+\cfrac{32}{5}+13\\ &=\cfrac{16}{5}+13\\ &=\cfrac{16 + 65}{5}\\ &=\cfrac{81}{5} \end{align*} \]

所以\(\vert PM\vert_{max}=\sqrt{f(-\cfrac{8}{5})}=\sqrt{\cfrac{81}{5}}=\cfrac{9\sqrt{5}}{5}\)。

总结

\(\vert PM\vert\)的最大值为\(\cfrac{9\sqrt{5}}{5}\)，答案是A选项。

DeepSeek 的💡解答

思考过程链接

解答过程：设椭圆 $ C: \cfrac{x^2}{9} + \cfrac{y^2}{4} = 1 $，上顶点 $ M $ 的坐标为 $ (0, 2) $。点 $ P $ 在椭圆上，用参数方程表示为 $ P(3\cos\theta, 2\sin\theta) $。计算 $ PM $ 的距离平方：

\[PM^2 = (3\cos\theta - 0)^2 + (2\sin\theta - 2)^2 = 9\cos^2\theta + (2\sin\theta - 2)^2. \]

展开并化简：

\[PM^2 = 9\cos^2\theta + 4\sin^2\theta - 8\sin\theta + 4 = 13 - 5\sin^2\theta - 8\sin\theta. \]

令 $ t = \sin\theta $，则 $ t \in [-1, 1] $，表达式变为二次函数：

\[PM^2 = -5t^2 - 8t + 13. \]

该二次函数开口向下，最大值在顶点 $ t = -\cfrac{b}{2a} = -\cfrac{-8}{2(-5)} = -\cfrac{4}{5} $ 处。代入计算：

\[PM^2 = -5\left(-\cfrac{4}{5}\right)^2 -8\left(-\cfrac{4}{5}\right) + 13 = \cfrac{81}{5}. \]

因此，$ PM $ 的最大值为 $ \sqrt{\cfrac{81}{5}} = \cfrac{9\sqrt{5}}{5} $。

验证端点 $ t = -1 $ 时，$ PM = 4 $，但此值为最小值。通过拉格朗日乘数法进一步确认最大值确实为 $ \cfrac{9\sqrt{5}}{5} $。

答案：A. \(\cfrac{9\sqrt{5}}{5}\)

KiMI 的💡解答

首先，椭圆 \(C: \cfrac{x^2}{9} + \cfrac{y^2}{4} = 1\) 的上顶点 \(M\) 的坐标是 \((0, 2)\)。我们需要找到椭圆上一点 \(P\)，使得 \(|PM|\) 的最大值。
椭圆的参数方程为 \(x = 3 \cos \theta\) 和 \(y = 2 \sin \theta\)。

点 \(P\) 到 \(M(0, 2)\) 的距离平方为： $$ |PM|^2 = (3 \cos \theta)^2 + (2 \sin \theta - 2)^2 $$

展开并化简： $$ |PM|^2 = 9 \cos^2 \theta + 4 (\sin \theta - 1)^2 = 9 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta + 4 $$

利用 \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\) 代入： $$ |PM|^2 = 9(1 - \sin^2 \theta) + 4 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta + 4 = 13 - 5 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta $$ 设 \(t = \sin \theta\)，则 \(t \in [-1, 1]\)，

转化为二次函数： $$ f(t) = -5t^2 - 8t + 13 $$ 该二次函数开口向下，顶点处取得最大值。顶点位置为 \(t = -\cfrac{4}{5}\)，

在区间 \([-1, 1]\) 内。计算顶点处的值： $$ f\left(-\cfrac{4}{5}\right) = -5 \left(-\cfrac{4}{5}\right)^2 - 8 \left(-\cfrac{4}{5}\right) + 13 = \cfrac{81}{5} $$

因此，\(|PM|_{\text{最大}} = \sqrt{\cfrac{81}{5}} = \cfrac{9\sqrt{5}}{5}\)。

验证拉格朗日乘数法和直接代入法，结果一致。椭圆上存在点 \((\pm \cfrac{9}{5}, -\cfrac{8}{5})\) 使得距离更大，

确认最大值为 \(\cfrac{9\sqrt{5}}{5}\)。

最终答案： \(A\)

博主点评

鉴于时间，这次只检测了 DeepSeek、豆包和 KiMi 三个常用的 AI ，相比较而言，就解题答疑来说，豆包的表现最好，直接给出了正确的答案，DeepSeek、KiMi 的思考过程较长，且表现的有点游移不定，虽然最后的答案是正确的。