从2024新课标全国Ⅰ卷第18题感悟高考变化
通过深度解读2024新课标全国卷Ⅰ的18题，我们自己感悟新高考的变化
前情概要
最直观的感受，新高考的题目数减少，思考的难度增加，运算的难度增加，对普通学生而言，需要选好赛道，找准方法，继续卷，别无他法。或许在静雅斋的链接引导下，当你一步步流畅而深入地学习时，你会慢慢喜欢上数学，不再讨厌这个折磨人的基础学科，那，将是我莫大的荣幸。
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高考真题
(1). 若 \(b=0\) ，且 \(f'(x)\geqslant 0\)，求 \(a\) 的最小值；
分析：此题目属于不等式恒成立，求参数的取值范围问题，是往年的常规考查类型，很常见，必须掌握的类型；
解法1️⃣：由 \(\cfrac{x}{2-x}>0\) 求得函数 \(f(x)\) 定义域为 \((0,2)\)，
\(b=0\) 时， \(f(x)=\ln\cfrac{x}{2-x}+ax\)，其中 \(x \in(0,2)\)，
则 \(f^{\prime}(x)\)\(=\)\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a\)\(=\)\(\cfrac{2}{x(2-x)}\)\(+\)\(a\) [1] ，\(x\in(0,2)\)，
因为 \(x(2-x)\leqslant\left(\cfrac{2-x+x}{2}\right)^2=1\) [2]，当且仅当 \(x=1\) 时等号成立，
故 \(f^{\prime}(x)_{\min }=2+a\)，而 \(f^{\prime}(x)\geqslant 0\) 恒成立，还有哪些问题都能转化为不等式恒成立命题
故 \(a+2\geqslant 0\)，即 \(a\geqslant -2\)，所以 \(a\) 的最小值为 \(-2\) .
解法2️⃣：由 \(\cfrac{x}{2-x}>0\) 求得函数 \(f(x)\) 定义域为 \((0,2)\)，
\(b=0\) 时， \(f(x)=\ln\cfrac{x}{2-x}+ax\)，其中 \(x \in(0,2)\)，
\(f(x)=\ln x-\ln(2-x)+ax\)，[注释：做这样的变形会非常方便下一步的求导运算]，
则 \(f^{\prime}(x)\)\(=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{2-x}\times(2-x)'+a=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a\)，
由题目可知，\(f'(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a\geqslant 0\) 恒成立，此时我们最容易想到的就是分离参数
得到， \(-a\leqslant \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}\) 在 \((0,2)\) 上恒成立分离参数时，将 \(-a\) 作为一个整体，要比将 \(a\) 作为一个整体好的多，接下来求 \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}=g(x)\) 的最小值 .， 恒成立能成立命题赏析
\(g(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}=\cfrac{1}{2}\times2\times(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x})\)
\(=\cfrac{1}{2}\times[x+(2-x)]\times(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x})\)
\(=\cfrac{1}{2}(1+1+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{x}{2-x})\)
\(\geqslant\cfrac{1}{2}(2+2\sqrt{\cfrac{x}{2-x}\times\cfrac{2-x}{x}})=2\)， 意犹未尽
当且仅当 \(\cfrac{x}{2-x}=\cfrac{2-x}{x}\) ，即 \(x\)\(=\)\(1\)\(\in\)\((0,2)\) 时取得等号，
故 \(-a\leqslant 2\)，即 \(a\geqslant -2\)，所以 \(a\) 的最小值为 \(-2\) .
