指数不等式与对数不等式

💎更新于 2024-11-05 18:08 | 发布于 2024-10-22 10:53
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前情概要

看到学生对指数不等式和对数不等式比较陌生，故从这篇各种不等式的解法收集博文中分离出来单独成篇，详细说明这两种恼人的不等式的解法算理 .

指数不等式

我们知道， $2^x$ 称为指数式，那么含有指数式的不等式就可以称为指数不等式了。最简单的指数不等式，举个例子， $2^x$ $>$ $4$ ，我们一口就能说出答案， $x$ $>$ $2$ ，但是遇到 $2^x$ $>$ $3$ ，一般学生思路就有点涩滞卡壳了，其实和上述一样，只要将常数 $3$ 指数化就可以了，此处用到对数恒等式 $3=2^{\log_23}$ ^[1]，这样 $2^x$ $>$ $3$ ，我们就可以将其等价转化为 $2^x$ $>$ $2^{\log_23}$ ，利用指数函数的单调性 ^[2]，你也能很快解出来 $x>\log_23$ . 这样的不等式虽说简单，但使用频度很高，在用导数判断函数的单调性时经常使用 .

只是你需要突破 $\log_23$ 和 $2$ 一样都是实数这一点，思维上就没有卡壳的地方了，到此你也能感悟到求解指数不等式其本质是利用指数函数的单调性，将指数不等式转化为代数不等式，将上述的引例抽象为 $2^{f(x)}$ $>$ $2^{g(x)}$ ，还可以再次抽象为 $a^{f(x)}$ $>$ $a^{g(x)}$ 或 $a^{f(x)}$ $>$ $a^{g(x)}$ .

指数不等式常用转化变形：指数不等式 [属于超越不等式] $\Longleftrightarrow$ 代数不等式

当 $a>1$ 时， $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ $\Longleftrightarrow$ ${f(x)}>{g(x)}$

当 $0<a<1$ 时， $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ $\Longleftrightarrow$ ${f(x)}<{g(x)}$

解不等式： $3^{x^2-3x-1}$ $<$ $(\cfrac{1}{3})^{2x-1}$

解析：先等价转化为 $3^{x^2-3x-1}$ $<$ $3^{1-2x}$ ，利用函数 $y=3^t$ 的单调性 [单调递增]，

再转化为代数不等式 $x^2-3x-1$ $<$ $1-2x$ ，即解集为 $(-1，2)$ ；

解不等式： $2^{2x+2}+3\times2^x-1\ge 0$

解析：首先等价变形为 $4\times(2^x)^2+3\times 2^x-1\ge 0$ ，换元法，令 $2^x=t>0$ ，

则原不等式转化为 $4t^2+3t-1\ge 0$ ，解得 $t\leq -1$ (舍去) 或 $t>\cfrac{1}{4}$

故 $2^x>\cfrac{1}{4}=2^{-2}$ ，则 $x>-2$ ，解集为 $(-2，+\infty)$ ；

对应练习 01

① 解不等式： $2^x>3.2$ .

提示：为了有效利用指数函数的单调性，需要先将常数指数化，

即 $3.2=2^{log_2{3.2}}$ ，则原不等式变形为 $2^x>2^{log_2{3.2}}$ ，

利用函数 $y=2^t$ 的单调性 [单调递增]，将原不等式等价转化为 $x>log_2{3.2}$ ，

故解集为 $(log_2{3.2}，+\infty)$ ；

② $e^{x-1}>2$ ，即 $e^{x-1}>e^{ln2}$ ，，解集为 $(1+ln2，+\infty)$ ；

③ $81\times3^{2x}\ge (\cfrac{1}{9})^{x+2}$ ，解集为 $(-2，+\infty)$ ；

⚠️ 相关的计算提升阅读：指数运算；指数对数以及根式的运算

对数不等式

$\log_2x$ 为对数式，含有对数式的不等式称为对数不等式。举个简单引例，比如 $\log_2x$ $<$ $1$ ，为了能利用对数函数的单调性，将不等式中的常数 $1$ 对数化为 $\log_22$ ^[3]，即 $\log_2x$ $<$ $\log_22$ $=$ $1$ ，即 $x<2$ ，但是这个结果是不对的，原因是没有考虑定义域，即还需要 $x>0$ ，故一般 $\log_2x$ $<$ $\log_22$ $=$ $1$ 应该等价转化为 $\left\{\begin{array}{l}{x>0①}\\{x<2②}\end{array}\right.$ ，故解集为 $(0，2)$ ；为防止忘记定义域的限制，你可以这样理解，要解不等式，首先需要不等式两端的式子是有意义的，这样你就能想到首先考虑定义域的限制。很显然，对数不等式的求解比指数不等式要多考虑一个因素，这也是学生求解中最容易犯的错误，弄清楚原理，也就能规避错误了 .

