例说提速运算中的小技巧 | 算理研究
从算理的角度总结提高运算速度
前情概要
本博文是从例说提高运算的速度+准确度中分离处理单独成篇 .
技巧总结
✍️ 遇到含有指数式的分式型函数判断奇偶性时，乘法比除法快；
引例1，比如判断 \(f(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\) 的奇偶性，
分析：定义域为 \(R\) ，关于原点对称，
且有 \(f(-x)\)\(=\)\(\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}\)\(=\)\(\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}\)\(=\)\(\cfrac{1-2^x}{1+2^x}\)\(=\)\(-\cfrac{2^x-1}{2^x+1}\)\(=\)\(-f(x)\)，
则 \(f(-x)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\) 为奇函数；
引例2，化简\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}\)；
思路一：运用分式的通分，分式的除法等，\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2}{\frac{1}{e^x}+1}=\cfrac{2}{\frac{e^x+1}{e^x}}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\)；
思路二：运用分式的性质，\(\cfrac{2}{e^{-x}+1}=\cfrac{2\cdot e^x}{(e^{-x}+1)\cdot e^x}=\cfrac{2e^x}{e^x+1}\)；
引例3， 化简\(\cfrac{2\cdot e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\cfrac{2\cdot e^{-x}\cdot e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2\cdot e^{2x}}\)\(=\cfrac{2e^x}{[(e^{-x}+1)\cdot e^x]^2}=\cfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}\)
✍️ 遇到含有根式的分式型代数式化简时，除法[分子分母约分]比乘法[分母有理化]快；
引例1，在 \(\triangle ABC\) 中，\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(c=\sqrt{3}+1\)，求 \(B\).
分析：\(\cos B=\cfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\cfrac{4+2\sqrt{3}+4-2}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}\)
\(=\cfrac{6+2\sqrt{3}}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2(3+\sqrt{3})}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\times2\times(\sqrt{3}+1)}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)
所以，\(B=\cfrac{\pi}{6}\) .
引例2，遇到分母上是 \(i\) 的分式形的复数，可以利用 \(-1=i\cdot i\) 来简化运算；\(\cfrac{2+3i}{i}\)\(=\)\(\cfrac{3i-2\times(-1)}{i}\)\(=\)\(\cfrac{3i-2i^2}{i}\)\(=\)\(3-2i\)
✍️ 平面的法向量的求解，常规方法是设法向量的坐标，建立方程组，再求解其坐标，特别的若能充分利用题目的条件[比如求水平放置平面的法向量，我们就可以直接用 \(z\) 轴的方向向量来代替，快捷高效]，则能快速写出法向量 ；
✍️ 再比如配方法中的书写次序，能减少冗余步骤，提高运算速度
\(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x)+3\) \(=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x+\triangle)+3+2\triangle\)
✍️ 巧妙利用函数的性质，避开麻烦且容易出错的分类讨论 .
引例，已知函数\(y=f(x)=e^x+e^{-x}\)，求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。解析过程
✍️ 当题目的计算思路比较多时，对各种思路的难易程度的预估不足，或选了比较难的思路；
思路一：利用\((\cfrac{u}{v})'=\cfrac{u'v-uv'}{v^2}\)计算
\(g'(x)=\cfrac{[2(1+lnx)+2x]\cdot x-(2xlnx+x^2+3)\cdot 1}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)；
思路二：先化简再求导后通分，\(g(x)=2lnx+x+\cfrac{3}{x}\)，
则\(g'(x)=\cfrac{2}{x}+1-\cfrac{3}{x^2}=\cfrac{x^2+2x-3}{x^2}\)
思路一：令\(u=\cfrac{x-1}{x+1}\)，则\(f'(x)=\cfrac{1}{u}\cdot u'_x\)
\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}\)
\(=\cfrac{x+1}{x-1}\cdot \cfrac{2}{(x+1)^2}=\cfrac{2}{x^2-1}\)
思路二：\(f(x)=ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln(x-1)-ln(x+1)\)，
则\(f'(x)=\cfrac{1}{x-1}\cdot (x-1)'-\cfrac{1}{x+1}\cdot (x+1)'\)
\(=\cfrac{1}{x-1}-\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1}\)
法1：变形运算较难，利用\(f(-x)=\pm f(x)\)来判断；
\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)
\(=ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\)
\(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}\)
\(=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数；
