从 2024 新课标全国 Ⅰ 卷第 18 题感悟高考变化

公式定理💯随心记

【集合】章节中要注意这五个关系的等价性：$A\subseteq B$$\Longleftrightarrow$ $A\cap B=A$$\Longleftrightarrow$$A\cup B=B$ $\Longleftrightarrow$$\complement_{U} B\subseteq \complement_{U} A$$\Longleftrightarrow$$A\cap (\complement_{U} B)=\varnothing$

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前情概要

最直观的感受，新高考的题目数减少，思考的难度增加，运算的难度增加，对普通学生而言，需要选好赛道，找准方法，继续卷，别无他法。或许在静雅斋的链接引导下，当你一步步流畅而深入地学习时，你会慢慢喜欢上数学，不再讨厌这个折磨人的基础学科，那，将是我莫大的荣幸。

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高考真题

【2024 新课标全国 Ⅰ 卷第 18 题】已知函数 $f(x)=\ln\cfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$ .

(1). 若 $b=0$ ，且 $f'(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的最小值；

分析：此题目属于不等式恒成立，求参数的取值范围问题，是往年的常规考查类型，很常见，必须掌握的类型；

解法 1️⃣：由 $\cfrac{x}{2-x}>0$ 求得函数 $f(x)$ 定义域为 $(0,2)$，

$b=0$ 时， $f(x)=\ln\cfrac{x}{2-x}+ax$，其中 $x \in(0,2)$，

则 $f^{\prime}(x)$$=$$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a$$=$$\cfrac{2}{x(2-x)}$$+$$a$ ^[1] ，$x\in(0,2)$，

因为 $x(2-x)\leqslant\left(\cfrac{2-x+x}{2}\right)^2=1$ ^[2]，当且仅当 $x=1$ 时等号成立，

故 $f^{\prime}(x)_{\min }=2+a$，而 $f^{\prime}(x)\geqslant 0$ 恒成立，还有哪些问题都能转化为不等式恒成立命题

故 $a+2\geqslant 0$，即 $a\geqslant -2$，所以 $a$ 的最小值为 $-2$ .

解法 2️⃣：由 $\cfrac{x}{2-x}>0$ 求得函数 $f(x)$ 定义域为 $(0,2)$，

$b=0$ 时， $f(x)=\ln\cfrac{x}{2-x}+ax$，其中 $x \in(0,2)$，

$f(x)=\ln x-\ln(2-x)+ax$，[注释：做这样的变形会非常方便下一步的求导运算]，

则 $f^{\prime}(x)$$=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{2-x}\times(2-x)'+a=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a$，

由题目可知，$f'(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}+a\geqslant 0$ 恒成立，此时我们最容易想到的就是分离参数

得到， $-a\leqslant \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}$ 在 $(0,2)$ 上恒成立分离参数时，将 $-a$ 作为一个整体，要比将 $a$ 作为一个整体好的多，接下来求 $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}=g(x)$ 的最小值 .， 恒成立能成立命题赏析

$g(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x}=\cfrac{1}{2}\times2\times(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x})$

$=\cfrac{1}{2}\times[x+(2-x)]\times(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{2-x})$

$=\cfrac{1}{2}(1+1+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{x}{2-x})$

$\geqslant\cfrac{1}{2}(2+2\sqrt{\cfrac{x}{2-x}\times\cfrac{2-x}{x}})=2$， 意犹未尽

当且仅当 $\cfrac{x}{2-x}=\cfrac{2-x}{x}$ ，即 $x$$=$$1$$\in$$(0,2)$ 时取得等号，

故 $-a\leqslant 2$，即 $a\geqslant -2$，所以 $a$ 的最小值为 $-2$ .

(2). 证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；

分析：此题目感觉是近几年高考中很少考查到的类型，今年新出现，需要引起高度重视，说明对函数的性质的考查越来越深入，其实新教材中已经有了类似的例题了，2019 新人教 A 版 $P_{87}$ 拓广探究第 $13$ 题

证法 1️⃣：由 $\cfrac{x}{2-x}>0$ 求得函数 $f(x)$ 定义域为 $(0,2)$，^[3]

设 $P(m, n)$ 为 $y=f(x)$ 图象上任意一点，$P(m, n)$ 关于 $(1, a)$ 由定义域的中点得到对称中心的横坐标 $x=1$，将 $x=1$ 代入 $f(x)$ 得到 $y=a$，故若是对称的，则对称中心坐标为 $(1,a)$ 的对称点为 $Q(2-m, 2 a-n)$，

