借助电脑探究双变量函数问题侧记
记录一次借助电脑探究双变量函数问题的全过程
前情概要
偶尔看到下面的习题，想到以前自己整理的双变量函数问题，尝试练手时发现，寻找思路不是很简单的问题，探索一番，对整个过程作以记录，为一侧记 .
典型案例
电脑作图视频教程如下：
图象详情：利用DESMOS作图，打开后可以在侧边栏看看这个课件里面用到的函数和控制按钮，都是用数学来涉及数学，用一用你会产生对数学不一样的感悟，详情请参阅具体作图
探索思路：借助软件，我们能很容易的看到 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上单调递增，故有 \(f(x)_{\min}\)\(=\)\(f(0)\)\(=\)\(1\)\(+\)\(a\)，\(f(x)_{\max}\)\(=\)\(f(1)\)\(=\)\(e\)\(-1\)\(+\)\(a\)，函数 \(g(x)\) 在区间 \([\cfrac{1}{e^2}\)\(,\)\(\cfrac{1}{e}]\) 上单调递减，在区间 \([\cfrac{1}{e}\)\(,\)\(e]\) 上单调递增，\(g(x)_{\min}\)\(=\)\(g(\cfrac{1}{e})\)\(=\)\(-\cfrac{1}{e}\)，\(g(x)_{\max}\)\(=\)\(g(e)\)\(=\)\(e\)[这些都不是难点，或者说我们用软件先降低这个知识点的难度，正式解题时需要完整的写出两个函数的单调性和最值，暂时不管这一点 . 接下来考虑的才是难点和重点]，我们发现函数 \(f(x)\) 的图象是动态的，参数 \(a\) 变化时，图象会上下沿着 \(y\) 轴平移，我们将其值域投射到 \(y\) 轴上；函数 \(g(x)\) 的图象是静态的，将其值域也投射到 \(y\) 轴上，由于要保证 \(f(x_1)=g(x_2)\)成立，那么必然应该有一条直线 \(l\) 和两个函数的图象都有交点，此时先移动函数 \(f(x)\) 的图象，为了满足对任意的 \(\forall\)\(x_1\)\(\in\)\([0,1]\)，都存在 \(x_2\)\(\in\)\([\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)\)\(=\)\(g(x_2)\)，那么必须要保证 \(f(x)\) 的值域包含于 \(g(x)\) 的值域[1]，这样当移动直线 \(l\) 的位置时，必然能保证对 \(\forall\)$ $$x_1$$\in$$[0,1]$，在区间 \([\cfrac{1}{e^2},e]\) 上一定会存在 \(x_2\)\(\in\)\([\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)\)\(=\)\(g(x_2)\)，到此核心的解题思路就显现出来了. 即探索得到思路：\([f(x)_{\min}\) \(,\) \(f(x)_{\max}]\) \(\subseteq\) \([g(x)_{\min}\) \(,\) \(g(x)_{\max}]\)，可以借助下图自行操作探索体会：
接上所述，需要保证 \([f(x)_{\min},f(x)_{\max}]\subseteq [g(x)_{\min},g(x)_{\max}]\)，
故需要满足 \(\left\{\begin{array}{l}{e-1+a\leqslant e}\\{1+a\geqslant -\cfrac{1}{e}}\end{array}\right.\)
解之得到，\(-\cfrac{1}{e}\)\(-1\)\(\leqslant\)\(a\)\(\leqslant\)\(1\)，即 \(a\)\(\in\)\([-1-\cfrac{1}{e},1]\)，探索到此结束 .
相关思考：① 其实我们刚才探索图象的时候，还可以这样想，不管函数的单调性如何，最终都会将值域投射到 \(y\) 轴上，这样可以仿照上述的课件，将其值域用铅笔画在 \(y\) 轴上，一步就到了比较核心的步骤了；②要求自变量任意的函数 \(f(x)\) 的值域必须被别的函数的值域包含，才能满足函数 \(f(x)\) 的自变量的任意性；③回过头来，我们如何知道函数的最值，不是让你用电脑，而是借助导数工具来判断单调性，从而知道其最值的情况，这样整个题目的重点和难点就都突破了，接下来将整个思路连贯起来，整理一下就可以了。
正式解答：等有空再整理 .
相关引申
- 以下的引申思考，不一定有结果，只是依托这个题目临时想到的，暂时对发散的角度做个记录：
✍️引申1️⃣若存在 \(x_1\in[0,1]\)，对于任意的 \(x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)=g(x_2)\)，求实数 \(a\) 的取值范围；
思路：\([g(x)_{\min}\)\(,\)\(g(x)_{\max}]\)\(\subseteq\)\([f(x)_{\min}\)\(,\)\(f(x)_{\max}]\)，仿上例题，用对称思维的方式即可得到结果；
✍️引申2️⃣若对于任意的 \(x_1\in[0,1]\)，满足任意的 \(x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)=g(x_2)\)，求实数 \(a\) 的取值范围；
思路：\([g(x)_{\min}\)\(,\)\(g(x)_{\max}]\)\(=\)\([f(x)_{\min}\)\(,\)\(f(x)_{\max}]\)，这个结果可以用 \(\left.\begin{array}{r}{A\subseteq B}\\{B\subseteq A}\end{array}\right\}\) \(\Leftrightarrow\) \(A=B\) .
✍️引申3️⃣若存在 \(x_1\in[0,1]\)，存在 \(x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)=g(x_2)\)，求实数 \(a\) 的取值范围；
思路：\([g(x)_{\min}\)\(,\)\(g(x)_{\max}]\)\(\cap\)\([f(x)_{\min}\)\(,\)\(f(x)_{\max}]\)\(\neq\)\(\varnothing\)，即两个值域的公共部分不能为空；
😄 请注意，以上的题型都针对的是 \(f(x)=g(x)\) 类型的，那么类比可以再次延申来得到 \(f(x)\geqslant g(x)\) 或 \(f(x)\leqslant g(x)\)
类型的求解思路，请参阅相关引申内容和思路
变式提升
提示：\((-1-\cfrac{1}{e^2},1]\)，有空再做解答 .
通俗的讲，就是 \(f(x)\) 的最高点和 \(g(x)\) 的最高点平齐，且 \(f(x)\) 的最低点和 \(g(x)\) 的最低点平齐，否则当 \(f(x)\) 有一部分图象超出了 \(g(x)\) 的最高点，那么必然会有 \([0,1]\) 上的一部分 \(f(x_1)\) 会大于 \(g(x_2)\) 的最大值，那么就不能满足对 \(\forall\) \(x_1\)\(\in\)\([0,1]\)，在区间 \([\cfrac{1}{e^2},e]\) 上一定会存在 \(x_2\)\(\in\)\([\cfrac{1}{e^2},e]\) 使得 \(f(x_1)\)\(=\)\(g(x_2)\) . ↩︎
