求直线的方程

公式定理💯随心记

复数的加减法：设 $z_{_{1}}$$=$$a+bi$ ，$z_{_{2}}$$=$$c+di$ ， $a,b,c,d\in R$，则 $z_{_{1}}\pm z_{_{2}}=(a\pm c)+(b\pm d) i ;$

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前情概要

1 . 直线的方程都有哪些形式，请参阅直线方程与直线系方程 .

2 . 在高中阶段，求直线的方程是个比较高频的考点，涉及到的方法很多，比如直接法、公式法、直线系法、向量法、相关点法、参数法、结构分析法、点差法等等。为便于掌握，对各种方法逐个总结如下：

方法列举

✍️ 直接法

直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$，且倾斜角 $\theta$ 的正弦值为 $\cfrac{4}{5}$，求直线 $l$ 的方程 .

解：由于倾斜角 $\theta\in[0,\pi)$ ，且 $\sin\theta=\cfrac{4}{5}$，则 $\cos\theta=\pm\cfrac{3}{5}$，故直线的斜率 $k=\tan\theta=\pm\cfrac{4}{3}$，

又由于直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$，即直线经过点 $(0,3)$，

这样由直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$，可得直线的方程为 $y-3=\pm\cfrac{4}{3}(x-0)$，

整理得到，所求直线的斜截式方程为 $y=\pm\cfrac{4}{3}x+3$，

其对应的一般式方程为 $4x-3y+9=0$ 或 $4x+3y-9=0$ .

[解后反思]：1. 掌握清楚直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式的结构特征，都可以使用直接法求解；2. 题目如果没有特殊要求，其结果一般都写成一般式方程 .

✍️ 待定系数法

过点 $P(2，1)$ 作直线 $l$，分别交 $x$ 轴、$y$ 轴正半轴于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，

（1）当 $\triangle AOB$ 的面积最小时，求直线 $l$ 的方程；

分析：过点 $P$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴正半轴于 $A$、$B$ 两点，

则直线 $l$ 的斜率 $k$ 一定存在且小于零，故设为 $y-1=k(x-2)$，

则点 $A(2-\cfrac{1}{k}，0)$，$B(0，1-2k)$，$k<0$；

则 $S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)$$=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})$

$=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]$$=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]$$\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4$

当且仅当 $-4k=-\cfrac{1}{k}$，即 $k=-\cfrac{1}{2}$ 时等号成立，

故所求直线 $l$ 的方程为 $x+2y-4=0$.

（2）当 $|PA|\cdot|PB|$ 取最小值时，求直线 $l$ 的方程；

分析：设直线方程为 $y-1=k(x-2)$，

$|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2-2+\frac{1}{k})^2+(1-0)^2}\cdot \sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2}$

$=\sqrt{(\frac{1}{k})^2+1}\cdot \sqrt{4+4k^2}$

$=\sqrt{\frac{4}{k^2}+4k^2+8}$

$\geqslant \sqrt{8+2\sqrt{4k^2\times \frac{4}{k^2}}}$

$=$$\sqrt{8+8}=4$

当且仅当 $\cfrac{4}{k^2}=4k^2$，又由于 $k<0$，即 $k=-1$ 时取到等号，

故所求直线 $l$ 的方程为 $x+y-3=0$.

✍️ 直线系法

求经过两直线 $x-2y+4=0$ 和 $x+y-2=0$ 的交点 $P$，且和直线 $3x-4y+5=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程 .

法 1：常规方法，联立方程 $\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，求得 $\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即点 $P(0,2)$，

由题目可知，所求直线的斜率 $k_{l}=-\cfrac{4}{3}$，

由点斜式可得直线方程为 $y-2=-\cfrac{4}{3}(x-0)$，整理得到 $4x+3y-6=0$ .

法 2：直线系法，也没有多大的优势，仅仅是拓展思路而已 .

设直线 $l$ 的方程为 $4x+3y+\lambda=0$，^[1]

由于直线 $l$ 经过点 $P(0,2)$，故 $0+6+\lambda=0$，解得 $\lambda=-6$，

故所求直线的方程为 $4x+3y-6=0$ .

✍️ 向量法

已知 $\vec{a}=(6，2)$，$\vec{b}=(-4，\cfrac{1}{2})$，直线 $l$ 经过点 $A(3，-1)$，且与向量 $\vec{a}+2\vec{b}$ 垂直，求直线 $l$ 的一般方程 .

分析：$\vec{a}+2\vec{b}=(-2，3)$，设直线 $l$ 的方向向量为 $(1，k)$，则由直线 $l$ 与向量 $\vec{a}+2\vec{b}$ 垂直，得到 $-2+3k=0$，即 $k=\cfrac{2}{3}$，

即直线 $l$ 的斜率为 $k=\cfrac{2}{3}$，又过点 $A(3，-1)$，则方程为 $y+1=\cfrac{2}{3}(x-3)$，

整理得到一般式方程为 $2x-3y-9=0$ .

✍️ 相关点法，请参阅相关点法

求直线 $x+2y-3=0$ 关于点 $(-1,1)$ 的直线 $l$ 的方程 .

