求直线的方程
总结提炼高中阶段求解直线的方程的常见方法
前情概要
1 .直线的方程都有哪些形式，请参阅直线方程与直线系方程 .
2 .在高中阶段，求直线的方程是个比较高频的考点，涉及到的方法很多，比如直接法、公式法、直线系法、向量法、相关点法、参数法、结构分析法、点差法等等 . 为便于掌握，对各种方法逐个总结如下：
方法列举
✍️ 直接法
解：由于倾斜角 \(\theta\in[0,\pi)\) ，且 \(\sin\theta=\cfrac{4}{5}\)，则 \(\cos\theta=\pm\cfrac{3}{5}\)，故直线的斜率 \(k=\tan\theta=\pm\cfrac{4}{3}\)，
又由于直线 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距为 \(3\)，即直线经过点 \((0,3)\)，
这样由直线的点斜式方程 \(y-y_0=k(x-x_0)\)，可得直线的方程为 \(y-3=\pm\cfrac{4}{3}(x-0)\)，
整理得到，所求直线的斜截式方程为 \(y=\pm\cfrac{4}{3}x+3\)，
其对应的一般式方程为 \(4x-3y+9=0\) 或 \(4x+3y-9=0\) .
[解后反思]：1. 掌握清楚直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式的结构特征，都可以使用直接法求解；2.题目如果没有特殊要求，其结果一般都写成一般式方程 .
✍️ 待定系数法
（1）当\(\triangle AOB\)的面积最小时，求直线\(l\)的方程；
分析：过点\(P\)的直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)、\(B\)两点，
则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零，故设为\(y-1=k(x-2)\)，
则点\(A(2-\cfrac{1}{k}，0)\)，\(B(0，1-2k)\)，\(k<0\)；
则\(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)
\(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)
当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\)，即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立，
故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\).
（2）当 \(|PA|\cdot|PB|\) 取最小值时，求直线 \(l\) 的方程；
分析：设直线方程为 \(y-1=k(x-2)\)，
\(|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2-2+\frac{1}{k})^2+(1-0)^2}\cdot \sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{1}{k})^2+1}\cdot \sqrt{4+4k^2}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{k^2}+4k^2+8}\)
\(\geqslant \sqrt{8+2\sqrt{4k^2\times \frac{4}{k^2}}}\)
\(=\)\(\sqrt{8+8}=4\)
当且仅当\(\cfrac{4}{k^2}=4k^2\)，又由于\(k<0\)，即\(k=-1\)时取到等号，
故所求直线\(l\)的方程为\(x+y-3=0\).
✍️ 直线系法
法1：常规方法，联立方程 \(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.\)，求得 \(\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.\)，即点 \(P(0,2)\)，
由题目可知，所求直线的斜率 \(k_{l}=-\cfrac{4}{3}\)，
由点斜式可得直线方程为 \(y-2=-\cfrac{4}{3}(x-0)\)，整理得到 \(4x+3y-6=0\) .
法2：直线系法，也没有多大的优势，仅仅是拓展思路而已 .
设直线 \(l\) 的方程为 \(4x+3y+\lambda=0\)，[1]
由于直线 \(l\) 经过点 \(P(0,2)\)，故 \(0+6+\lambda=0\)，解得 \(\lambda=-6\)，
故所求直线的方程为 \(4x+3y-6=0\) .
✍️ 向量法
分析：\(\vec{a}+2\vec{b}=(-2，3)\)，设直线\(l\)的方向向量为\((1，k)\)，则由直线\(l\)与向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直，得到\(-2+3k=0\)，即\(k=\cfrac{2}{3}\)，
即直线\(l\)的斜率为\(k=\cfrac{2}{3}\)，又过点\(A(3，-1)\)，则方程为\(y+1=\cfrac{2}{3}(x-3)\)，
整理得到一般式方程为 \(2x-3y-9=0\) .
✍️ 相关点法，请参阅相关点法
解：设所求直线 \(l\) 上的动点 \(P\) 的坐标为 \(P(x,y)\)，此动点 \(P\) 关于点 \((-1,1)\) 的对称点为 \(P'(x',y')\)，
由 \(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x+x'}{2}=-1}\\{\cfrac{y+y'}{2}=1}\end{array}\right.\) ，解得 \(\left\{\begin{array}{l}{x'=-2-x}\\{y'=2-y}\end{array}\right.\)，
由于动点 \(P'\) 在直线 \(x+2y-3=0\) 上运动，故满足其方程，代入 \((-2-x)+2(2-y)-3=0\)，
整理得到，所求直线方程为 \(x+2y+1=0\) .
