例说提速运算中的小技巧 | 算理研究

💎更新于 2024-10-09 14:33 | 发布于 2024-10-07 17:06
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前情概要

技巧总结

✍️ 遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；

引例 1，比如判断 $f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$ 的奇偶性，

分析：定义域为 $R$ ，关于原点对称，

且有 $f(-x)$ $=$ $\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}$ $=$ $\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}$ $=$ $\cfrac{1-2^x}{1+2^x}$ $=$ $-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$ $=$ $-f(x)$ ，

则 $f(-x)=-f(x)$ ，故函数 $f(x)$ 为奇函数；

引例 2，化简 $\cfrac{2}{e^{-x}+1}$ ；

思路一：运用分式的通分，分式的除法等， $\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2}{\frac{1}{e^x}+1}=\cfrac{2}{\frac{e^x+1}{e^x}}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}$ ；

思路二：运用分式的性质， $\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2\cdot e^x}{(e^{-x}+1)\cdot e^x}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}$ ；

引例 3，化简 $\cfrac{2\cdot e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\cfrac{2\cdot e^{-x}\cdot e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2\cdot e^{2x}}$ $=\cfrac{2e^x}{[(e^{-x}+1)\cdot e^x]^2}=\cfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$

✍️ 遇到含有根式的分式型代数式化简时，除法 [分子分母约分] 比乘法 [分母有理化] 快；

引例 1，在 $\triangle ABC$ 中， $a=2$ ， $b=\sqrt{2}$ ， $c=\sqrt{3}+1$ ，求 $B$ .

分析： $\cos B=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\cfrac{4+2\sqrt{3}+4-2}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}$

$=\cfrac{6+2\sqrt{3}}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2(3+\sqrt{3})}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

所以， $B=\cfrac{\pi}{6}$ .

引例 2，遇到分母上是 $i$ 的分式形的复数，可以利用 $-1=i\cdot i$ 来简化运算； $\cfrac{2+3i}{i}$ $=$ $\cfrac{3i-2\times(-1)}{i}$ $=$ $\cfrac{3i-2i^2}{i}$ $=$ $3-2i$

✍️ 平面的法向量的求解，常规方法是设法向量的坐标，建立方程组，再求解其坐标，特别的若能充分利用题目的条件 [比如求水平放置平面的法向量，我们就可以直接用 $z$ 轴的方向向量来代替，快捷高效]，则能快速写出法向量；

✍️ 再比如配方法中的书写次序，能减少冗余步骤，提高运算速度

$f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x)+3$ $=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x+\triangle)+3+2\triangle$

✍️ 巧妙利用函数的性质，避开麻烦且容易出错的分类讨论 .

引例，已知函数 $y=f(x)=e^x+e^{-x}$ ，求解不等式 $f(x)>f(2-x)$ 中 $x$ 的取值范围。解析过程

✍️ 当题目的计算思路比较多时，对各种思路的难易程度的预估不足，或选了比较难的思路；

已知 $g(x)=\cfrac{2xlnx+x^2+3}{x}$ ，求 $g'(x)$ ；

思路一：利用 $(\cfrac{u}{v})'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 计算

$g'(x)=\cfrac{[2(1+lnx)+2x]\cdot x-(2xlnx+x^2+3)\cdot 1}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}$ ；

思路二：先化简再求导后通分， $g(x)=2lnx+x+\cfrac{3}{x}$ ，

则 $g'(x)=\cfrac{2}{x}+1-\cfrac{3}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}$

已知 $f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}$ ，求 $f'(x)$

思路一：令 $u=\cfrac{x-1}{x+1}$ ，则 $f'(x)=\cfrac{1}{u}\cdot u'_x$

$=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}$

$=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{2}{(x+1)^2}=\cfrac{2}{x^2-1}$

思路二： $f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1)$ ，

则 $f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot (x-1)'-\cfrac{1}{x+1}\cdot (x+1)'$

$=\cfrac{1}{x-1}-\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1}$

已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ ，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性；

法 1：变形运算较难，利用 $f(-x)=\pm f(x)$ 来判断；

$f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)$

$=ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})$

$=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}$

$=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)$

即函数 $f(x)$ 为奇函数；

备注： $(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1$ ； $(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1$ ；