因为 $P(m, n)$ 在 $y=f(x)$ 图象上，故 $n$$=$$\ln\cfrac{m}{2-m}$$+$$am$$+$$b(m-1)^3$,

而 $f(2-m)$$=$$\ln\cfrac{2-m}{m}$$+$$a(2-m)$$+$$b(2-m-1)^3$

$=$$-$$\left[\ln\cfrac{m}{2-m}+am+b(m-1)^3\right]$$+$$2a$$=$$-n+2a$$=$$2a-n$，

所以 $Q(2-m, 2a-n)$ 也在 $y$$=$$f(x)$ 图象上，

由 $P$ 的任意性可得曲线 $y=f(x)$ 为中心对称图形，且对称中心为 $(1, a)$，命题得证 .

证法 2️⃣：由 $\cfrac{x}{2-x}>0$ 求得定义域为 $(0,2)$，

若曲线 $y=f(x)$ 为中心对称图形，则其对称中心必为 $(1,a)$，

由此可知 $F(x)$$=$$f(x+1)$$-$$a$ 的定义域为 $(-1,1)$，且其对称中心为 $(0,0)$，

即 $F(x)$ 为奇函数，则必然满足 $F(x)+F(-x)=0$ 恒成立，

又 $F(x)$$=$$f(x+1)$$-$$a$$=$$\ln\cfrac{x+1}{2-(x+1)}$$+$$a(x+1)$$+$$b[(x+1)-1]^3$$-$$a$，

$F(-x)$$=$$f(-x+1)$$-$$a$$=$$\ln\cfrac{-x+1}{2-(-x+1)}$$+$$a(-x+1)$$+$$b[(-x+1)-1]^3$$-$$a$，

现有 $\bigg($$\ln\cfrac{x+1}{1-x}$$+$$ax$$+$$a$$+$$bx^3$$-a$$\bigg)$$+$$\bigg($$\ln\cfrac{-x+1}{x+1}$$-$$ax$$+$$a$$-$$bx^3$$-$$a$$\bigg)$$=$$0$ 恒成立，

即 $F(x)+F(-x)=0$ 恒成立，以上过程逆推成立，

即 $F(x)$$=$$f(x+1)$$-$$a$ 为奇函数，对称中心为 $(0,0)$，

故 $f(x)$ 必为中心对称图形将 $F(x)$ 的图象向右平移一个单位，再向下 ( $a<0$ ) 或向上 ( $a>0$ ) 平移 $|a|$ 个单位，即得到函数 $f(x)$，且对称中心为 $(1,a)$，得证。 想了解图象的变换吗

证法 3️⃣：由 $\cfrac{x}{2-x}>0$ 求得定义域为 $(0,2)$，

构造函数 $F(x)$$=$$f(x+1)$$-$$a$，^[4] 则 $F(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$，

又 $F(x)$$=$$f(x+1)$$-$$a$$=$$\ln\cfrac{x+1}{2-(x+1)}$$+$$a(x+1)$$+$$b[(x+1)-1]^3$$-$$a$，

$F(-x)$$=$$f(-x+1)$$-$$a$$=$$\ln\cfrac{-x+1}{2-(-x+1)}$$+$$a(-x+1)$$+$$b[(-x+1)-1]^3$$-$$a$，

则 $\bigg($$\ln\cfrac{x+1}{1-x}$$+$$ax$$+$$a$$+$$bx^3$$-a$$\bigg)$$+$$\bigg($$\ln\cfrac{-x+1}{x+1}$$-$$ax$$+$$a$$-$$bx^3$$-$$a$$\bigg)$$=$$0$ 恒成立，

即 $F(x)+F(-x)=0$ 恒成立，故函数 $F(x)$ 为奇函数，对称中心为 $(0,0)$，

将 $F(x)$ 的图象向右平移一个单位，再向下 ( $a<0$ ) 或向上 ( $a>0$ ) 平移 $|a|$ 个单位，即得到函数 $f(x)$

故 $f(x)$ 必为中心对称图形，且对称中心为 $(1,a)$，得证。

证法 4️⃣：由于 $f(x)$$=$$\ln\cfrac{x}{2-x}$$+$$ax$$+$$b(x-1)^3$， 释疑 ^[5]

$f(2-x)$$=$$\ln\cfrac{2-x}{2-(2-x)}$$+$$a(2-x)$$+$$b[(2-x)-1]^3$$=$$\ln\cfrac{2-x}{x}$$+$$a(2-x)$$+$$b(1-x)^3$ ，

则 $f(x)+f(2-x)$$=$$\bigg[\ln\cfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3\bigg]$$+$$\bigg[\ln\cfrac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x)^3\bigg]$$=$$2a$

故由 $f(x)$$+$$f(2-x)$$=$$2a$ 可知，函数 $f(x)$ 关于点 $(1,a)$ 成中心对称图形，得证 .