✍️ 参数法，相关内容已经在高考中删除，如需要请参阅直线的参数方程的应用题型
解析： 由于直线 \(l\) 过点 \(P(1,2),\) 且它的倾斜角 \(\theta=135^{\circ},\) 所以它的参数方程可以写成
即，直线 \(l\) 的参数方程为
✍️ 结构分析法，例题暂缺；
✍️ 点差法
分析：设直线与椭圆相交于两点\(A(x_1，y_1)\)和\(B(x_2，y_2)\)，
由于点\(P(4，2)\)是线段\(AB\)的中点，故有\(x_1+x_2=8\)，\(y_1+y_2=4\)；
又由于点\(A、B\)都在椭圆上，
则有\(x_1^2+4y_1^2=36①\)，\(x_2^2+4y_2^2=36②\)，
两式作差得到，\((x_1^2-x_2^2)+4(y_1^2-y_2^2)=0\)，
即\((x_1+x_2)(x_1-x_2)+4(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0\)，
也就是\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{-(x_1+x_2)}{4(y_1+y_2)}=-\cfrac{1}{2}\)，
即直线\(l\)的斜率\(k=k_{AB}=-\cfrac{1}{2}\)，
由点斜式可得直线\(l\)的方程为\(y-2=-\cfrac{1}{2}(x-4)\)，整理得到\(x+2y-8=0\)。
此解法简捷漂亮，因其设点求差，故名点差法。
高考真题
(1). 求 \(C\) 的离心率;
解：由题意得 \(\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\cfrac{9}{a^{2}}+\cfrac{\frac{9}{4}}{b^{2}}=1}\end{array}\right.\)， 解得 \(\left\{\begin{array}{l}{a^2=12}\\{b^2=9}\end{array}\right.\) ，故 \(e\)\(=\)\(\sqrt{1-\cfrac{b^2}{a^2}}\)\(=\)\(\sqrt{1-\cfrac{9}{12}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)
(2). 若过 \(P\) 的直线 \(l\) 交 \(C\) 于另一点 \(B\)，且 \(\triangle ABP\) 的面积为 \(9\)，求 \(l\) 的方程 .
方法1️⃣：\(k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}\)\(=\)\(-\cfrac{1}{2}\)，则由点斜式得到直线 \(AP\) 的方程为 \(y=-\cfrac{1}{2}x+3\)，即 \(x+2y-6=0\)，
\(|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\)，由 (1) 知 \(C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\)，
设点 \(B\) 到直线 \(AP\) 的距离为 \(d\)，则由三角形面积公式得 \(d=\cfrac{2\times9}{\cfrac{3 \sqrt{5}}{2}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\)，
则将直线 \(AP\) 沿着与 \(AP\) 垂直的方向平移 \(\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\) 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点 \(B\)，
设该平行线的方程为: \(x+2y+C=0\)，则 \(\cfrac{|C+6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\)，解得 \(C=6\) 或 \(C=-18\)，
当 \(C=6\) 时，联立 \(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1}\\{x+2y+6=0}\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=-3\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-\cfrac{3}{2}\end{array}\right.\)，即 \(B(0,-3)\) 或 \((-3,-\cfrac{3}{2})\) ，
\(\qquad\) 当 \(B(0,-3)\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{3}{2} x-3\)，即 \(3 x-2 y-6=0\)；
\(\qquad\) 当 \(B(-3,-\cfrac{3}{2})\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{1}{2}x\)，即 \(x-2y=0\)，
当 \(C=-18\) 时，联立 \(\left\{\begin{array}{c}\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\\x+2y-18=0\end{array}\right.\) 得 \(2y^2-27y+117=0\)，\(\Delta=27^2-4\times2\times 117=-207<0\)，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线 \(l\) 的方程为 \(3x-2y-6=0\) 或 \(x-2y=0\) .
方法2️⃣：\(k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}\)\(=\)\(-\cfrac{1}{2}\)，则由点斜式得到直线 \(AP\) 的方程为 \(y=-\cfrac{1}{2}x+3\)，即 \(x+2y-6=0\)，
\(|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\)，由 (1) 知 \(C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\)，点 \(B\) 到直线 \(AP\) 的距离 \(d=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}\)，
设 \(B(x_0, y_0)\)，则 \(\left\{\begin{array}{c}\cfrac{|x_0+2 y_0-6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\\\cfrac{x_0^2}{12}+\cfrac{y_0^2}{9}=1\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{c}x_0=-3\\y_0=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{c}x_0=0 \\ y_0=-3\end{array}\right.\)，
即 \(B(0,-3)\) 或 \((-3,-\cfrac{3}{2})\) ，
\(\qquad\) 当 \(B(0,-3)\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{3}{2} x-3\)，即 \(3 x-2 y-6=0\)；
\(\qquad\) 当 \(B(-3,-\cfrac{3}{2})\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{1}{2}x\)，即 \(x-2y=0\)，
综上直线 \(l\) 的方程为 \(3x-2y-6=0\) 或 \(x-2y=0\) .
