借助电脑探究双变量函数问题侧记

公式定理💯随心记

【参数方程求导】文字语言：参数方程确定的函数导数求法。符号语言：若 $\begin {cases} x=φ(t) \\ y=ψ(t)\end {cases}$，则 $\cfrac {dy}{dx}=\cfrac {ψ'(t)}{φ'(t)}$

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前情概要

偶尔看到下面的习题，想到以前自己整理的双变量函数问题，尝试练手时发现，寻找思路不是很简单的问题，探索一番，对整个过程作以记录，为一侧记 .

典型案例

【2025 届高三数学月考 3 第 12 题】对于函数 $f(x)=e^x-x^2+a$，$g(x)=x\ln x$，若对于任意的 $x_1\in[0,1]$，存在 $x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)=g(x_2)$，则实数 $a$ 的取值范围是_____________.

电脑作图视频教程如下：

图象详情：利用 DESMOS 作图，打开后可以在侧边栏看看这个课件里面用到的函数和控制按钮，都是用数学来涉及数学，用一用你会产生对数学不一样的感悟，详情请参阅具体作图

探索思路：借助软件，我们能很容易的看到 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递增，故有 $f(x)_{\min}$$=$$f(0)$$=$$1$$+$$a$，$f(x)_{\max}$$=$$f(1)$$=$$e$$-1$$+$$a$，函数 $g(x)$ 在区间 $[\cfrac{1}{e^2}$$,$$\cfrac{1}{e}]$ 上单调递减，在区间 $[\cfrac{1}{e}$$,$$e]$ 上单调递增，$g(x)_{\min}$$=$$g(\cfrac{1}{e})$$=$$-\cfrac{1}{e}$，$g(x)_{\max}$$=$$g(e)$$=$$e$[这些都不是难点，或者说我们用软件先降低这个知识点的难度，正式解题时需要完整的写出两个函数的单调性和最值，暂时不管这一点。接下来考虑的才是难点和重点]，我们发现函数 $f(x)$ 的图象是动态的，参数 $a$ 变化时，图象会上下沿着 $y$ 轴平移，我们将其值域投射到 $y$ 轴上；函数 $g(x)$ 的图象是静态的，将其值域也投射到 $y$ 轴上，由于要保证 $f(x_1)=g(x_2)$ 成立，那么必然应该有一条直线 $l$ 和两个函数的图象都有交点，此时先移动函数 $f(x)$ 的图象，为了满足对任意的 $\forall$$x_1$$\in$$[0,1]$，都存在 $x_2$$\in$$[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)$$=$$g(x_2)$，那么必须要保证 $f(x)$ 的值域包含于 $g(x)$ 的值域 ^[1]，这样当移动直线 $l$ 的位置时，必然能保证对 $\forall$$x_1$$\in$$[0,1]$，在区间 $[\cfrac{1}{e^2},e]$ 上一定会存在 $x_2$$\in$$[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)$$=$$g(x_2)$，到此核心的解题思路就显现出来了。即探索得到思路：$[f(x)_{\min}$ $,$ $f(x)_{\max}]$ $\subseteq$ $[g(x)_{\min}$ $,$ $g(x)_{\max}]$，可以借助下图自行操作探索体会：

接上所述，需要保证 $[f(x)_{\min},f(x)_{\max}]\subseteq [g(x)_{\min},g(x)_{\max}]$，

故需要满足 $\left\{\begin{array}{l}{e-1+a\leqslant e}\\{1+a\geqslant -\cfrac{1}{e}}\end{array}\right.$

解之得到，$-\cfrac{1}{e}$$-1$$\leqslant$$a$$\leqslant$$1$，即 $a$$\in$$[-1-\cfrac{1}{e},1]$，探索到此结束 .

相关思考：① 其实我们刚才探索图象的时候，还可以这样想，不管函数的单调性如何，最终都会将值域投射到 $y$ 轴上，这样可以仿照上述的课件，将其值域用铅笔画在 $y$ 轴上，一步就到了比较核心的步骤了；②要求自变量任意的函数 $f(x)$ 的值域必须被别的函数的值域包含，才能满足函数 $f(x)$ 的自变量的任意性；③回过头来，我们如何知道函数的最值，不是让你用电脑，而是借助导数工具来判断单调性，从而知道其最值的情况，这样整个题目的重点和难点就都突破了，接下来将整个思路连贯起来，整理一下就可以了。

正式解答：等有空再整理 .

相关引申

• 以下的引申思考，不一定有结果，只是依托这个题目临时想到的，暂时对发散的角度做个记录：

✍️引申 1️⃣若存在 $x_1\in[0,1]$，对于任意的 $x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)=g(x_2)$，求实数 $a$ 的取值范围；

思路：$[g(x)_{\min}$$,$$g(x)_{\max}]$$\subseteq$$[f(x)_{\min}$$,$$f(x)_{\max}]$，仿上例题，用对称思维的方式即可得到结果；

✍️引申 2️⃣若对于任意的 $x_1\in[0,1]$，满足任意的 $x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)=g(x_2)$，求实数 $a$ 的取值范围；

思路：$[g(x)_{\min}$$,$$g(x)_{\max}]$$=$$[f(x)_{\min}$$,$$f(x)_{\max}]$，这个结果可以用 $\left.\begin{array}{r}{A\subseteq B}\\{B\subseteq A}\end{array}\right\}$ $\Leftrightarrow$ $A=B$ .

✍️引申 3️⃣若存在 $x_1\in[0,1]$，存在 $x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)=g(x_2)$，求实数 $a$ 的取值范围；

思路：$[g(x)_{\min}$$,$$g(x)_{\max}]$$\cap$$[f(x)_{\min}$$,$$f(x)_{\max}]$$\neq$$\varnothing$，即两个值域的公共部分不能为空；

😄 请注意，以上的题型都针对的是 $f(x)=g(x)$ 类型的，那么类比可以再次延申来得到 $f(x)\geqslant g(x)$ 或 $f(x)\leqslant g(x)$
类型的求解思路，请参阅相关引申内容和思路

变式提升

【2024 秋渝中区校级月考】对于函数 $f(x)=e^x-x^2+a$，$g(x)=x\ln x$，若对于任意的 $x_1\in[0,1]$，存在唯一的 $x_2\in[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)=g(x_2)$，则实数 $a$ 的取值范围是_____________.

提示：$(-1-\cfrac{1}{e^2},1]$，有空再做解答 .

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1. 通俗的讲，就是 $f(x)$ 的最高点和 $g(x)$ 的最高点平齐，且 $f(x)$ 的最低点和 $g(x)$ 的最低点平齐，否则当 $f(x)$ 有一部分图象超出了 $g(x)$ 的最高点，那么必然会有 $[0,1]$ 上的一部分 $f(x_1)$ 会大于 $g(x_2)$ 的最大值，那么就不能满足对 $\forall$ $x_1$$\in$$[0,1]$，在区间 $[\cfrac{1}{e^2},e]$ 上一定会存在 $x_2$$\in$$[\cfrac{1}{e^2},e]$ 使得 $f(x_1)$$=$$g(x_2)$ . ↩︎