指数不等式与对数不等式
详述指数不等式与对数不等式的基本求解算理与高阶应用
前情概要
看到学生对指数不等式和对数不等式比较陌生，故从这篇各种不等式的解法收集博文中分离出来单独成篇，详细说明这两种恼人的不等式的解法算理 .
指数不等式
我们知道，\(2^x\) 称为指数式，那么含有指数式的不等式就可以称为指数不等式了 .最简单的指数不等式，举个例子，\(2^x\)\(>\)\(4\)，我们一口就能说出答案，\(x\)\(>\)\(2\)，但是遇到 \(2^x\)\(>\)\(3\)，一般学生思路就有点涩滞卡壳了，其实和上述一样，只要将常数 \(3\) 指数化就可以了，此处用到对数恒等式 \(3=2^{\log_23}\) [1]，这样 \(2^x\)\(>\)\(3\)，我们就可以将其等价转化为 \(2^x\)\(>\)\(2^{\log_23}\)，利用指数函数的单调性 [2]，你也能很快解出来 \(x>\log_23\) . 这样的不等式虽说简单，但使用频度很高，在用导数判断函数的单调性时经常使用 .
只是你需要突破 \(\log_23\) 和 \(2\) 一样都是实数这一点，思维上就没有卡壳的地方了，到此你也能感悟到求解指数不等式其本质是利用指数函数的单调性，将指数不等式转化为代数不等式，将上述的引例抽象为 \(2^{f(x)}\)\(>\)\(2^{g(x)}\)，还可以再次抽象为 \(a^{f(x)}\)\(>\)\(a^{g(x)}\) 或 \(a^{f(x)}\)\(>\)\(a^{g(x)}\) .
指数不等式常用转化变形： 指数不等式[属于超越不等式] \(\Longleftrightarrow\) 代数不等式
当 \(a>1\) 时，\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) \(\Longleftrightarrow\) \({f(x)}>{g(x)}\)
当 \(0<a<1\) 时，\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) \(\Longleftrightarrow\) \({f(x)}<{g(x)}\)
解析：先等价转化为 \(3^{x^2-3x-1}\)\(<\)\(3^{1-2x}\)，利用函数 \(y=3^t\) 的单调性[单调递增]，
再转化为代数不等式 \(x^2-3x-1\)\(<\)\(1-2x\)，即解集为 \((-1，2)\)；
解析：首先等价变形为 \(4\times(2^x)^2+3\times 2^x-1\ge 0\)，换元法，令 \(2^x=t>0\)，
则原不等式转化为 \(4t^2+3t-1\ge 0\)，解得 \(t\leq -1\)(舍去) 或 \(t>\cfrac{1}{4}\)
故 \(2^x>\cfrac{1}{4}=2^{-2}\)，则 \(x>-2\)，解集为\((-2，+\infty)\)；
对应练习01
① 解不等式： \(2^x>3.2\) .
提示：为了有效利用指数函数的单调性，需要先将常数指数化，
即 \(3.2=2^{log_2{3.2}}\)，则原不等式变形为 \(2^x>2^{log_2{3.2}}\)，
利用函数 \(y=2^t\) 的单调性[单调递增]，将原不等式等价转化为 \(x>log_2{3.2}\)，
故解集为 \((log_2{3.2}，+\infty)\)；
② \(e^{x-1}>2\)，即\(e^{x-1}>e^{ln2}\)，，解集为\((1+ln2，+\infty)\)；
③ \(81\times3^{2x}\ge (\cfrac{1}{9})^{x+2}\)，解集为\((-2，+\infty)\)；
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对数不等式
\(\log_2x\) 为对数式，含有对数式的不等式称为对数不等式 . 举个简单引例，比如 \(\log_2x\)\(<\)\(1\)，为了能利用对数函数的单调性，将不等式中的常数 \(1\) 对数化为 \(\log_22\)[3]，即 \(\log_2x\)\(<\)\(\log_22\)\(=\)\(1\)，即 \(x<2\)，但是这个结果是不对的，原因是没有考虑定义域，即还需要 \(x>0\)，故一般 \(\log_2x\)\(<\)\(\log_22\)\(=\)\(1\) 应该等价转化为 \(\left\{\begin{array}{l}{x>0①}\\{x<2②}\end{array}\right.\)，故解集为\((0，2)\)；为防止忘记定义域的限制，你可以这样理解，要解不等式，首先需要不等式两端的式子是有意义的，这样你就能想到首先考虑定义域的限制 .很显然，对数不等式的求解比指数不等式要多考虑一个因素，这也是学生求解中最容易犯的错误，弄清楚原理，也就能规避错误了 .