(2). 证明：曲线 \(y=f(x)\) 是中心对称图形；
分析：此题目感觉是近几年高考中很少考查到的类型，今年新出现，需要引起高度重视，说明对函数的性质的考查越来越深入，其实新教材中已经有了类似的例题了，2019新人教 A 版\(P_{87}\) 拓广探究第 \(13\) 题
证法1️⃣：由 \(\cfrac{x}{2-x}>0\) 求得函数 \(f(x)\) 定义域为 \((0,2)\)，[3]
设 \(P(m, n)\) 为 \(y=f(x)\) 图象上任意一点，\(P(m, n)\) 关于 \((1, a)\) 由定义域的中点得到对称中心的横坐标 \(x=1\)，将 \(x=1\) 代入 \(f(x)\) 得到 \(y=a\)，故若是对称的，则对称中心坐标为 \((1,a)\)的对称点为 \(Q(2-m, 2 a-n)\)，
因为 \(P(m, n)\) 在 \(y=f(x)\) 图象上, 故 \(n\)\(=\)\(\ln\cfrac{m}{2-m}\)\(+\)\(am\)\(+\)\(b(m-1)^3\),
而 \(f(2-m)\)\(=\)\(\ln\cfrac{2-m}{m}\)\(+\)\(a(2-m)\)\(+\)\(b(2-m-1)^3\)
\(=\)\(-\)\(\left[\ln\cfrac{m}{2-m}+am+b(m-1)^3\right]\)\(+\)\(2a\)\(=\)\(-n+2a\)\(=\)\(2a-n\)，
所以 \(Q(2-m, 2a-n)\) 也在 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 图象上，
由 \(P\) 的任意性可得曲线 \(y=f(x)\) 为中心对称图形，且对称中心为 \((1, a)\)，命题得证 .
证法2️⃣：由 \(\cfrac{x}{2-x}>0\) 求得定义域为 \((0,2)\)，
若曲线 \(y=f(x)\) 为中心对称图形，则其对称中心必为 \((1,a)\)，
由此可知 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(a\) 的定义域为 \((-1,1)\)，且其对称中心为 \((0,0)\)，
即 \(F(x)\) 为奇函数，则必然满足 \(F(x)+F(-x)=0\) 恒成立，
又 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(a\)\(=\)\(\ln\cfrac{x+1}{2-(x+1)}\)\(+\)\(a(x+1)\)\(+\)\(b[(x+1)-1]^3\)\(-\)\(a\)，
\(F(-x)\)\(=\)\(f(-x+1)\)\(-\)\(a\)\(=\)\(\ln\cfrac{-x+1}{2-(-x+1)}\)\(+\)\(a(-x+1)\)\(+\)\(b[(-x+1)-1]^3\)\(-\)\(a\)，
现有 \(\bigg(\)\(\ln\cfrac{x+1}{1-x}\)\(+\)\(ax\)\(+\)\(a\)\(+\)\(bx^3\)\(-a\)\(\bigg)\)\(+\)\(\bigg(\)\(\ln\cfrac{-x+1}{x+1}\)\(-\)\(ax\)\(+\)\(a\)\(-\)\(bx^3\)\(-\)\(a\)\(\bigg)\)\(=\)\(0\) 恒成立，
即 \(F(x)+F(-x)=0\) 恒成立，以上过程逆推成立，
即 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(a\) 为奇函数，对称中心为 \((0,0)\)，
故\(f(x)\) 必为中心对称图形将 \(F(x)\) 的图象向右平移一个单位，再向下( \(a<0\) )或向上( \(a>0\) )平移 \(|a|\) 个单位，即得到函数 \(f(x)\)，且对称中心为 \((1,a)\)，得证。 想了解图象的变换吗
证法3️⃣：由 \(\cfrac{x}{2-x}>0\) 求得定义域为 \((0,2)\)，
