绝对值不等式

💎更新于 2024-11-12 09:49 | 发布于 2024-10-23 15:37
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前情概要

初中所学内容， $\sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{array}\right.$ ，是高中所学习的绝对值问题的基础。在去掉绝对值符号时，常常考虑利用定义法 [即分类讨论] 或者平方法 [即利用不等式性质，比如 $|x-2|>|1-x|$ ，两边同时平方变形为 $(x-2)^2>(1-x)^2$ ]，或利用定义法的变形，比如任意 $x_1,x_2\in [1,3]$ ， $|f(x_1)-f(x_2)|\leq 2$ 恒成立，即 $x\in[1,3]$ 时， $f(x)_{\max}-f(x)_{\min}\leq 2$ 恒成立即可.

基础回顾

深入理解基本类型视为其他的求解模板

$|x|$ $\leqslant$ $2$ ，则 $-2$ $\leqslant$ $x\leqslant$ $2$ ；

$|x|$ $\geqslant$ $2$ ，则 $x$ $\leqslant$ $-2$ 或 $x$ $\geqslant$ $2$ ；

比如，由上述模板，可以将 $|x^2-3x|\leq 2$ 转化为 $-2$ $\leqslant$ $x^2-3x\leqslant$ $2$ ；

使用以上的模板就能快速求解以下不等式：

引例①，如 $|x-1|<1$ ，

等价于 $-1<x-1<1$ ，即 $0<x<2$ ；解集为 $x\in (0，2)$

引例②， $2<|x-1|<3$ ，

等价于 $2<x-1<3$ 或者 $-3<x-1<-2$ ，即解集为 $(3，4)\cup(-2，-1)$ 。

思路：绝对值的几何意义或者分类讨论去掉绝对值符号。

带有两个绝对值符号的不等式，

如 $|x+1|+|x-2|\leq 3$ ，

分区间讨论法，解集为 $[-1，2]$ ；

带有两个绝对值符号的不等式的求解，

如 $|x-2|\ge |2x+1|$ ，两边同时平方法，转化为二次不等式求解。

带有两个绝对值符号的不等式的转化，

如 $|x-2|\ge |y-4|(x\in [1，2])$

针对 $x-2$ 和 $y-4$ 的正负分类讨论进行转化；请参阅对应例题

带有双层绝对值符号的不等式的转化，

如 $|2|x|-1|\leq 1$ ，先将 $2|x|-1$ 视为一个整体思想，等价转化为 $-1$ $\leq$ $2|x|$ $-1$ $\leq$ $1$ ，再转化为 $0$ $\leq$ $2|x|$ $\leq$ $2$ ，即 $0$ $\leq$ $|x|$ $\leq$ $1$ ，即 $|x|$ $\leq$ $1$ ，即解集为 $[-1，1]$ ；

典例剖析

求解 $2\leqslant 2\sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}}\leqslant 6$

分析：约分，得到 $1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3$ ，

两边平方，得到 $1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9$ ，

两边同加 $-9$ ，得到 $-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0$ ，

两边同乘以 $-1$ ，得到 $0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8$ ，

整理为 $0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16$ ，

两边同时开平方，得到 $0\leqslant|2+a|\leqslant 4$ ，

即 $|a+2|\leqslant 4$ ，即 $-4\leqslant a+2\leqslant 4$ ，

解得， $-6\leqslant a\leqslant 2$ ；

高阶提升

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x\ge 0$ 时， $f(x)=2^x$ ，在区间 $[a，a+2]$ 上， $f(x+a)\ge f^2(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

分析：由题目易知函数的解析式 $f(x)=2^{|x|}$ ，则区间 $[a，a+2]$ 上， $f(x+a)\ge f^2(x)$ 恒成立，可以转化为 $2^{|x+a|}$ $\ge$ $2^{|2x|}$ 恒成立，接下来可以转化为思路一： $g(x)=2^{|x+a|}-2^{|2x|}\ge 0$ 恒成立，分类讨论，这个思路是个大坑，曾经跳过一次，没有跳出来；思路二：或者利用 $y=2^t$ 的单调性，等价转化为 ${|x+a|}\ge {|2x|}$ 恒成立，再转化为二次函数恒成立问题求解即可，此思路简单可行。

解：由题目易知函数的解析式 $f(x)=2^{|x|}$ ，则区间 $[a，a+2]$ 上， $f(x+a)\ge f^2(x)$ 恒成立，

可以转化为 $2^{|x+a|}\ge 2^{|2x|}$ 恒成立，即 ${|x+a|}\ge {|2x|}$ 恒成立，

两边平方做差，即 $3x^2-2ax-a^2\leq 0$ 在区间 $[a，a+2]$ 上恒成立，

令 $h(x)=3x^2-2ax-a^2$ ，只需满足 $\begin{cases}h(a)\leq 0\\h(a+2)\leq 0\end{cases}$ ，

即 $\begin{cases}3a^2-2a^2-a^2\leq 0\\3(a+2)^2-2a(a+2)-a^2\leq 0\end{cases}$ ，

解得 $a\leq -\cfrac{3}{2}$ .

解后反思：①、将函数 $f(x)$ 的解析式做成分段函数的形式，就很容易将思路引入分类讨论；再次提醒最好将函数 $f(x)=2^{|x|}$ 看成一个模板函数。②、当转化得到函数 $g(x)=2^{|x+a|}-2^{|2x|}\ge 0$ 恒成立后，如果想到分类讨论去掉绝对值符号，就会及其麻烦；③、如果出现了两个绝对值符号，去掉的最好方法就是同时平方的方法。