由函数的解析式给出函数的性质

公式定理💯随心记

【余弦定理】文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。符号语言：$a^2=b^2+c^2-2$$\cdot$$b$$\cdot$$c$$\cdot$$cos A$；$b^2=c^2+a^2-2$$\cdot$$c$$\cdot$$a$$\cdot$$cos B$；$c^2=a^2+b^2-2$$\cdot$$a$$\cdot$$b$$\cdot$$cos C$；$\cos A=\cfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}$；$\cos B=\cfrac {c^2+a^2-b^2}{2ca}$；$\cos C=\cfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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前情概要

按理说，在高三数学的学习中，我们不断的出错，不停的改错，也在不停的进步，更为重要的是，我们的数学素养要跟着提升才是。比如通过函数的学习，我们应该有这样的共识，题目一旦给定函数的图象，我们从图象就能完整解读这个函数的所有性质，换言之，这是将函数的性质以形的形式给出来了；那么题目一旦给定解析式，我们从解析式也能完整解读这个函数的所有性质 [只是没有从形上研究那么直接和直观，费点事我们也一定能研究出来]，换言之，这是将函数的性质以数的形式给出来了；但我们往往想不到从解析式入手分析研究函数的性质 .

典例剖析

⚠️ 借助函数的解析式给出函数的定义域、单调性、奇偶性等

【榆林模拟】函数 $f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx$，则不等式 $f(a-2)+f(a^2-4)<0$ 的解集是【$\qquad$】

$A.(\sqrt{3},2)$ $B.(-3,2)$ $C.(1,2)$ $D.(\sqrt{3},\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号 $f$，而在此之前，需要转化为 $f(M)<f(N)$ 或 $f(M)>f(N)$ 的形式，然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令 $\cfrac{1+x}{1-x}>0$，解得定义域 $(-1，1)$；

再求奇偶性，由于 $f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx$，$f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx$，

所以 $f(-x)+f(x)=0$，故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令 $g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})$，由于 $u=-1-\cfrac{2}{x-1}$ 为增函数，

所以函数 $g(x)$ 为增函数，故函数 $f(x)=g(x)+sinx$ 为 $(-1，1)$ 上的增函数，

法二，导数法，$f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0$，故函数 $f(x)$ 为 $(-1，1)$ 上的增函数，

到此需要的性质基本备齐了 [定义域，单调性，奇偶性]，

由 $f(a-2)+f(a^2-4)<0$，

变换得到 $f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)$，

由定义域和单调性得到以下不等式组：$\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}$，

解得 $\sqrt{3}<a<2$，故选 $A$ .

【2019 高三理科数学第二次月考第 9 题】【函数性质的综合应用】函数 $f(x)=\ln(|x|-1)$$-log_{0.5}(x^2+1)$，则使得不等式 $f(x)-f(2x-1)<0$ 成立的 $x$ 的取值范围是【$\qquad$】

$A.(1，+\infty)$ $B.(-\infty，-\cfrac{1}{3})$ $C.(-\infty，-\cfrac{1}{3})\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$

分析：由 $|x|-1>0$ 得到定义域 $(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$；

由于 $y=\ln(|x|-1)$ 为偶函数，$y=-log_{0.5}(x^2+1)$ 为偶函数，【两个组成部分】所以 $f(x)$ 为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑 $x>1$ 的情形，

由于 $x>1$ 时 $f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$，

其中 $y=\ln(x-1)$ 在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，$y=log_{0.5}(x^2+1)$ 在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递减，

故 $f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$ 区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知 $(-\infty，-1)$ 上单调递减，

由不等式 $f(x)-f(2x-1)<0$ 等价于 $f(|x|)<f(|2x-1|)$，其在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$

上式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$ 或 $x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到 $x<-\cfrac{1}{3}$ 或 $x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$ 或 $x>1$，故选 $D$ .

⚠️ 借助函数的解析式给出函数的对称性等

【2025 届高三数学训练题】已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_9$$=$$\cfrac{3\pi}{8}$，设函数 $f(x)$$=$$(4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)$$\sin$$x$$+$$\cos2x$$+$$2$，记 $y_n$$=$$f(a_n)$，则数列 $\{y_{n}\}$ 的前 $17$ 项之和 $S_{17}$ 为 【$\qquad$】

$A.9$ $B.17$ $C.26$ $D.34$

解：首先化简函数，$f(x)$$=$$(4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$

$=$$2(\cos^2\cfrac{x}{2}-1)$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$$=$$2\cos x$$\cdot$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$

$=$$\sin2x$$+$$\cos2x$$+$$2$$=$$\sqrt{2}$$\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$$+$$2$，

由于函数 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi,0)$，$k\in \Z$，则函数 $f(x)=$$\sqrt{2}$$\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$$+$$2$ 的对称中心为 $(\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{8},2)$，$k\in \Z$，即 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心 ^[1]，即 $f(\cfrac{3\pi}{8})=2$，也即就是 $f(\cfrac{3\pi}{8})=f(a_9)=y_{9}=2$，

再由 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心，可知函数 $f(x)$ 必然满足条件 $f(x)+f(\cfrac{6\pi}{8}-x)=4$，

又由于给定数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_9$$=$$\cfrac{3\pi}{8}$，则 $a_1+a_{17}=2a_{9}=\cfrac{6\pi}{8}$，$a_{17}=\cfrac{6\pi}{8}-a_{1}$

故有 $f(a_1)+f(a_{17})=4$，同理 $f(a_2)+f(a_{16})=4$， $f(a_3)+f(a_{15})=4$，$\cdots$，

即 $y_1+y_{17}=4$，$y_2+y_{16}=4$，$y_3+y_{15}=4$，$\cdots$，

则 $S_{17}=(y_1+y_{17})+(y_2+y_{16})+\cdots+y_{9}$

$=[f(a_1)+f(a_{17})]+[f(a_2)+f(a_{16})]+\cdots+f(a_9)=8\times4+2=34$，故选 $D$ .

思维提升

• 当你明白具体函数的解析式也就是个承载函数各种性质的躯壳时，那么理解抽象函数类的问题就变得容易多了，也就是说有时候我们不一定需要那个躯壳出现，只要相应的性质现身就可以了，依托下面的案例，我们可以尝试理解这一点感悟，以提升我们的数学素养 .

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $|x|\leq 1$ 的补集，且在定义域上恒有 $f(-x)-f(x)=0$，若 $f(x)$ 在 $(1，+\infty)$ 上恒有 $f'(x)>0$ 成立，$f(x)-f(2x-1)<0$，求实数 $x$ 的取值范围。

分析：函数的定义域为 $|x|>1$，为偶函数，且在 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

故由 $f(x)-f(2x-1)<0$，等价转化为 $f(|x|)<f(|2x-1|)$，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$ 上式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$ 或 $x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到 $x<\cfrac{1}{3}$ 或 $x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$ 或 $x>1$，

即实数 $x$ 的取值范围是 $(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)$。

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1. 由上述计算可知，函数 $f(x)$ 的对称中心有无穷多个，但此处我们只使用其中一个 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$，目的是和已知的条件 $a_9$ 建立关联。本题目就是一个典型的由解析式给出函数性质的案例。 ↩︎