解析：由于 \(\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2x+1}}=\log_{2^{-1}}(2x+1)^{-1}=\log_2(2x+1)\)，
故原不等式可以等价转化为 \(log_2{(x-2)}<log_2{(2x+1)}\)，
利用对数函数 \(y=\log_2m\) 的单调性[单调递增]和定义域限制，
这样再转化为代数不等式组，即 \(\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\{2x+1>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.\) [4]
解得，解集为 \((2，+\infty)\)；
对数不等式常用转化变形： 对数不等式[属于超越不等式] \(\Longleftrightarrow\) 代数不等式
当 \(a>1\) 时，\(\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l}f(x) >0,&定义域角度限制\\g(x)>0,&定义域角度限制\\f(x)>g(x),&单调性角度限制\end{array}\right.\)
当 \(0<a<1\) 时，\(\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l}f(x) >0,&定义域角度限制\\g(x)>0,&定义域角度限制\\f(x)<g(x),&单调性角度限制\end{array}\right.\)
对应练习02
①解不等式： \(\log_2{(x+1)}<2.5\) .
提示：为了能有效利用对数函数的单调性，先将常数对数化，
\(2.5\)\(=\)\(2.5\)\(\times\)\(\log_22\)\(=\)\(\log_22^{2.5}\)\(=\)\(\log_22^{\frac{5}{2}}\)\(=\)\(\log_2{4\sqrt{2}}\)，
原对数不等式即 \(\log_2{(x+1)}<\log_2{4\sqrt{2}}\)，
利用对数函数 \(y=\log_2m\) 的单调性[单调递增]和定义域限制，
将原不等式等价转化为代数不等式组，即 \(\left\{\begin{array}{l}{x+1>0}\\x+1<4\sqrt{2}\end{array}\right.\)
解得，解集为 \((-1，4\sqrt{2}-1)\)；
② \(\ln a<-\cfrac{2}{e}\)，解集为 \((0,e^{-\frac{2}{e}})\)
③ \(\log^2_2{x}-3\cdot log_2{x}+2<0\)，解集为\((2，4)\)； [5]
高阶应用
解：两边取自然对数，得到\(x\cdot \ln\cfrac{x}{\ln x}>\cfrac{x}{\ln x}\cdot\ln x\)，
整理为 \(\ln \cfrac{x}{\ln x}>1\)，即\(\ln \cfrac{x}{\ln x}>\ln e\)，
故得到，\(\cfrac{x}{\ln x}>e\)，即 \(\cfrac{x}{e}>\ln x\)，即 \(\cfrac{x}{e}-\ln x>0\)，
借助图像或用导数求解如下，
令\(g(x)=\cfrac{x}{e}-\ln x\)，则\(g'(x)=\cfrac{1}{e}-\cfrac{1}{x}\)，
故当\(x\in(1,e)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，
当\(x\in (e,+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
故\(g(x)_{\min}=g(e)=0\)，故\(g(x)\geqslant0\)，
因此，不等式\(\cfrac{x}{e}>\ln x\)的解集为\(x\in (1,e)\cup(e,+\infty)\) .
分析：由区间\([0，2]\)单调递增，和奇函数可知，则函数在区间\([-2，0]\)上单调递增，
故函数\(f(x)\)在区间\([-2，2]\)单调递增，
再由定义域和单调性可知\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)
解集为 \((0,\cfrac{1}{3}]\) .
延申阅读
当你对以上的内容理解透彻，没有任何问题时，恭喜你，你可以进阶到以下内容了
对于对数恒等式一般常规的用法是 \(2^{\log_23}=3\)，她的作用是化简，而逆向使用 \(3=2^{\log_23}\)，是将常数指数化 . ↩︎
借助指数函数 \(y\)\(=\)\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)，\(t\)\(\in\)\(R\)，增函数，不等式左端 \(2^x\)\(=\)\(f(x)\)，右端 \(2^{\log_23}\)\(=\)\(f({\log_23})\)，整个不等式即 \(f(x)\)\(>\)\(f({\log_23})\)，由于所依托的函数是单调递增的，故得到 \(x\)\(>\)\(\log_23\)， ↩︎
\(1\)\(=\)\(1\)\(\times\)\(\log_22\)\(=\)\(\log_22^1\)\(=\)\(\log_22\)，其他的比如求解 \(\log_3(2x+1)\)\(>\)\(3.1\) 时，将常数对数化，这样做，\(3.1\)\(=\)\(3.1\)\(\times\)\(\log_33\)\(=\)\(\log_33^{3.1}\)，故等价转化得到 \(2x+1\)\(>\)\(0\) 且 \(2x+1\)\(>\)\(3^{3.1}\)，此时由不等式性质可知，只需要解 \(2x+1\)\(>\)\(3^{3.1}\) 就可以得到解集 . ↩︎
由不等式性质可知，不等式组 \(\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\{2x+1>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.\) 等价于 \(\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.\)，解的越少自然越快 . ↩︎
说明：\(\log^2_2{x}=(log_2{x})^2\)，类似的写法有 \(\sin^2\theta=(\sin\theta)^2\)， ↩︎