法 2：变形运算容易，利用变形式 $f(-x)\pm f(x)=0$ 来判断；

由于 $f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ ，则 $f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ ，

即 $f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数；

引例 2，已知函数 $g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$ ，判断其奇偶性；

分析：同上例，可知 $g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)$ ，即 $g(x)+g(-x)=lg1=0$ ，即函数 $g(x)$ 为奇函数；

反思：虽然说 $f(-x)=-f(x)$ 和 $f(-x)+f(x)=0$ 是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；

✍️ 用比例因子、勾股数，提高运算速度，借用比例因子简化运算

比如，常用的勾股数： $3n，4n，5n(n\in N^*)$ ； $5，12，13$ ； $7，24，25$ ； $8，15，17$ ； $9，40，41$ ；

再比如，连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算，这样的运算可能在解三角形中，圆锥曲线的运算，等比数列的相关运算中。^[1]

✍️ 总结运算中的书写形式，提高运算速度

引例 1，代入运算小技巧，比如将 $x=-1+tcos\alpha$ ， $y=1+tsin\alpha$ 代入方程 $x^2+y^2-4x=0$ ，注意对齐书写，演草纸上如下操作，省时省力；

{\begin{cases} 1 - 2 t c o s α + t^{2} c o s^{2} α \\ 1 + 2 t s i n α + t^{2} s i n^{2} α \\ 4 - 4 t c o s α \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l}{1-2tcos\alpha+t^2cos^2\alpha}\\{1+2tsin\alpha+t^2sin^2\alpha}\\{4-4tcos\alpha}\end{array}\right.$

整理得到， $t^2+(2sin\alpha-6cos\alpha)t+6=0$ 。再比如图形例子，其他形式中涉及到的快速计算

引例 2，圆锥曲线中的代入运算小技巧，比如已知， $(1+k^2)x_1x_2+(2+kb)(x_1+x_2)+b^2+4=0$ ，

且已经得到了 $x_1+x_2=-\cfrac{8kb}{1+4k^2}$ ， $x_1x_2=\cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}$ ，

代入， $(1+k^2)\cdot \cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}-(2+kb)(\cfrac{8kb}{1+4k^2})+b^2+4=0$ ，

即 $(1+k^2)(4b^2-4)-(2+kb)\cdot 8kb+(b^2+4)(1+4k^2)=0$ ，

打开，即 $4b^2-4+4k^2b^2-4k^2-16kb-8k^2b^2+b^2+4k^2b^2+4+16k^2=0$ ，

运算整理的技巧，一次过；

\begin{array}{l} 4 b^{2} & - 4 & + 4 k^{2} b^{2} & - 4 k^{2} \\ - 8 k^{2} b^{2} & - 16 k b \\ b^{2} & + 4 & + 4 k^{2} b^{2} & + 16 k^{2} \end{array}}

$\left.\begin{array}{l}&4b^2&-4&+4k^2b^2&-4k^2&\\&&&-8k^2b^2&&-16kb\\&b^2&+4&+4k^2b^2&+16k^2\end{array}\right\}$

[上述整理过程只在演草纸上出现，正式答题只写] 整理得到， $12k^2-16kb+5b^2=0$ ，

✍️ 设而不求的策略应用可以提高运算速度。

【引例】设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+1$ ，

令 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ ，联立得到 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1}\end{array}\right.$

得到 $(2k^2+1)x^2+4kx-2=0$ ，其判别式 $\Delta=(4 k)^{2}+8\left(2 k^{2}+1\right)>0$

所以 $x_{1}+x_{2}=-\cfrac{4k}{2k^{2}+1}$ ， $x_{1}x_{2}=-\cfrac{2}{2k^{2}+1}$ ，又由直线 $y=kx+1$ ，

得到 $y_1+y_2=(kx_1+1)+(kx_2+1)=k(x_1+x_2)+2$ ，

且有 $y_1y_2=(kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1$ ，

接下来，不是求解单个的 $x_1$ 、 $y_1$ 、 $x_2$ 、 $y_2$ ，而是将 $x_1+x_2$ 、 $y_1+y_2$ 、 $x_1x_2$ 、 $y_1y_2$ 代入需要求解的表达式中；

