绝对值不等式
系统总结绝对值不等式的求解
前情概要
初中所学内容， \(\sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{array}\right.\)，是高中所学习的绝对值问题的基础。在去掉绝对值符号时，常常考虑利用定义法[即分类讨论]或者平方法[即利用不等式性质，比如 \(|x-2|>|1-x|\)，两边同时平方变形为 \((x-2)^2>(1-x)^2\)]，或利用定义法的变形，比如任意 \(x_1,x_2\in [1,3]\)，\(|f(x_1)-f(x_2)|\leq 2\) 恒成立，即 \(x\in[1,3]\) 时，\(f(x)_{\max}-f(x)_{\min}\leq 2\) 恒成立即可.
基础回顾
- 深入理解基本类型视为其他的求解模板
\(|x|\)\(\leqslant\)\(2\)，则 \(-2\)\(\leqslant\)\(x\leqslant\)\(2\)；
\(|x|\)\(\geqslant\)\(2\)，则\(x\)\(\leqslant\)\(-2\)或\(x\)\(\geqslant\)\(2\)；
比如，由上述模板，可以将 \(|x^2-3x|\leq 2\) 转化为 \(-2\)\(\leqslant\)\(x^2-3x\leqslant\)\(2\)；
- 使用以上的模板就能快速求解以下不等式：
引例①，如 \(|x-1|<1\)，
等价于 \(-1<x-1<1\) ，即 \(0<x<2\) ；解集为 \(x\in (0，2)\)
引例②，\(2<|x-1|<3\)，
等价于 \(2<x-1<3\) 或者 \(-3<x-1<-2\)，即解集为 \((3，4)\cup(-2，-1)\) 。
思路：绝对值的几何意义或者分类讨论去掉绝对值符号。
- 带有两个绝对值符号的不等式，
如\(|x+1|+|x-2|\leq 3\)，
分区间讨论法，解集为\([-1，2]\)；
- 带有两个绝对值符号的不等式的求解，
如\(|x-2|\ge |2x+1|\)，两边同时平方法，转化为二次不等式求解。
- 带有两个绝对值符号的不等式的转化，
如\(|x-2|\ge |y-4|(x\in [1，2])\)
针对 \(x-2\) 和 \(y-4\) 的正负分类讨论进行转化； 请参阅对应例题
- 带有双层绝对值符号的不等式的转化，
如\(|2|x|-1|\leq 1\)，先将 \(2|x|-1\) 视为一个整体思想，等价转化为 \(-1\)\(\leq\)\(2|x|\)\(-1\)\(\leq\)\(1\)，再转化为 \(0\)\(\leq\)\(2|x|\)\(\leq\)\(2\)，即 \(0\)\(\leq\)\(|x|\)\(\leq\)\(1\)，即 \(|x|\)\(\leq\)\(1\)，即解集为\([-1，1]\)；
典例剖析
分析：约分，得到\(1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3\)，
两边平方，得到\(1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9\)，
两边同加\(-9\)，得到\(-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0\)，
两边同乘以\(-1\)，得到\(0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8\)，
整理为\(0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16\)，
两边同时开平方，得到\(0\leqslant|2+a|\leqslant 4\)，
即\(|a+2|\leqslant 4\)，即\(-4\leqslant a+2\leqslant 4\)，
解得，\(-6\leqslant a\leqslant 2\)；
高阶提升
分析：由题目易知函数的解析式 \(f(x)=2^{|x|}\)，则区间 \([a，a+2]\) 上，\(f(x+a)\ge f^2(x)\) 恒成立，可以转化为 \(2^{|x+a|}\)\(\ge\) \(2^{|2x|}\) 恒成立，接下来可以转化为思路一：\(g(x)=2^{|x+a|}-2^{|2x|}\ge 0\)恒成立，分类讨论，这个思路是个大坑，曾经跳过一次，没有跳出来；思路二：或者利用 \(y=2^t\) 的单调性，等价转化为 \({|x+a|}\ge {|2x|}\) 恒成立，再转化为二次函数恒成立问题求解即可，此思路简单可行。
解：由题目易知函数的解析式\(f(x)=2^{|x|}\)，则区间\([a，a+2]\)上，\(f(x+a)\ge f^2(x)\)恒成立，
可以转化为\(2^{|x+a|}\ge 2^{|2x|}\)恒成立，即\({|x+a|}\ge {|2x|}\)恒成立，
两边平方做差，即\(3x^2-2ax-a^2\leq 0\)在区间\([a，a+2]\)上恒成立，
令\(h(x)=3x^2-2ax-a^2\)，只需满足\(\begin{cases}h(a)\leq 0\\h(a+2)\leq 0\end{cases}\)，
即\(\begin{cases}3a^2-2a^2-a^2\leq 0\\3(a+2)^2-2a(a+2)-a^2\leq 0\end{cases}\)，
解得\(a\leq -\cfrac{3}{2}\).
解后反思：①、将函数\(f(x)\)的解析式做成分段函数的形式，就很容易将思路引入分类讨论；再次提醒最好将函数\(f(x)=2^{|x|}\)看成一个模板函数。②、当转化得到函数\(g(x)=2^{|x+a|}-2^{|2x|}\ge 0\)恒成立后，如果想到分类讨论去掉绝对值符号，就会及其麻烦；③、如果出现了两个绝对值符号，去掉的最好方法就是同时平方的方法。
