工业凹槽洗底问题 | 探索研讨
关于抛物线和圆的位置关系的问题探索和引申
前情概要
在和同事研讨下述题目的解答时，碰到了一些困难，思路不太好把握，探索一番，做个记录。
案例分析
总基调：题目要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则钢球要和能经过抛物线的底部[顶点]，当钢球半径最大时，则钢球与抛物线相切于底部的顶点 .
探索1️⃣：从学科网和菁优网下载答案参考学习，基本上看不大懂，感觉选择的角度是从形上容易切入思考，但在数上运算时不太好理解，干脆放弃，思考从数上入手思考；一点小反思，即使网上老师的作答，也不要一味的迷信，如果你有多个网络信息源，可以下载多个解答，在比较中选优[我也曾经给菁优网解答过题目，前几年最贵的导数类解答题也只开价 \(4.5\) 元，而且要求多，有分析，有解答，有配套的图象，还得有解后反思，太麻烦，解答了 \(100\) 多个题目后放弃了] .
探索2️⃣：从图形上入手分析，做出经过球心的截面图形，建系如图所示，根据对称性设圆的半径最大时圆心为 \(A\)\((0,r)\)，\((r>0)\)，抛物线上任意一点为 \(P\)\((x,y)\)，则 \(y\)\(\geqslant\)\(0\)，
由图可知，抛物线上的任意一点一定满足条件：\(|PA|\)\(\geqslant\) \(r\) [1]，
为运算简单，采用这样的运算思路，\(|PA|^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)，即 \((x-0)^2\)\(+\)\((y-r)^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)，
将 \(x^2\)\(=\)\(4y\) 代入，打开整理得到，\(y^2\)\(+\)\(4y\)\(-\)\(2ry\)\(\geqslant\)\(0\)，
即 \(y\)\(\cdot\)\((y+4-2r)\)\(\geqslant\)\(0\)，由题目可知\(y\)\(\geqslant\)\(0\)，由 符号法则 可知，\(y\)\(+\)\(4\)\(-\)\(2r\)\(\geqslant\)\(0\)，
即 \(2r\)\(\leqslant\)\(y\)\(+\)\(4\)，即 \(r\)\(\leqslant\)\(\cfrac{y}{2}\)\(+\)\(2\)，
当 \(y\) 取最小值 \(0\) 时，\(r\)\(\leqslant\)\(2\)，则 \(r\) 的取值范围是 \((0,2]\)，故 \(r\) 的最大值为 \(2\) . 选择 \(C\) 选项 .
- 相关补充：基本采用了大神 Math173 的做法，请参阅 相似解答
探索3️⃣：刚好那几天接触了个 纳米搜索，想到用这个题目的图片练手，既学习纳米搜索的使用，也想看看所谓的 Ai 搜索到底功能如何，你别说，还真是有收获，由此看到一片不一样的天地：我的搜索结果图片为证，是为记
设钢球的圆心为 \(A(0,r)\) ( \(r\) 为钢球半径)，当钢球半径最大时，钢球与抛物线相切，
设切点坐标为 \(P(x,y)\) ，对于抛物线 \(x^2\)\(=\)\(4y\) ，其导数为 \(y^{\prime}\)\(=\)\(\cfrac{x}{2}\) ，则在点 \((x, y)\) 处的切线斜率为 \(\cfrac{x}{2}\)，
同时，圆心 \(A(0, r)\) 与切点 \(P(x,y)\) 连线的斜率为 \(k_{_{AP}}\)\(=\)\(\cfrac{y-r}{x}\)，[2]
因为切线 \(l\) 与直线 \(AP\) 的连线垂直，所以它们斜率乘积为 \(-1\) ，
即 \(\cfrac{x}{2}\)\(\times\)\(\cfrac{y-r}{x}\)\(=\)\(-1\) ，化简得 \(y\)\(-\)\(r\)\(=\)\(-2\) ，即 \(y\)\(=\)\(r\)\(-\)\(2①\)，
又因为 \((x,y)\) 在抛物线上，所以 \(x^2\)\(=\)\(4y\) ，
将 \(y\)\(=\)\(r-2\) 代入 \(x^2\)\(=\)\(4y\) 可得 \(x^2\)\(=\)\(4(r-2)②\) ，
将 \(①②\) 代入圆的方程： \((x-0)^2\)\(+\)\((y-r)^2\)\(=\) \(r^2\) 中，即 \(4(r-2)\)\(+\)\((r-2-r)^2\)\(=\)\(r^2\)，
整理得到，\((r-2)^2\)\(=\)\(0\)，解得 \(r\)\(=\)\(2\)，[将其代入 \(①②\) 可得切点坐标为 \((0,0)\)]
故清洁钢球的最大半径为 \(2\) ，选择 \(C\) 选项 .
延申练习
解析：设清洁钢球的半径为 \(r\)，则其球心坐标为 \(P(0,1+r)\)，则双曲线上的所有点到 \(P\) 的距离不小于 \(r\)，设双曲线上的点为 \(Q(x_0, y_0)\)，
则 \(|PQ|^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)\(\Longleftrightarrow\)\(x_0^2\)\(+\)\((y_0-1-r)^2\)\(\geqslant\)\(r^2\)\(\Longleftrightarrow\)\(y_0^2\)\(-1\)\(+\)\((y_0-1-r)^2\)\(-\)\(r^2\)\(\geqslant\)\(0\)
整理可得 \(2\)\((y_0-r)\)\((y_0-1)\)\(\geqslant\)\(0\)\(\Longleftrightarrow\)\(r\)\(\leqslant\)\(y_0\)，
因此 \(r\) 的最大值为 \(y_0\) 的最小值，则清洁钢球的最大半径为 \(1\)，故选 \(A\) .
[备注]：对高中学生而言，以下内容是超纲的，我也不清楚这个公式。
根据曲线的曲率半径的计算公式 \(R=\left|\cfrac{\left(1+f^{\prime 2}(x)\right)^{\frac{3}{2}}}{f^{\prime \prime}(x)}\right|\)，可得双曲线在底部的曲率半径为 \(1\)，因此清洁钢球的最大半径为 \(1\) .