解：设所求直线 $l$ 上的动点 $P$ 的坐标为 $P(x,y)$，此动点 $P$ 关于点 $(-1,1)$ 的对称点为 $P'(x',y')$，

由 $\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x+x'}{2}=-1}\\{\cfrac{y+y'}{2}=1}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x'=-2-x}\\{y'=2-y}\end{array}\right.$，

由于动点 $P'$ 在直线 $x+2y-3=0$ 上运动，故满足其方程，代入 $(-2-x)+2(2-y)-3=0$，

整理得到，所求直线方程为 $x+2y+1=0$ .

✍️ 参数法，相关内容已经在高考中删除，如需要请参阅直线的参数方程的应用题型

【北师大选修教材 4-4 $P_{_{31}}$ 例 $1$ 改编】 已知直线 $l$ 过点 $P(1,2)$， 且它的倾斜角 $\theta=135^{\circ}$ ，写出直线 $l$ 的参数方程；

解析： 由于直线 $l$ 过点 $P(1,2),$ 且它的倾斜角 $\theta=135^{\circ},$ 所以它的参数方程可以写成

$$\left\{\begin {array}{l} x=1+t\cos135^{\circ},\\y=2+t\sin135^{\circ}\end {array} ( t 为参数 )\right.$$

即，直线 $l$ 的参数方程为

$$\left\{\begin {array}{l} x=1-\cfrac {\sqrt {2}}{2} t,\\y=2+\cfrac {\sqrt {2}}{2} t\end {array}( t 为参数 )\right.$$

✍️ 结构分析法，例题暂缺；

✍️ 点差法

如点 $P(4，2)$ 是直线 $l$ 被椭圆：$\cfrac{x^2}{36}+\cfrac{y^2}{9}=1$ 所截得的线段的中点，求直线 $l$ 的方程。

分析：设直线与椭圆相交于两点 $A(x_1，y_1)$ 和 $B(x_2，y_2)$，

由于点 $P(4，2)$ 是线段 $AB$ 的中点，故有 $x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=4$；

又由于点 $A、B$ 都在椭圆上，

则有 $x_1^2+4y_1^2=36①$，$x_2^2+4y_2^2=36②$，

两式作差得到，$(x_1^2-x_2^2)+4(y_1^2-y_2^2)=0$，

即 $(x_1+x_2)(x_1-x_2)+4(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$，

也就是 $\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{-(x_1+x_2)}{4(y_1+y_2)}=-\cfrac{1}{2}$，

即直线 $l$ 的斜率 $k=k_{AB}=-\cfrac{1}{2}$，

由点斜式可得直线 $l$ 的方程为 $y-2=-\cfrac{1}{2}(x-4)$，整理得到 $x+2y-8=0$。

此解法简捷漂亮，因其设点求差，故名点差法。

高考真题

【2024 年新课标全国 Ⅰ 卷第 16 题】已知 $A(0,3)$ 和 $P(3,\cfrac{3}{2})$ 为椭圆 $C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上两点 .

(1). 求 $C$ 的离心率；

解：由题意得 $\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\cfrac{9}{a^{2}}+\cfrac{\frac{9}{4}}{b^{2}}=1}\end{array}\right.$， 解得 $\left\{\begin{array}{l}{a^2=12}\\{b^2=9}\end{array}\right.$ ，故 $e$$=$$\sqrt{1-\cfrac{b^2}{a^2}}$$=$$\sqrt{1-\cfrac{9}{12}}$$=$$\cfrac{1}{2}$

(2). 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$，且 $\triangle ABP$ 的面积为 $9$，求 $l$ 的方程 .

方法 1️⃣：$k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}$$=$$-\cfrac{1}{2}$，则由点斜式得到直线 $AP$ 的方程为 $y=-\cfrac{1}{2}x+3$，即 $x+2y-6=0$，

$|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}$，由 (1) 知 $C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1$，

设点 $B$ 到直线 $AP$ 的距离为 $d$，则由三角形面积公式得 $d=\cfrac{2\times9}{\cfrac{3 \sqrt{5}}{2}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}$，

则将直线 $AP$ 沿着与 $AP$ 垂直的方向平移 $\cfrac{12\sqrt{5}}{5}$ 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点 $B$，

设该平行线的方程为: $x+2y+C=0$，则 $\cfrac{|C+6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}$，解得 $C=6$ 或 $C=-18$，

当 $C=6$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1}\\{x+2y+6=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=-3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-\cfrac{3}{2}\end{array}\right.$，即 $B(0,-3)$ 或 $(-3,-\cfrac{3}{2})$ ，

$\qquad$ 当 $B(0,-3)$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{3}{2} x-3$，即 $3 x-2 y-6=0$；

$\qquad$ 当 $B(-3,-\cfrac{3}{2})$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{1}{2}x$，即 $x-2y=0$，

当 $C=-18$ 时，联立 $\left\{\begin{array}{c}\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\\x+2y-18=0\end{array}\right.$ 得 $2y^2-27y+117=0$，$\Delta=27^2-4\times2\times 117=-207<0$，此时该直线与椭圆无交点.

综上直线 $l$ 的方程为 $3x-2y-6=0$ 或 $x-2y=0$ .