(3). 若 $f(x)$$>$$-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围；

分析：本小问的难点有两个：其一如何处理参数 $a$，其二如何准确理解题目中的 “若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$”，若能理解第三小问的意思是由不等式恰成立命题【释疑】，告诉你方程 $f(x)=-2$ 的一个解为 $x=1$[$x=2$ 不是方程的解，定义域中就没有这个值]，那么就可以由此求得 $a$ 值，从而将问题可以转化为已知不等式恒成立命题，求参数 $b$ 的取值范围，从而将含有两个参数 $a$ 和 $b$ 的函数变为含有一个参数 $b$ 的函数，就成了我们可解的问题类型了；

解法 1️⃣：由于 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，故 $x=1$ 为 $f(x)=-2$ 的一个解，

所以 $f(1)=-2$ 即 $a=-2$，此时原题目变为，$\ln\cfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ .

先考虑 $1<x<2$ 时，$f(x)>-2$ 恒成立。由于此时 $f(x)>-2$ 恒成立 ^[6]，

即为 $\ln\cfrac{x}{2-x}+2(1-x)+b(x-1)^3>0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，

设 $t=x-1 \in(0,1)$，则 $\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3>0$ 此处采用了换元法，目的就是让函数的形式变得简单，有利于下一步求导，从而分析函数的性质，更多情形，请参阅换元法 在 $(0,1)$ 上恒成立，

设 $g(t)=\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3$，$t\in(0,1)$ ，

则 $g^{\prime}(t)$$=$$\cfrac{2}{1-t^2}-2+3bt^2$$=$$\cfrac{t^2(-3bt^2+2+3b)}{1-t^2}$ 这种思路没有采用分离参数的解法，是考虑到分离参数后函数变得很复杂，不好求导分析函数的性质，注意到因子 $t^2$$>$$0$ 且 $1$$-$$t^2$$>$$0$，故只要重点分析仿二次函数 $y$$=$$-3bt^2$$+$$2$$+$$3b$ 的正负即可分析清楚导函数的正负。此处的分类标准其一：二次项系数 $-3b$ 的正负；其二常数项 $2+3b$ 的正负，

$1^{\circ}$ 当 $b\geq 0$ 时，$-3bt^2+2+3b>-3b+2+3b=2>0$，$t^2>0$，$1-t^2>0$，故 $g^{\prime}(t)>0$ 恒成立，

故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，故 $g(t)>g(0)=0$ 即 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立 .

$2^{\circ}$ 当 $-\cfrac{2}{3}\leq b<0$ 时，$-3bt^2+2+3b>2+3b\geq 0$，

故 $g^{\prime}(t)\geq 0$ 恒成立， 故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上为增函数，

故 $g(t)>g(0)=0$ 即 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立 .

$3^{\circ}$ 当 $b<-\cfrac{2}{3}$， 则当 $0<t<\sqrt{1+\cfrac{2}{3b}}<1$ 时，$g^{\prime}(t)<0$，

故在 $(0,\sqrt{1+\cfrac{2}{3b}})$ 上 $g(t)$ 为减函数，故 $g(t)<g(0)=0$，不合题意，舍去；

综上， $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 上恒成立时 $b\geq -\cfrac{2}{3}$ .

而当 $b \geq-\cfrac{2}{3}$ 时，由上述过程可得 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 递增，

故 $g(t)>0$ 的解为 $(0,1)$，即 $f(x)>-2$ 的解为 $(1,2)$ .

综上，$b\geq-\cfrac{2}{3}$ .

解法 2️⃣：由于 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，故 $x=1$ 为 $f(x)=-2$ 的一个解，

所以 $f(1)=-2$ 即 $a=-2$，此时原题目变为，$\ln\cfrac{x}{2-x}-2x+b(x-1)^3>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ .

