焦半径和焦点弦

公式定理💯随心记

【余弦定理】文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。符号语言：$a^2=b^2+c^2-2$$\cdot$$b$$\cdot$$c$$\cdot$$cos A$；$b^2=c^2+a^2-2$$\cdot$$c$$\cdot$$a$$\cdot$$cos B$；$c^2=a^2+b^2-2$$\cdot$$a$$\cdot$$b$$\cdot$$cos C$；$\cos A=\cfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}$；$\cos B=\cfrac {c^2+a^2-b^2}{2ca}$；$\cos C=\cfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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前情概要

圆锥曲线的统一定义：平面上一点到一个定点和定直线的距离之比小于 $1$ 时，轨迹是椭圆；等于 $1$ 时，轨迹是抛物线；大于 $1$ 时，轨迹是双曲线。

圆锥曲线焦半径

• 定义：连结圆锥曲线 [包括椭圆，双曲线，抛物线] 上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

焦半径和焦点弦

典例剖析

【2025 届高二学生问题】已知 $F$ 为椭圆 $C:$$\cfrac{x^2}{a^2}$$+$$\cfrac{y^2}{b^2}$$=$$1$($a$$>$$b$$>$$0$) 的一个焦点，点 $P$ 为 $C$ 上任意一点，则 $|FP|$ 称为椭圆的焦半径，$C$ 的左顶点与上顶点分别为 $A$、$B$，若存在以 $A$ 为圆心，$|FP|$ 为半径的圆经过点 $B$，则椭圆 $C$ 的离心率的最小值为______________ .

解：由图可知，$a$$-$$c$$\leqslant$$|PF|$$\leqslant$$a$$+$$c$，即 $|PF|_{\max}$$=$$a$$+$$c$，

又由题目 “若存在以 $A$ 为圆心，$|FP|$ 为半径的圆经过点 $B$” 可知 ^[1]，则 $|PF|_{\max}$$\geqslant$$|AB|$，

又由题可知， $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$，则 $a+c\geqslant \sqrt{a^2+b^2}$，又 $b^2=a^2-c^2$，

整理可得，$2c^2+2ac-a^2\geqslant 0$，两边同除以 $a^2$，

即 $2e^2+2e-1\geqslant 0$，解得 $\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\leqslant e<1$，

故答案为 ：$\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ .

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1. 当你以点 $A$ 为圆心，以 $|PF|$ 为半径作圆时，由于半径 $|PF|$ 是变化的量，为好理解，假设 $|PF|_{\min}$$=$$|AM|$， $|PF|_{\max}$$=$$|AN|$，借助此图能很容易理解，只有当 $|AN|$$\geqslant$$|AB|$ 时，以 $A$ 为圆心，才可能存在以 $|FP|$ 为半径的圆经过点 $B$，则必须满足条件 $|PF|_{\max}$$\geqslant$$|AB|$，故本问题属于存在性问题，或者能成立问题；进一步思考，若 $|PF|_{\min}$$\geqslant$$|AB|$ 时，则以 $A$ 为圆心，必然存在以 $|FP|$ 为半径的圆经过点 $B$，此时的问题属于恒成立问题 . ↩︎