方法3️⃣：\(k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}\)\(=\)\(-\cfrac{1}{2}\)，则由点斜式得到直线 \(AP\) 的方程为 \(y=-\cfrac{1}{2}x+3\)，即 \(x+2y-6=0\)，
\(|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\)，由 (1) 知 \(C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\)，
设点 \(B\) 到直线 \(AP\) 的距离为 \(d\)，则三角形面积公式得 \(d=\cfrac{2\times9}{\cfrac{3 \sqrt{5}}{2}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\)，
设 \(B(2\sqrt{3}\cos\theta, 3\sin\theta)\)，其中 \(\theta\in[0,2 \pi)\)，则有 \(\cfrac{|2\sqrt{3}\cos\theta+6\sin\theta-6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}\)，
联立 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\\sin\theta=-\cfrac{1}{2}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{c}\cos\theta=0\\\sin\theta=-1\end{array}\right.\)，即 \(B(0,-3)\) 或 \((-3,-\cfrac{3}{2})\) ，
\(\qquad\) 当 \(B(0,-3)\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{3}{2} x-3\)，即 \(3 x-2 y-6=0\)；
\(\qquad\) 当 \(B(-3,-\cfrac{3}{2})\) 时，此时 \(k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{1}{2}x\)，即 \(x-2y=0\)，
综上直线 \(l\) 的方程为 \(3x-2y-6=0\) 或 \(x-2y=0\) .
方法4️⃣：当直线 \(AB\) 的斜率不存在时，此时 \(B(0,-3)\)，\(S_{\triangle PAB}=\cfrac{1}{2}\times6\times3=9\)，符合题意，
此时 \(k_l=\cfrac{3}{2}\)，直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{3}{2} x-3\)，即 \(3x-2y-6=0\)；
当直线 \(AB\) 的斜率存在时，设直线 \(AB\) 的方程为 \(y=kx+3\)，
联立椭圆方程有 \(\left\{\begin{array}{c}y=kx+3\\\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\end{array}\right.\)，则 \((4k^2+3)x^2+24k x=0\), 其中 \(k\neq k_{AP}\), 即 \(k\neq-\cfrac{1}{2}\),
解得 \(x=0\) 或 \(x=\cfrac{-24k}{4k^2+3}\)， \(k\neq 0\)， \(k\neq-\cfrac{1}{2}\)，
令 \(x=\cfrac{-24k}{4k^2+3}\), 则 \(y=\cfrac{-12 k^2+9}{4 k^2+3}\)，则 \(B(\cfrac{-24 k}{4 k^2+3}, \cfrac{-12 k^2+9}{4 k^2+3})\)
同法一得到直线 \(A P\) 的方程为 \(x+2 y-6=0\)，又点 \(B\) 到直线 \(A P\) 的距离 \(d=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}\),
则 \(\cfrac{|\cfrac{-24k}{4k^2+3}+2\times\cfrac{-12k^2+9}{4k^2+3}-6|}{\sqrt{5}}\)\(=\)\(\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}\)，解得 \(k=\cfrac{3}{2}\)，
此时 \(B(-3,-\cfrac{3}{2})\)， 则得到此时 \(k_l=\cfrac{1}{2}\)， 直线 \(l\) 的方程为 \(y=\cfrac{1}{2}x\)，即 \(x-2y=0\)，
综上直线 \(l\) 的方程为 \(3x-2y-6=0\) 或 \(x-2y=0\).
垂直直线系方程，与直线 \(Ax+By+C=0\) \((A\neq 0，B\neq 0)\) 垂直的直线系方程是 \(Bx-Ay+\lambda=0\) \((\lambda 为参数)\)。此处 \(Bx-Ay+\lambda=0\) 应该是 \(-4x-3y+\lambda=0\)，系数调整为 \(4x+3y-\lambda=0\)，即 \(4x+3y+\beta=0\)，习惯上表示为 \(4x+3y+\lambda=0\) . ↩︎