先考虑 $1<x<2$ 时，$f(x)>-2$ 恒成立。由于此时 $f(x)>-2$ 恒成立 ，

即为 $\ln\cfrac{x}{2-x}+2(1-x)+b(x-1)^3>0$ 在 $(1,2)$ 上恒成立，

设 $t=x-1 \in(0,1)$，则 $\ln\cfrac{t+1}{1-t}-2t+bt^3>0$ 此处采用了换元法，目的就是让函数的形式变得简单，有利于下一步求导，从而分析函数的性质，更多情形，请参阅换元法 在 $(0,1)$ 上恒成立，

到此，我们一般会想到分离参数法，得到 $b>\cfrac{2t-\ln\cfrac{t+1}{1-t}}{t^3}$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，

然后，令 $g(t)=\cfrac{2t-\ln\cfrac{t+1}{1-t}}{t^3}$，求 $g(t)_{\max}$ 即可，解题的框架是搭起来了，但是接下来要用导数判断函数的单调性，求导后的函数形式会变得非常的复杂，而且求一次导还看不出正负，还需要再进一步求导，形式变得更复杂，此时用电脑验证了函数的单调性，在 $(0,1)$ 上是单调递减的；同时，求 $g(0)$ 时还需要用到洛必达法则，就更复杂，思路到此几乎停滞了，写到这儿，是想提醒我们自己，解题时的思路选择比努力更重要，到此打住了 .

延申阅读

函数的对称性习题 - 静雅斋数学 - 博客园

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1. 此处的 $f'(x)$$\geqslant$$0$，即 $f'(x)$$\geqslant$$0$ 恒成立，则只需要 $f'(x)$ 的最小值大于等于零即可；另外此处的求导，学生一般会遵从这样的思路：令 $u=\cfrac{x}{2-x}$，则 $y'_x$$=$$y'_u$$\cdot$$u'_x$$=$$(\ln u)'$$\cdot$$(\cfrac{x}{2-x})'$，故有 $f'(x)$$=$$\cfrac{1}{\frac{x}{2-x}}$$\times$$(\cfrac{x}{2-x})'$$=$$\cfrac{2-x}{x}$$\times$$\cfrac{1\cdot(2-x)-x\cdot(-1)}{(2-x)^2}$$=$$\cfrac{2}{x(2-x)}$，这样求导就复杂了，如果针对解析式先化简然后求导，难度会降低不少，那么还有哪些问题涉及先化简再处理能简单些呢？请参阅 1：化简化简更简单；同时请参阅 2：复合函数的求导 ↩︎

2. 由上式求最小值，依托倒数关系，转化求得 $x(2-x)$ 的最大值，就能得到 $f'(x)$ 的最小值，此处采用的公式： $a\cdot b\leqslant(\cfrac{a+b}{2})^2$ . ↩︎

3. 求得函数的定义域以后，此时我们已经可以知道关于对称性的相关情况了，即若曲线是中心对称图形，则其对称中心一定为 $(1,f(1))$，此题目中为 $(1,a)$ ；若曲线是轴对称图形，则其对称轴一定是直线 $x=1$ .
   进一步说明，若要证明中心对称，利用我们初中所学，设 $P(m,n)$ 为曲线上的任意一点，只需证明点 $P$ 关于点 $(1,a)$ 的对称点 $Q(2-m,2a-n)$ 也在曲线上即可，也就是说明 $f(2-m)=2a-n$ 即可；若要证明轴对称，设 $P(m,n)$ 为曲线上的任意一点，只需证明点 $P$ 关于直线 $x=1$ 的对称点 $Q(2-m,n)$ 也在曲线上即可，也就是说明 $f(2-m)=f(m)$ 即可。 ↩︎

4. 为什么要这样构造函数呢，考虑到函数 $f(x)$ 若是中心对称图形，则其对称中心必为 $(1,a)$，通过构造函数 $F(x)$ 将其对称中心放置到坐标原点，则若能证明 $F(x)$ 为奇函数，那么问题得证，如何证明 $F(x)$ 为奇函数，通过 $F(x)+F(-x)=0$，说明 $F(x)$ 为奇函数，则是中心对称图形，将其左右或上下平移，得到的 $f(x)$ 一定是中心对称图形。 ↩︎

5. 由上述的解析可知，函数 $f(x)$ 的对称点可能是 $(1,a)$，若能验证函数满足条件 $f(x)$$+$$f(2-x)$$=$$2a$ ，则能说明函数 $f(x)$ 关于点 $(1,a)$ 成中心对称图形，为什么呢？本方法其实和法 1 实质相同。 ↩︎

6. 由于题目中有个关键词为当且仅当，在数学中刻画的是充要条件，故接下来我们需要做两个事情：其一，考虑 $1<x<2$ 时，$f(x)>-2$ 恒成立，可以想办法求得参数 $b$ 的取值范围；其二：由 $f(x)>-2$，再加上刚才求得的参数的范围，解得不等式的解集就是 $x\in(1,2)$，到此，整个题目的考虑就是很全面的，就可以作结论了 . ↩︎