解不等式： $\log_2{(x-2)}-\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2x+1}}<0$ ，

解析：由于 $\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2x+1}}=\log_{2^{-1}}(2x+1)^{-1}=\log_2(2x+1)$ ，

故原不等式可以等价转化为 $log_2{(x-2)}<log_2{(2x+1)}$ ，

利用对数函数 $y=\log_2m$ 的单调性 [单调递增] 和定义域限制，

这样再转化为代数不等式组，即 $\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\{2x+1>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.$ ^[4]

解得，解集为 $(2，+\infty)$ ；

⚠️ 相关的计算提升阅读：对数运算；对数的运算困惑

对数不等式常用转化变形：对数不等式 [属于超越不等式] $\Longleftrightarrow$ 代数不等式

当 $a>1$ 时， $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin {array}{l} f (x) >0,& 定义域角度限制 \\g (x)>0,& 定义域角度限制 \\f (x)>g (x),& 单调性角度限制 \end {array}\right.$

当 $0<a<1$ 时， $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin {array}{l} f (x) >0,& 定义域角度限制 \\g (x)>0,& 定义域角度限制 \\f (x)<g (x),& 单调性角度限制 \end {array}\right.$

对应练习 02

①解不等式： $\log_2{(x+1)}<2.5$ .

提示：为了能有效利用对数函数的单调性，先将常数对数化，

$2.5$ $=$ $2.5$ $\times$ $\log_22$ $=$ $\log_22^{2.5}$ $=$ $\log_22^{\frac{5}{2}}$ $=$ $\log_2{4\sqrt{2}}$ ，

原对数不等式即 $\log_2{(x+1)}<\log_2{4\sqrt{2}}$ ，

利用对数函数 $y=\log_2m$ 的单调性 [单调递增] 和定义域限制，

将原不等式等价转化为代数不等式组，即 $\left\{\begin{array}{l}{x+1>0}\\x+1<4\sqrt{2}\end{array}\right.$

解得，解集为 $(-1，4\sqrt{2}-1)$ ；

② $\ln a<-\cfrac{2}{e}$ ，解集为 $(0,e^{-\frac{2}{e}})$

③ $\log^2_2{x}-3\cdot log_2{x}+2<0$ ，解集为 $(2，4)$ ； ^[5]

高阶应用

解不等式： $(\frac{x}{\ln x})^x>x^{\frac{x}{\ln x}}$ ， $x>1$

解：两边取自然对数，得到 $x\cdot \ln\cfrac{x}{\ln x}>\cfrac{x}{\ln x}\cdot\ln x$ ，

整理为 $\ln \cfrac{x}{\ln x}>1$ ，即 $\ln \cfrac{x}{\ln x}>\ln e$ ，

故得到， $\cfrac{x}{\ln x}>e$ ，即 $\cfrac{x}{e}>\ln x$ ，即 $\cfrac{x}{e}-\ln x>0$ ，

借助图像或用导数求解如下，

令 $g(x)=\cfrac{x}{e}-\ln x$ ，则 $g'(x)=\cfrac{1}{e}-\cfrac{1}{x}$ ，

故当 $x\in(1,e)$ 时， $g'(x)<0$ ， $g(x)$ 单调递减，

当 $x\in (e,+\infty)$ 时， $g'(x)>0$ ， $g(x)$ 单调递增，

故 $g(x)_{\min}=g(e)=0$ ，故 $g(x)\geqslant0$ ，

因此，不等式 $\cfrac{x}{e}>\ln x$ 的解集为 $x\in (1,e)\cup(e,+\infty)$ .

已知奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-2，2]$ ，且在区间 $[0，2]$ 单调递增，求解不等式 $f(3x+1)>f(1-2x)$ ，

分析：由区间 $[0，2]$ 单调递增，和奇函数可知，则函数在区间 $[-2，0]$ 上单调递增，

故函数 $f(x)$ 在区间 $[-2，2]$ 单调递增，

再由定义域和单调性可知 $\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.$

解集为 $(0,\cfrac{1}{3}]$ .

延申阅读

当你对以上的内容理解透彻，没有任何问题时，恭喜你，你可以进阶到以下内容了

求解函数不等式 | 给定抽象函数

对于对数恒等式一般常规的用法是 $2^{\log_23}=3$ ，她的作用是化简，而逆向使用 $3=2^{\log_23}$ ，是将常数指数化 . ↩︎
借助指数函数 $y$ $=$ $f(t)$ $=$ $2^t$ ， $t$ $\in$ $R$ ，增函数，不等式左端 $2^x$ $=$ $f(x)$ ，右端 $2^{\log_23}$ $=$ $f({\log_23})$ ，整个不等式即 $f(x)$ $>$ $f({\log_23})$ ，由于所依托的函数是单调递增的，故得到 $x$ $>$ $\log_23$ ， ↩︎
$1$ $=$ $1$ $\times$ $\log_22$ $=$ $\log_22^1$ $=$ $\log_22$ ，其他的比如求解 $\log_3(2x+1)$ $>$ $3.1$ 时，将常数对数化，这样做， $3.1$ $=$ $3.1$ $\times$ $\log_33$ $=$ $\log_33^{3.1}$ ，故等价转化得到 $2x+1$ $>$ $0$ 且 $2x+1$ $>$ $3^{3.1}$ ，此时由不等式性质可知，只需要解 $2x+1$ $>$ $3^{3.1}$ 就可以得到解集 . ↩︎
由不等式性质可知，不等式组 $\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\{2x+1>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.$ 等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x-2>0}\\x-2<2x+1\end{array}\right.$ ，解的越少自然越快 . ↩︎
说明： $\log^2_2{x}=(log_2{x})^2$ ，类似的写法有 $\sin^2\theta=(\sin\theta)^2$ ， ↩︎