绝对值不等式
系统总结绝对值不等式的求解
前情概要
初中所学内容， \(\sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{array}{l}a,&a\geqslant 0\\-a,&a<0\end{array}\right.\)，是高中所学习的绝对值问题的基础。在去掉绝对值符号时，常常考虑利用定义法[即分类讨论]或者平方法[即利用不等式性质，比如 \(|x-2|>|1-x|\)，两边同时平方变形为 \((x-2)^2>(1-x)^2\)]，或利用定义法的变形，比如任意 \(x_1,x_2\in [1,3]\)，\(|f(x_1)-f(x_2)|\leq 2\) 恒成立，即 \(x\in[1,3]\) 时，\(f(x)_{\max}-f(x)_{\min}\leq 2\) 恒成立即可.
基础回顾
- 深入理解基本类型视为其他的求解模板
\(|x|\)\(\leqslant\)\(2\)，则 \(-2\)\(\leqslant\)\(x\leqslant\)\(2\)；
\(|x|\)\(\geqslant\)\(2\)，则\(x\)\(\leqslant\)\(-2\)或\(x\)\(\geqslant\)\(2\)；
比如，由上述模板，可以将 \(|x^2-3x|\leq 2\) 转化为 \(-2\)\(\leqslant\)\(x^2-3x\leqslant\)\(2\)；
- 使用以上的模板就能快速求解以下不等式：
引例①，如 \(|x-1|<1\)，
等价于 \(-1<x-1<1\) ，即 \(0<x<2\) ；解集为 \(x\in (0，2)\)
引例②，\(2<|x-1|<3\)，
等价于 \(2<x-1<3\) 或者 \(-3<x-1<-2\)，即解集为 \((3，4)\cup(-2，-1)\) 。
思路：绝对值的几何意义或者分类讨论去掉绝对值符号。
- 带有两个绝对值符号的不等式，
如\(|x+1|+|x-2|\leq 3\)，
分区间讨论法，解集为\([-1，2]\)；
- 带有两个绝对值符号的不等式的求解，
如\(|x-2|\ge |2x+1|\)，两边同时平方法，转化为二次不等式求解。
- 带有两个绝对值符号的不等式的转化，
如\(|x-2|\ge |y-4|(x\in [1，2])\)
针对 \(x-2\) 和 \(y-4\) 的正负分类讨论进行转化； 请参阅对应例题
- 带有双层绝对值符号的不等式的转化，
如\(|2|x|-1|\leq 1\)，先将 \(2|x|-1\) 视为一个整体思想，等价转化为 \(-1\)\(\leq\)\(2|x|\)\(-1\)\(\leq\)\(1\)，再转化为 \(0\)\(\leq\)\(2|x|\)\(\leq\)\(2\)，即 \(0\)\(\leq\)\(|x|\)\(\leq\)\(1\)，即 \(|x|\)\(\leq\)\(1\)，即解集为\([-1，1]\)；
典例剖析
分析：约分，得到\(1\leqslant \sqrt{3^2-\cfrac{|2+a|^2}{2}} \leqslant 3\)，
两边平方，得到\(1\leqslant 9-\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9\)，
两边同加\(-9\)，得到\(-8=1-9\leqslant -\cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 9-9=0\)，
两边同乘以\(-1\)，得到\(0\leqslant \cfrac{|2+a|^2}{2}\leqslant 8\)，
整理为\(0\leqslant|2+a|^2\leqslant 16\)，
两边同时开平方，得到\(0\leqslant|2+a|\leqslant 4\)，
即\(|a+2|\leqslant 4\)，即\(-4\leqslant a+2\leqslant 4\)，
解得，\(-6\leqslant a\leqslant 2\)；