构造函数 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(a\)，[4] 则 \(F(x)\) 的定义域为 \((-1,1)\)，
又 \(F(x)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(a\)\(=\)\(\ln\cfrac{x+1}{2-(x+1)}\)\(+\)\(a(x+1)\)\(+\)\(b[(x+1)-1]^3\)\(-\)\(a\)，
\(F(-x)\)\(=\)\(f(-x+1)\)\(-\)\(a\)\(=\)\(\ln\cfrac{-x+1}{2-(-x+1)}\)\(+\)\(a(-x+1)\)\(+\)\(b[(-x+1)-1]^3\)\(-\)\(a\)，
则 \(\bigg(\)\(\ln\cfrac{x+1}{1-x}\)\(+\)\(ax\)\(+\)\(a\)\(+\)\(bx^3\)\(-a\)\(\bigg)\)\(+\)\(\bigg(\)\(\ln\cfrac{-x+1}{x+1}\)\(-\)\(ax\)\(+\)\(a\)\(-\)\(bx^3\)\(-\)\(a\)\(\bigg)\)\(=\)\(0\) 恒成立，
即 \(F(x)+F(-x)=0\) 恒成立，故函数 \(F(x)\) 为奇函数，对称中心为 \((0,0)\)，
将 \(F(x)\) 的图象向右平移一个单位，再向下( \(a<0\) )或向上( \(a>0\) )平移 \(|a|\) 个单位，即得到函数 \(f(x)\)
故 \(f(x)\) 必为中心对称图形，且对称中心为 \((1,a)\)，得证。
证法4️⃣：由于 \(f(x)\)\(=\)\(\ln\cfrac{x}{2-x}\)\(+\)\(ax\)\(+\)\(b(x-1)^3\)， 释疑[5]
\(f(2-x)\)\(=\)\(\ln\cfrac{2-x}{2-(2-x)}\)\(+\)\(a(2-x)\)\(+\)\(b[(2-x)-1]^3\)\(=\)\(\ln\cfrac{2-x}{x}\)\(+\)\(a(2-x)\)\(+\)\(b(1-x)^3\) ，
则 \(f(x)+f(2-x)\)\(=\)\(\bigg[\ln\cfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3\bigg]\)\(+\)\(\bigg[\ln\cfrac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x)^3\bigg]\)\(=\)\(2a\)
故由 \(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)\)\(=\)\(2a\) 可知，函数 \(f(x)\) 关于点 \((1,a)\) 成中心对称图形，得证 .
(3). 若 \(f(x)\)\(>\)\(-2\) 当且仅当 \(1<x<2\) ，求 \(b\) 的取值范围；
分析：本小问的难点有两个：其一如何处理参数 \(a\)，其二如何准确理解题目中的“若 \(f(x)>-2\) 当且仅当 \(1<x<2\)”，若能理解第三小问的意思是由不等式恰成立命题【释疑】，告诉你方程 \(f(x)=-2\) 的一个解为 \(x=1\)[\(x=2\) 不是方程的解，定义域中就没有这个值]，那么就可以由此求得 \(a\) 值，从而将问题可以转化为已知不等式恒成立命题，求参数 \(b\) 的取值范围，从而将含有两个参数 \(a\) 和 \(b\) 的函数变为含有一个参数\(b\) 的函数，就成了我们可解的问题类型了；
解法1️⃣：由于 \(f(x)>-2\) 当且仅当 \(1<x<2\)，故 \(x=1\) 为 \(f(x)=-2\) 的一个解，
所以 \(f(1)=-2\) 即 \(a=-2\)，此时原题目变为，\(\ln\cfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3>-2\) 当且仅当 \(1<x<2\) .
