由函数的解析式给出函数的性质

前情概要

按理说，在高三数学的学习中，我们不断的出错，不停的改错，也在不停的进步，更为重要的是，我们的数学素养要跟着提升才是 . 比如通过函数的学习，我们应该有这样的共识，题目一旦给定函数的图象，我们从图象就能完整解读这个函数的所有性质，换言之，这是将函数的性质以形的形式给出来了；那么题目一旦给定解析式，我们从解析式也能完整解读这个函数的所有性质[只是没有从形上研究那么直接和直观，费点事我们也一定能研究出来]，换言之，这是将函数的性质以数的形式给出来了；但我们往往想不到从解析式入手分析研究函数的性质 .

典例剖析

⚠️ 借助函数的解析式给出函数的定义域、单调性、奇偶性等

【榆林模拟】函数 \(f(x)\)\(=\)\(\ln\cfrac{1+x}{1-x}\) \(+\) \(\sin x\) ，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【\(\qquad\)】

$A.(\sqrt{3},2)$ $B.(-3,2)$ $C.(1,2)$ $D.(\sqrt{3},\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号 \(f\)，而在此之前，需要转化为 \(f(M)<f(N)\) 或 \(f(M)>f(N)\) 的形式，然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，由于\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，

所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，

所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，

法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，

到此需要的性质基本备齐了[定义域，单调性，奇偶性]，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，

变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定义域和单调性得到以下不等式组：\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，

解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选 \(A\) .

【2019高三理科数学第二次月考第9题】【函数性质的综合应用】函数\(f(x)=\ln(|x|-1)\)\(-log_{0.5}(x^2+1)\)，则使得不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)成立的\(x\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.(1，+\infty)$ $B.(-\infty，-\cfrac{1}{3})$ $C.(-\infty，-\cfrac{1}{3})\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$

分析：由 \(|x|-1>0\) 得到定义域 \((-\infty，-1)\cup (1，+\infty)\)；

由于 \(y=\ln(|x|-1)\) 为偶函数，\(y=-log_{0.5}(x^2+1)\) 为偶函数，【两个组成部分】所以\(f(x)\)为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑\(x>1\)的情形，

由于 \(x>1\) 时 \(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，

其中 \(y=\ln(x-1)\) 在区间 \((1，+\infty)\) 上单调递增，\(y=log_{0.5}(x^2+1)\) 在区间 \((1，+\infty)\) 上单调递减，

故 \(f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\) 区间 \((1，+\infty)\) 上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知\((-\infty，-1)\)上单调递减，

由不等式 \(f(x)-f(2x-1)<0\) 等价于 \(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，其在区间 \((1，+\infty)\) 上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)

上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\) 或 \(x>1\)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<-\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，故选 \(D\) .

⚠️ 借助函数的解析式给出函数的对称性等

【2025届高三数学训练题】已知等差数列 \(\{a_{n}\}\) 中，\(a_9\)\(=\)\(\cfrac{3\pi}{8}\)，设函数 \(f(x)\)\(=\)\((4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)\)\(\sin\)\(x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)，记 \(y_n\)\(=\)\(f(a_n)\)，则数列 \(\{y_{n}\}\) 的前 \(17\) 项之和 \(S_{17}\) 为 【\(\qquad\)】

$A.9$ $B.17$ $C.26$ $D.34$

解：首先化简函数，\(f(x)\)\(=\)\((4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)

\(=\)\(2(\cos^2\cfrac{x}{2}-1)\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)\(=\)\(2\cos x\)\(\cdot\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)

\(=\)\(\sin2x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)\(=\)\(\sqrt{2}\)\(\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)\(+\)\(2\)，

由于函数 \(y=\sin x\) 的对称中心为 \((k\pi,0)\)，\(k\in Z\)，则函数 \(f(x)=\)\(\sqrt{2}\)\(\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)\(+\)\(2\) 的对称中心为 \((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{8},2)\)，\(k\in Z\)，即 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个对称中心^[1]，即 \(f(\cfrac{3\pi}{8})=2\)，也即就是 \(f(\cfrac{3\pi}{8})=f(a_9)=y_{9}=2\)，

再由 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个对称中心，可知函数 \(f(x)\) 必然满足条件 \(f(x)+f(\cfrac{6\pi}{8}-x)=4\)，

又由于给定数列 \(\{a_{n}\}\) 为等差数列，且\(a_9\)\(=\)\(\cfrac{3\pi}{8}\)，则 \(a_1+a_{17}=2a_{9}=\cfrac{6\pi}{8}\)，\(a_{17}=\cfrac{6\pi}{8}-a_{1}\)

故有 \(f(a_1)+f(a_{17})=4\)，同理 \(f(a_2)+f(a_{16})=4\)， \(f(a_3)+f(a_{15})=4\)，\(\cdots\)，

即 \(y_1+y_{17}=4\)，\(y_2+y_{16}=4\)，\(y_3+y_{15}=4\)，\(\cdots\)，

则 \(S_{17}=(y_1+y_{17})+(y_2+y_{16})+\cdots+y_{9}\)

\(=[f(a_1)+f(a_{17})]+[f(a_2)+f(a_{16})]+\cdots+f(a_9)=8\times4+2=34\)，故选 \(D\) .

思维提升

• 当你明白具体函数的解析式也就是个承载函数各种性质的躯壳时，那么理解抽象函数类的问题就变得容易多了，也就是说有时候我们不一定需要那个躯壳出现，只要相应的性质现身就可以了，依托下面的案例，我们可以尝试理解这一点感悟，以提升我们的数学素养 .

已知函数\(f(x)\)的定义域为\(|x|\leq 1\)的补集，且在定义域上恒有\(f(-x)-f(x)=0\)，若\(f(x)\)在\((1，+\infty)\)上恒有\(f'(x)>0\)成立，\(f(x)-f(2x-1)<0\)，求实数\(x\)的取值范围。

分析：函数的定义域为\(|x|>1\)，为偶函数，且在\((1，+\infty)\)上单调递增，

故由\(f(x)-f(2x-1)<0\)，等价转化为\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\) 上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\) 或 \(x>1\)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，

即实数\(x\)的取值范围是\((-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)。

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1. 由上述计算可知，函数 \(f(x)\) 的对称中心有无穷多个，但此处我们只使用其中一个 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\)，目的是和已知的条件 \(a_9\) 建立关联。本题目就是一个典型的由解析式给出函数性质的案例。 ↩︎