max 函数与 min 函数

前情概要

只要有两个实数，就会涉及能大小比较的问题，那么只要有两个函数，自然也会涉及能大小比较的问题，比如我们熟悉的两个简单函数 \(y=2x+1\) 和 \(y=-x+1\)，做出两个函数的图象如下，

从图象可以看出，当 \(x<0\) 时，\(g(x)>f(x)\)；当 \(x=0\) 时，\(g(x)=f(x)\)；当 \(x>0\) 时，\(g(x)<f(x)\)；数学上使用精简的语言描述如下：

\[F(x)=\max\{f(x),g(x)\}=\left\{\begin{array}{l}f(x),&f(x)\geqslant g(x)\\g(x),&f(x)<g(x)\end{array}\right. \]

简单理解为：谁大就取谁，这就是最大值函数，当然这是有条件的，所以这样的函数一般都体现为分段函数。

典例剖析

【2025届高三数学月考2用题】已知函数 \(y=\max\{a,b,c\}=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geq b,a\geq c\\b,&b\geq a,b\geq c\\c,&c\geq a,c\geq b\end{array}\right.\)，设 \(f(x)\)\(=\)\(\max\)\(\{x^2\)\(,\)\(|x-1|\)\(,\)\(3x\}\)，则 \(f(x)\) 的最小值为 【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ $C.9$ $D.\cfrac{3}{4}$

解析：理解了最大值函数的内涵，我们自己做出图象就可以得到 \(f(x)\) 的图象，从而得到其最小值；借助 Desmos 软件，立马就可以得到其图象，如下图

由图象可以看出，\(f(x)_{\min}=\cfrac{3}{4}\)，故选 \(D\) .

【2025届高三数学月考2用题改编】已知函数 \(y=\min\{a,b,c\}=\left\{\begin{array}{l}a,&a\leq b,a\leq c\\b,&b\leq a,b\leq c\\c,&c\leq a,c\leq b\end{array}\right.\)，设 \(f(x)\)\(=\)\(\min\)\(\{x^2\)\(,\)\(-x+2\)\(,\)\(2^{x}\}\)，则 \(f(x)\) 图象上的最高点的坐标为_____________.

解析：依托上题的理解，做出最小值函数的图象，如下图所示，

由图象可知，最高点的坐标为 \((1,1)\) .