✍️ 弄清楚所计算问题的算理，越复杂问题的化简，越体现算理的重要性；

【难点题目】倾斜角为 $\cfrac{\pi}{4}$ 的直线经过椭圆 $\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ ，与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\overrightarrow{AF}=$ $2\overrightarrow{FB}$ ，则该椭圆的离心率为【 $\qquad$ 】

A . \frac{\sqrt{2}}{3}

$A.\cfrac{\sqrt{2}}{3}$

B . \frac{\sqrt{2}}{2}

$B.\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

C . \frac{\sqrt{3}}{3}

$C.\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

D . \frac{\sqrt{3}}{2}

$D.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

分析：由题可知，直线方程为 $y=x-c$ ，将其代入椭圆 $\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$ ，消去 $y$ ，

整理得到 $(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0$ ，

设 $A(x_1，y_1)$ ， $B(x_2，y_2)$ ，则由韦达定理可知，

$x_1+x_2=\cfrac{2a^2c}{a^2+b^2}①$ ， $x_1x_2=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}②$

又由 $\overrightarrow{AF}=$ $2\overrightarrow{FB}$ 得到 $(c-x_1，0-y_1)=2(x_2-c，y_2-0)$ ，整理即得到 $2x_2+x_1=3c③$ ，

联立①③式，解得 $x_1=\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}$ ， $x_2=\cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}④$ ，

将④式代入②式，得到 $\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}\times \cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}$

[说明：到此，本题目的最大难点出现，到底该如何化简上式。由于是求离心率问题，故我们本着这样的考量来化简，留下 $a$ 和 $c$ ，尽可能的代换和消去 $b$ ，详细化简如下：]

分式两边先各约去一个分母，再对左边的分子使用平方差公式，得到

\frac{a^{4} c^{2} - 9 b^{4} c^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a^{2} c^{2} - a^{2} b^{2}

$\cfrac{a^4c^2-9b^4c^2}{a^2+b^2}=a^2c^2-a^2b^2$

将分式化简为整式得到，

a^{4} c^{2} - 9 b^{4} c^{2} = a^{4} c^{2} - a^{4} b^{2} + a^{2} b^{2} c^{2} - a^{2} b^{4}

$a^4c^2-9b^4c^2=a^4c^2-a^4b^2+a^2b^2c^2-a^2b^4$

抵消 $a^4c^2$ 项，整理为一端为零的形式，得到

a^{4} b^{2} - 9 b^{4} c^{2} - a^{2} b^{2} c^{2} + a^{2} b^{4} = 0

$a^4b^2-9b^4c^2-a^2b^2c^2+a^2b^4=0$

再约去因式 $b^2$ 得到，

a^{4} - 9 b^{2} c^{2} - a^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} = 0

$a^4-9b^2c^2-a^2c^2+a^2b^2=0$

上式的第一、三两项提取公因式 $a^2$ ，得到，

a^{2} (a^{2} - c^{2}) - 9 b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} = 0

$a^2(a^2-c^2)-9b^2c^2+a^2b^2=0$

再次整理得到，

2 a^{2} b^{2} - 9 b^{2} c^{2} = 0

$2a^2b^2-9b^2c^2=0$

再次约去因式 $b^2$ 得到，

2 a^{2} = 9 c^{2}

$2a^2=9c^2$

从而得到 $e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=\cfrac{2}{9}$ ，故 $e=\cfrac{\sqrt{2}}{3}$ ，选 $A$ 。

如三角形的三边之比为 $a$ ： $b$ ： $c$ $=$ $2$ ： $3$ ： $4$ ，则可以设 $a=2k$ ， $b=3k$ ， $c=4k(k>0)$ ；如果求最大 (小) 角的余弦值，就可以直接代入余弦定理计算，同时 $a$ ， $b$ ， $c$ 都是 $k$ 的一元函数了。
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，比如已知离心率 $e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}$ ，则可知 $c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)$ ，则有 $b=\sqrt{2}t$ ； ↩︎