先考虑 \(1<x<2\) 时，\(f(x)>-2\) 恒成立 . 由于此时 \(f(x)>-2\) 恒成立[6]，
即为 \(\ln\cfrac{x}{2-x}+2(1-x)+b(x-1)^3>0\) 在 \((1,2)\) 上恒成立，
设 \(t=x-1 \in(0,1)\)，则\(\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3>0\)此处采用了换元法，目的就是让函数的形式变得简单，有利于下一步求导，从而分析函数的性质，更多情形，请参阅换元法 在 \((0,1)\) 上恒成立，
设 \(g(t)=\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3\)，\(t\in(0,1)\) ，
则 \(g^{\prime}(t)\)\(=\)\(\cfrac{2}{1-t^2}-2+3bt^2\)\(=\)\(\cfrac{t^2(-3bt^2+2+3b)}{1-t^2}\)这种思路没有采用分离参数的解法，是考虑到分离参数后函数变得很复杂，不好求导分析函数的性质，注意到因子 \(t^2\)\(>\)\(0\) 且 \(1\)\(-\)\(t^2\)\(>\)\(0\)，故只要重点分析仿二次函数 \(y\)\(=\)\(-3bt^2\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3b\) 的正负即可分析清楚导函数的正负. 此处的分类标准其一：二次项系数 \(-3b\) 的正负；其二常数项\(2+3b\) 的正负，
\(1^{\circ}\) 当 \(b\geq 0\) 时，\(-3bt^2+2+3b>-3b+2+3b=2>0\)，\(t^2>0\)，\(1-t^2>0\)，故 \(g^{\prime}(t)>0\) 恒成立，
故 \(g(t)\) 在 \((0,1)\) 上为增函数，故 \(g(t)>g(0)=0\) 即 \(f(x)>-2\) 在 \((1,2)\) 上恒成立 .
\(2^{\circ}\) 当 \(-\cfrac{2}{3}\leq b<0\) 时，\(-3bt^2+2+3b>2+3b\geq 0\)，
故 \(g^{\prime}(t)\geq 0\) 恒成立， 故 \(g(t)\) 在 \((0,1)\) 上为增函数，
故 \(g(t)>g(0)=0\) 即 \(f(x)>-2\) 在 \((1,2)\) 上恒成立 .
\(3^{\circ}\) 当 \(b<-\cfrac{2}{3}\)， 则当 \(0<t<\sqrt{1+\cfrac{2}{3b}}<1\) 时，\(g^{\prime}(t)<0\)，
故在 \((0,\sqrt{1+\cfrac{2}{3b}})\) 上 \(g(t)\) 为减函数，故 \(g(t)<g(0)=0\)，不合题意，舍去；
综上， \(f(x)>-2\) 在 \((1,2)\) 上恒成立时 \(b\geq -\cfrac{2}{3}\) .
而当 \(b \geq-\cfrac{2}{3}\) 时，由上述过程可得 \(g(t)\) 在 \((0,1)\) 递增，
故 \(g(t)>0\) 的解为 \((0,1)\)，即 \(f(x)>-2\) 的解为 \((1,2)\) .
综上，\(b\geq-\cfrac{2}{3}\) .
解法2️⃣：由于 \(f(x)>-2\) 当且仅当 \(1<x<2\)，故 \(x=1\) 为 \(f(x)=-2\) 的一个解，
所以 \(f(1)=-2\) 即 \(a=-2\)，此时原题目变为，\(\ln\cfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3>-2\) 当且仅当 \(1<x<2\) .
先考虑 \(1<x<2\) 时，\(f(x)>-2\) 恒成立 . 由于此时 \(f(x)>-2\) 恒成立 ，
即为 \(\ln\cfrac{x}{2-x}+2(1-x)+b(x-1)^3>0\) 在 \((1,2)\) 上恒成立，
设 \(t=x-1 \in(0,1)\)，则\(\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3>0\)此处采用了换元法，目的就是让函数的形式变得简单，有利于下一步求导，从而分析函数的性质，更多情形，请参阅换元法 在 \((0,1)\) 上恒成立，
到此，我们一般会想到分离参数法，得到 \(b>\cfrac{2t-\ln\cfrac{t+1}{1-t}}{t^3}\) 在 \((0,1)\) 上恒成立，
然后，令 \(g(t)=\cfrac{2t-\ln\cfrac{t+1}{1-t}}{t^3}\)，求 \(g(t)_{\max}\) 即可，解题的框架是搭起来了，但是接下来要用导数判断函数的单调性，求导后的函数形式会变得非常的复杂，而且求一次导还看不出正负，还需要再进一步求导，形式变得更复杂，此时用电脑验证了函数的单调性，在 \((0,1)\) 上是单调递减的；同时，求 \(g(0)\) 时还需要用到洛必达法则，就更复杂，思路到此几乎停滞了，写到这儿，是想提醒我们自己，解题时的思路选择比努力更重要，到此打住了 .