方法 2️⃣：$k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}$$=$$-\cfrac{1}{2}$，则由点斜式得到直线 $AP$ 的方程为 $y=-\cfrac{1}{2}x+3$，即 $x+2y-6=0$，

$|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}$，由 (1) 知 $C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1$，点 $B$ 到直线 $AP$ 的距离 $d=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}$，

设 $B(x_0, y_0)$，则 $\left\{\begin{array}{c}\cfrac{|x_0+2 y_0-6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}\\\cfrac{x_0^2}{12}+\cfrac{y_0^2}{9}=1\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{c}x_0=-3\\y_0=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x_0=0 \\ y_0=-3\end{array}\right.$，

即 $B(0,-3)$ 或 $(-3,-\cfrac{3}{2})$ ，

$\qquad$ 当 $B(0,-3)$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{3}{2} x-3$，即 $3 x-2 y-6=0$；

$\qquad$ 当 $B(-3,-\cfrac{3}{2})$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{1}{2}x$，即 $x-2y=0$，

综上直线 $l$ 的方程为 $3x-2y-6=0$ 或 $x-2y=0$ .

方法 3️⃣：$k_{_{AP}}=\cfrac{3-\frac{3}{2}}{0-3}$$=$$-\cfrac{1}{2}$，则由点斜式得到直线 $AP$ 的方程为 $y=-\cfrac{1}{2}x+3$，即 $x+2y-6=0$，

$|AP|=\sqrt{(0-3)^2+(3-\cfrac{3}{2})^2}=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}$，由 (1) 知 $C:\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1$，

设点 $B$ 到直线 $AP$ 的距离为 $d$，则三角形面积公式得 $d=\cfrac{2\times9}{\cfrac{3 \sqrt{5}}{2}}=\cfrac{12\sqrt{5}}{5}$，

设 $B(2\sqrt{3}\cos\theta, 3\sin\theta)$，其中 $\theta\in[0,2 \pi)$，则有 $\cfrac{|2\sqrt{3}\cos\theta+6\sin\theta-6|}{\sqrt{5}}=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}$，

联立 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，解得 $\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\\sin\theta=-\cfrac{1}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}\cos\theta=0\\\sin\theta=-1\end{array}\right.$，即 $B(0,-3)$ 或 $(-3,-\cfrac{3}{2})$ ，

$\qquad$ 当 $B(0,-3)$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{\frac{3}{2}-(-3)}{3-0}=\cfrac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{3}{2} x-3$，即 $3 x-2 y-6=0$；

$\qquad$ 当 $B(-3,-\cfrac{3}{2})$ 时，此时 $k_{_{BP}}=\cfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{1}{2}x$，即 $x-2y=0$，

综上直线 $l$ 的方程为 $3x-2y-6=0$ 或 $x-2y=0$ .

方法 4️⃣：当直线 $AB$ 的斜率不存在时，此时 $B(0,-3)$，$S_{\triangle PAB}=\cfrac{1}{2}\times6\times3=9$，符合题意，

此时 $k_l=\cfrac{3}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{3}{2} x-3$，即 $3x-2y-6=0$；

当直线 $AB$ 的斜率存在时，设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+3$，

联立椭圆方程有 $\left\{\begin{array}{c}y=kx+3\\\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{9}=1\end{array}\right.$，则 $(4k^2+3)x^2+24k x=0$, 其中 $k\neq k_{AP}$, 即 $k\neq-\cfrac{1}{2}$,

解得 $x=0$ 或 $x=\cfrac{-24k}{4k^2+3}$， $k\neq 0$， $k\neq-\cfrac{1}{2}$，

令 $x=\cfrac{-24k}{4k^2+3}$, 则 $y=\cfrac{-12 k^2+9}{4 k^2+3}$，则 $B(\cfrac{-24 k}{4 k^2+3}, \cfrac{-12 k^2+9}{4 k^2+3})$

同法一得到直线 $A P$ 的方程为 $x+2 y-6=0$，又点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离 $d=\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}$,

则 $\cfrac{|\cfrac{-24k}{4k^2+3}+2\times\cfrac{-12k^2+9}{4k^2+3}-6|}{\sqrt{5}}$$=$$\cfrac{12 \sqrt{5}}{5}$，解得 $k=\cfrac{3}{2}$，

此时 $B(-3,-\cfrac{3}{2})$， 则得到此时 $k_l=\cfrac{1}{2}$， 直线 $l$ 的方程为 $y=\cfrac{1}{2}x$，即 $x-2y=0$，

综上直线 $l$ 的方程为 $3x-2y-6=0$ 或 $x-2y=0$.

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1. 垂直直线系方程，与直线 $Ax+By+C=0$ $(A\neq 0，B\neq 0)$ 垂直的直线系方程是 $Bx-Ay+\lambda=0$ $(\lambda 为参数)$。此处 $Bx-Ay+\lambda=0$ 应该是 $-4x-3y+\lambda=0$，系数调整为 $4x+3y-\lambda=0$，即 $4x+3y+\beta=0$，习惯上表示为 $4x+3y+\lambda=0$ . ↩︎