备注：\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)；
法2：变形运算容易，利用变形式\(f(-x)\pm f(x)=0\)来判断；
由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
引例2，已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判断其奇偶性；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数；
反思：虽然说\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；
✍️ 用比例因子、勾股数，提高运算速度，借用比例因子简化运算
比如，常用的勾股数：\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)；
再比如，连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算，这样的运算可能在解三角形中，圆锥曲线的运算，等比数列的相关运算中。[1]
✍️ 总结运算中的书写形式，提高运算速度
引例1，代入运算小技巧，比如将\(x=-1+tcos\alpha\)，\(y=1+tsin\alpha\) 代入方程 \(x^2+y^2-4x=0\)，注意对齐书写，演草纸上如下操作，省时省力；
整理得到，\(t^2+(2sin\alpha-6cos\alpha)t+6=0\)。 再比如图形例子 ， 其他形式中涉及到的快速计算
引例2，圆锥曲线中的代入运算小技巧，比如已知，\((1+k^2)x_1x_2+(2+kb)(x_1+x_2)+b^2+4=0\)，
且已经得到了\(x_1+x_2=-\cfrac{8kb}{1+4k^2}\)， \(x_1x_2=\cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}\)，
代入，\((1+k^2)\cdot \cfrac{4b^2-4}{1+4k^2}-(2+kb)(\cfrac{8kb}{1+4k^2})+b^2+4=0\)，
即\((1+k^2)(4b^2-4)-(2+kb)\cdot 8kb+(b^2+4)(1+4k^2)=0\)，
打开，即\(4b^2-4+4k^2b^2-4k^2-16kb-8k^2b^2+b^2+4k^2b^2+4+16k^2=0\)，
运算整理的技巧，一次过；
[上述整理过程只在演草纸上出现，正式答题只写]整理得到，\(12k^2-16kb+5b^2=0\)，
✍️ 设而不求的策略应用可以提高运算速度。
【引例】设直线 \(AB\) 的方程为 \(y=kx+1\)，
令\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，联立得到\(\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{2}=1}\end{array}\right.\)
得到\((2k^2+1)x^2+4kx-2=0\)，其判别式 \(\Delta=(4 k)^{2}+8\left(2 k^{2}+1\right)>0\)
所以 \(x_{1}+x_{2}=-\cfrac{4k}{2k^{2}+1}\)， \(x_{1}x_{2}=-\cfrac{2}{2k^{2}+1}\)，又由直线\(y=kx+1\)，
得到\(y_1+y_2=(kx_1+1)+(kx_2+1)=k(x_1+x_2)+2\)，
且有\(y_1y_2=(kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1\)，
接下来，不是求解单个的\(x_1\)、\(y_1\)、\(x_2\)、\(y_2\)，而是将\(x_1+x_2\)、\(y_1+y_2\)、\(x_1x_2\)、\(y_1y_2\)代入需要求解的表达式中；
✍️ 弄清楚所计算问题的算理，越复杂问题的化简，越体现算理的重要性；
分析：由题可知，直线方程为\(y=x-c\)，将其代入椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\)，消去\(y\)，
整理得到\((a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0\)，
设\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，则由韦达定理可知，
\(x_1+x_2=\cfrac{2a^2c}{a^2+b^2}①\)，\(x_1x_2=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}②\)
又由\(\overrightarrow{AF}=\)\(2\overrightarrow{FB}\)得到\((c-x_1，0-y_1)=2(x_2-c，y_2-0)\)，整理即得到\(2x_2+x_1=3c③\)，
联立①③式，解得\(x_1=\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}\)，\(x_2=\cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}④\)，
将④式代入②式，得到\(\cfrac{a^2c-3b^2c}{a^2+b^2}\times \cfrac{a^2c+3b^2c}{a^2+b^2}=\cfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}\)
[说明：到此，本题目的最大难点出现，到底该如何化简上式。由于是求离心率问题，故我们本着这样的考量来化简，留下\(a\)和\(c\)，尽可能的代换和消去\(b\)，详细化简如下：]
分式两边先各约去一个分母，再对左边的分子使用平方差公式，得到
将分式化简为整式得到，
抵消\(a^4c^2\)项，整理为一端为零的形式，得到
再约去因式\(b^2\)得到，
上式的第一、三两项提取公因式\(a^2\)，得到，
再次整理得到，
再次约去因式\(b^2\)得到，
从而得到\(e^2=\cfrac{c^2}{a^2}=\cfrac{2}{9}\)，故\(e=\cfrac{\sqrt{2}}{3}\)，选\(A\)。
如三角形的三边之比为\(a\)：\(b\) ：\(c\) \(=\) \(2\) ：\(3\) ：\(4\)，则可以设 \(a=2k\)，\(b=3k\)，\(c=4k(k>0)\)；如果求最大(小)角的余弦值，就可以直接代入余弦定理计算，同时\(a\)，\(b\)，\(c\)都是\(k\)的一元函数了。
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，比如已知离心率\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则可知\(c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)\) ，则有\(b=\sqrt{2}t\)； ↩︎
