选择静雅斋，轻松学数学 | 例题说明

公式定理💯随心记

【柯西不等式】文字语言：向量形式的不等式关系。符号语言：$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geqslant (\sum a_ib_i)^2$；向量形式：$(\vec {a}\cdot\vec {b})^2\leqslant|\vec {a}|^2\cdot|\vec {b}|^2$

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数学平台的选择考量

如何选择一个非常适合自己的高中数学学习平台，这不是一件容易的事情。她往往要求平台的制作者的数学专业知识和电脑知识都比较精通，且能将二者巧妙融汇，能将所有相关的学习要素都整合到一起，方便学习和调取使用。尤其是碰到想不通的地方要能借助静态课件，或动态课件，或高清视频等帮我们高屋建瓴，恰切点拨；当我们对某个知识点有了相关的感悟，急切地跃跃欲试时还要有小试牛刀的训练素材、机会、工具供我们使用；再者涉及到某个公式、定理等要有相关的内容和证明等等，这些都很考验制作者的学识、能力和智慧。静雅斋数学在这方面作了相应的尝试，感觉效果不错，你可以试试。

以下的题目求解案例，就融合了博主对高中数学的教与学中的思考。凡是与本题目相关的思维过程、运算细节、难点突破、训练拓展等等的一切，本博客都会努力作出相应的注释与说明，而这样的编排方法和体例，在静雅斋中处处可见，感谢不吝赐教。

案例分析

【2025 届高三质检题】定义：$N\{f(x)\otimes g(x)\}$ 表示 $f(x)<g(x)$ 的解集中的整数解之和。若 $f(x)$$=$$|log_2x|$，$g(x)$$=$$a(x-1)^2+2$，$N\{f(x)\otimes g(x)\}=6$，则实数 $a$ 的取值范围是____________.

思维切片：初次阅读题目，感受到应该注意以下几点：

① 这个新定义题目中的新定义我没有见过，心里有点小慌张，表达式 $N\{f(x)\otimes g(x)\}$ 应该如何理解？还有没有类似的新定义题目可供思考与练习？

② 题目中的不等式涉及到的函数有一个比较复杂，我看了后心里比较慌，不等式 $f(x)<g(x)$ 的求解应该如何思考，到底是应该像初中的不等式那样从数的角度直接求解 [求解代数不等式]，还是像常见的高三数学题一样从形的角度来求解 [求解超越不等式，借助图象来求解]？为什么必修要这样思考求解？

③ 函数 $g(x)=a(x-1)^2+2$ ，应该是经过某个定点的函数？这个定点坐标如何求解？图象如何绘制？

④ 高中阶段的常见函数的图象如何绘制 [手工快速绘制]？常见函数中若带有参数，其图象又应该如何绘制？各参数如何影响函数的图象？

⑤ 适合本题目的动态课件应该如何制作 [这个问题往往是教师要思考的问题]？

⑥ 当确定用图象来求解此不等式时，如何寻找关键的控制因素？结合以上想到的角度，详细解析如下：

分析：由题目可知，表达式 $N\{f(x)\otimes g(x)\}$ 表示 $f(x)<g(x)$ 的解集中的整数解之和，即先需要知道此不等式的有解区间是什么，在此基础上再确定整数解，注意到不等式左端的函数 $f(x)$ 是含有绝对值的函数，其图象一般的高中学生应该都会，而不等式的右端的函数 $g(x)$ 是二次函数，但是含有参数 $a$，故其图象应该是动态的，两个函数连结成一个不等式 [我们可以称为函数不等式]，应该属于超越不等式，一般要考虑用图象 [即从形的角度来思考；象 $2x^2-3x+1>0$ 这样的代数不等式才使用代数的方法从数的角度来求解] 来求解这个不等式。故先在坐标系中画出函数 $f(x)$ 的图象如下图所示，而仿二次函数 $g(x)$$=$$a(x-1)^2+2$，应该是经过定点 $(1,2)$ 的曲线，当我们先用 $a=0$ [从简原则，可以帮助我们先理解题意] 来考查这个函数的图象时，其变化为经过定点 $(1,2)$ 的直线，此时两个函数的交点为 $(0.5,2)$ 和 $(4,2)$ [说明：① 这两个点的坐标我们都可以自行计算得到；② 不等式的解集为 $(0.5,4)$，在此区间上的整数解有 $1$,$2$,$3$，$1+2+3=6$]，又 $N\{f(x)\otimes g(x)\}$$=$$6$，又要求 $f(x)$$<$$g(x)$ ，这样从形上要求函数 $f(x)$ 图象 [红色部分] 在 函数 $g(x)$ 的图象 [蓝色部分] 的下方部分中的整数解的个数为 $3$，显然解集中应该有 $\{1,2,3\}$ ，只有 $1+2+3=6$，

当 $a=0$ 时，图形是符合题意的；

再思考当 $a>0$ 时，当 $a$ 从零开始变为正值，，图象由直线变为开口向上的抛物线，画出函数的简图，显然不符合题意，

当 $a<0$ 时， 当 $a$ 从零开始变为负值，图象由直线变为开口向下的抛物线，由图像可知，要满足题意，从形的角度控制点 $(3,f(3))$ 应该在点 $(3,g(3))$ 的下方，从数的角度限制，只需要 $f(3)<g(3)$ 即可，接下来解不等式 $f(3)<g(3)$，此时的不等式已经变化为代数不等式了 .

即 $|\log_23|<a(3-1)^2+2$，解得 $a>\cfrac{\log_23-2}{4}$ ，则 $\cfrac{\log_23-2}{4}<a<0$ ，

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(\cfrac{\log_23-2}{4},0 ]$ .

读者定位

本博客适合高中所有学段的高一、高二、高三学生，以及部分学生家长，初次入职高中学段辅导班的老师.

课件制作视频

• 上传这个视频的目的，是和同仁、学生交流如何利用数学软件，改进学习方式，提升思维层次。

延申拓展

【拓展检题 02 , 2020 陕西省质检二习题】定义：$N\{f(x)\otimes g(x)\}$ 表示 $f(x)<g(x)$ 的解集中的整数解的个数。若 $f(x)$$=$$|log_2x|$，$g(x)$$=$$a(x-1)^2+2$，$N\{f(x)\otimes g(x)\}=1$，则实数 $a$ 的范围是【$\qquad$】

$A.(-3,-1]$ $B.(-\infty,-1]$ $C.(-\infty,-2]$ $D.[-1,0)$

分析：由题目可知，$N\{f(x)\otimes g(x)\}=1$ 要求 $f(x)<g(x)$ 的解集中的整数解的个数为 $1$，

当 $a\geqslant 0$ 时显然不符合题意，

当 $a<0$ 时，由图像可知，要满足题意，只需要 $g(2)\leqslant f(2)$，

即 $a(2-1)^2+2\leqslant 1=log_22$，解得 $a\leqslant -1$，故选 $B$.

【拓展检题 02】定义：$N\{f(x)\otimes g(x)\}$ 表示 $f(x)<g(x)$ 的解集中的整数解的个数。若 $f(x)$$=$$|log_2x|$，$g(x)$$=$$a(x-1)^2+2$，$N\{f(x)\otimes g(x)\}=3$，则实数 $a$ 的取值范围是____________.