延申阅读
此处的 \(f'(x)\)\(\geqslant\)\(0\)，即 \(f'(x)\)\(\geqslant\)\(0\) 恒成立，则只需要 \(f'(x)\) 的最小值大于等于零即可；另外此处的求导，学生一般会遵从这样的思路：令 \(u=\cfrac{x}{2-x}\)，则 \(y'_x\)\(=\)\(y'_u\)\(\cdot\)\(u'_x\)\(=\)\((\ln u)'\)\(\cdot\)\((\cfrac{x}{2-x})'\)，故有 \(f'(x)\)\(=\)\(\cfrac{1}{\frac{x}{2-x}}\)\(\times\)\((\cfrac{x}{2-x})'\)\(=\)\(\cfrac{2-x}{x}\)\(\times\)\(\cfrac{1\cdot(2-x)-x\cdot(-1)}{(2-x)^2}\)\(=\)\(\cfrac{2}{x(2-x)}\)，这样求导就复杂了，如果针对解析式先化简然后求导，难度会降低不少，那么还有哪些问题涉及先化简再处理能简单些呢？请参阅1：化简化简更简单；同时请参阅2：复合函数的求导 ↩︎
由上式求最小值，依托倒数关系，转化求得 \(x(2-x)\) 的最大值，就能得到 \(f'(x)\) 的最小值，此处采用的公式： \(a\cdot b\leqslant(\cfrac{a+b}{2})^2\) . ↩︎
求得函数的定义域以后，此时我们已经可以知道关于对称性的相关情况了，即若曲线是中心对称图形，则其对称中心一定为 \((1,f(1))\)，此题目中为 \((1,a)\) ；若曲线是轴对称图形，则其对称轴一定是直线 \(x=1\) .
进一步说明，若要证明中心对称，利用我们初中所学，设 \(P(m,n)\) 为曲线上的任意一点，只需证明点 \(P\) 关于点 \((1,a)\) 的对称点 \(Q(2-m,2a-n)\) 也在曲线上即可，也就是说明 \(f(2-m)=2a-n\) 即可；若要证明轴对称，设 \(P(m,n)\) 为曲线上的任意一点，只需证明点 \(P\) 关于直线 \(x=1\) 的对称点 \(Q(2-m,n)\) 也在曲线上即可，也就是说明 \(f(2-m)=f(m)\) 即可。 ↩︎为什么要这样构造函数呢，考虑到函数 \(f(x)\) 若是中心对称图形，则其对称中心必为 \((1,a)\)，通过构造函数 \(F(x)\) 将其对称中心放置到坐标原点，则若能证明 \(F(x)\) 为奇函数，那么问题得证，如何证明 \(F(x)\) 为奇函数，通过 \(F(x)+F(-x)=0\)，说明 \(F(x)\) 为奇函数，则是中心对称图形，将其左右或上下平移，得到的 \(f(x)\) 一定是中心对称图形。 ↩︎
由上述的解析可知，函数 \(f(x)\) 的对称点可能是 \((1,a)\)，若能验证函数满足条件 \(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)\)\(=\)\(2a\) ，则能说明函数 \(f(x)\) 关于点 \((1,a)\) 成中心对称图形，为什么呢？本方法其实和法1实质相同。 ↩︎
由于题目中有个关键词为
当且仅当，在数学中刻画的是充要条件，故接下来我们需要做两个事情：其一，考虑 \(1<x<2\) 时，\(f(x)>-2\) 恒成立，可以想办法求得参数 \(b\) 的取值范围；其二：由 \(f(x)>-2\)，再加上刚才求得的参数的范围，解得不等式的解集就是 \(x\in(1,2)\)，到此，整个题目的考虑就是很全面的，就可以作结论了 . ↩︎
