焦半径和焦点弦

前情概要

圆锥曲线的统一定义：平面上一点到一个定点和定直线的距离之比小于 \(1\) 时，轨迹是椭圆；等于 \(1\) 时，轨迹是抛物线；大于 \(1\) 时，轨迹是双曲线。

圆锥曲线焦半径

• 定义：连结圆锥曲线[包括椭圆，双曲线，抛物线]上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

焦半径和焦点弦

典例剖析

【2025届高二学生问题】已知 \(F\) 为椭圆 \(C:\)\(\cfrac{x^2}{a^2}\)\(+\)\(\cfrac{y^2}{b^2}\)\(=\)\(1\)(\(a\)\(>\)\(b\)\(>\)\(0\)) 的一个焦点，点 \(P\) 为 \(C\) 上任意一点，则 \(|FP|\) 称为椭圆的焦半径，\(C\) 的左顶点与上顶点分别为 \(A\)、\(B\)，若存在以 \(A\) 为圆心，\(|FP|\) 为半径的圆经过点 \(B\)，则椭圆 \(C\) 的离心率的最小值为______________ .

解：由图可知，\(a\)\(-\)\(c\)\(\leqslant\)\(|PF|\)\(\leqslant\)\(a\)\(+\)\(c\)，即 \(|PF|_{\max}\)\(=\)\(a\)\(+\)\(c\)，

又由题目“若存在以 \(A\) 为圆心，\(|FP|\) 为半径的圆经过点 \(B\)”可知 ^[1]，则 \(|PF|_{\max}\)\(\geqslant\)\(|AB|\)，

又由题可知， \(|AB|=\sqrt{a^2+b^2}\)，则 \(a+c\geqslant \sqrt{a^2+b^2}\)，又 \(b^2=a^2-c^2\)，

整理可得，\(2c^2+2ac-a^2\geqslant 0\)，两边同除以 \(a^2\)，

即 \(2e^2+2e-1\geqslant 0\)，解得 \(\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\leqslant e<1\)，

故答案为 ：\(\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) .

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1. 当你以点 \(A\) 为圆心，以 \(|PF|\) 为半径作圆时，由于半径 \(|PF|\) 是变化的量，为好理解，假设 \(|PF|_{\min}\)\(=\)\(|AM|\)， \(|PF|_{\max}\)\(=\)\(|AN|\)，借助此图能很容易理解，只有当 \(|AN|\)\(\geqslant\)\(|AB|\) 时，以 \(A\) 为圆心，才可能存在以 \(|FP|\) 为半径的圆经过点 \(B\)，则必须满足条件 \(|PF|_{\max}\)\(\geqslant\)\(|AB|\)，故本问题属于存在性问题，或者能成立问题；进一步思考，若 \(|PF|_{\min}\)\(\geqslant\)\(|AB|\) 时，则以 \(A\) 为圆心，必然存在以 \(|FP|\) 为半径的圆经过点 \(B\)，此时的问题属于恒成立问题 . ↩︎