max 函数与 min 函数

公式定理💯随心记

【双曲线的标准方程】文字语言：平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数（小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹。符号语言：标准方程 $\cfrac {x^2}{a^2}-\cfrac {y^2}{b^2}=1$$(a>0,b>0)$，其中 $c^2=a^2+b^2$；渐近线 $y=\pm\cfrac {b}{a} x$；离心率 $e=\cfrac {c}{a}>1$

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前情概要

只要有两个实数，就会涉及能大小比较的问题，那么只要有两个函数，自然也会涉及能大小比较的问题，比如我们熟悉的两个简单函数 $y=2x+1$ 和 $y=-x+1$，做出两个函数的图象如下，

从图象可以看出，当 $x<0$ 时，$g(x)>f(x)$；当 $x=0$ 时，$g(x)=f(x)$；当 $x>0$ 时，$g(x)<f(x)$；数学上使用精简的语言描述如下：

$$F(x)=\max\{f(x),g(x)\}=\left\{\begin{array}{l}f(x),&f(x)\geqslant g(x)\\g(x),&f(x)<g(x)\end{array}\right.$$

简单理解为：谁大就取谁，这就是最大值函数，当然这是有条件的，所以这样的函数一般都体现为分段函数。

典例剖析

【2025 届高三数学月考 2 用题】已知函数 $y=\max\{a,b,c\}=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geq b,a\geq c\\b,&b\geq a,b\geq c\\c,&c\geq a,c\geq b\end{array}\right.$，设 $f(x)$$=$$\max$$\{x^2$$,$$|x-1|$$,$$3x\}$，则 $f(x)$ 的最小值为 【$\qquad$】

$A.1$ $B.\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ $C.9$ $D.\cfrac{3}{4}$

解析：理解了最大值函数的内涵，我们自己做出图象就可以得到 $f(x)$ 的图象，从而得到其最小值；借助 Desmos 软件，立马就可以得到其图象，如下图

由图象可以看出，$f(x)_{\min}=\cfrac{3}{4}$，故选 $D$ .

【2025 届高三数学月考 2 用题改编】已知函数 $y=\min\{a,b,c\}=\left\{\begin{array}{l}a,&a\leq b,a\leq c\\b,&b\leq a,b\leq c\\c,&c\leq a,c\leq b\end{array}\right.$，设 $f(x)$$=$$\min$$\{x^2$$,$$-x+2$$,$$2^{x}\}$，则 $f(x)$ 图象上的最高点的坐标为_____________.

解析：依托上题的理解，做出最小值函数的图象，如下图所示，

由图象可知，最高点的坐标为 $(1,1)$ .