选择静雅斋，轻松学数学 | 例题说明

数学平台的选择考量

如何选择一个非常适合自己的高中数学学习平台，这不是一件容易的事情。她往往要求平台的制作者的数学专业知识和电脑知识都比较精通，且能将二者巧妙融汇，能将所有相关的学习要素都整合到一起，方便学习和调取使用。尤其是碰到想不通的地方要能借助静态课件，或动态课件，或高清视频等帮我们高屋建瓴，恰切点拨；当我们对某个知识点有了相关的感悟，急切地跃跃欲试时还要有小试牛刀的训练素材、机会、工具供我们使用；再者涉及到某个公式、定理等要有相关的内容和证明等等，这些都很考验制作者的学识、能力和智慧。静雅斋数学在这方面作了相应的尝试，感觉效果不错，你可以试试。

以下的题目求解案例，就融合了博主对高中数学的教与学中的思考。凡是与本题目相关的思维过程、运算细节、难点突破、训练拓展等等的一切，本博客都会努力作出相应的注释与说明，而这样的编排方法和体例，在静雅斋中处处可见，感谢不吝赐教。

案例分析

【2025届高三质检题】定义：\(N\{f(x)\otimes g(x)\}\) 表示 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解之和 . 若 \(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=6\)，则实数 \(a\) 的取值范围是____________.

思维切片：初次阅读题目，感受到应该注意以下几点：

① 这个新定义题目中的新定义我没有见过，心里有点小慌张，表达式 \(N\{f(x)\otimes g(x)\}\) 应该如何理解？还有没有类似的新定义题目可供思考与练习？

② 题目中的不等式涉及到的函数有一个比较复杂，我看了后心里比较慌，不等式 \(f(x)<g(x)\) 的求解应该如何思考，到底是应该像初中的不等式那样从数的角度直接求解[求解代数不等式]，还是像常见的高三数学题一样从形的角度来求解[求解超越不等式，借助图象来求解]？为什么必修要这样思考求解？

③ 函数 \(g(x)=a(x-1)^2+2\) ，应该是经过某个定点的函数？这个定点坐标如何求解？图象如何绘制？

④ 高中阶段的常见函数的图象如何绘制[手工快速绘制]？常见函数中若带有参数，其图象又应该如何绘制？各参数如何影响函数的图象？

⑤ 适合本题目的动态课件应该如何制作[这个问题往往是教师要思考的问题]？

⑥ 当确定用图象来求解此不等式时，如何寻找关键的控制因素？结合以上想到的角度，详细解析如下：

分析：由题目可知，表达式 \(N\{f(x)\otimes g(x)\}\) 表示 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解之和，即先需要知道此不等式的有解区间是什么，在此基础上再确定整数解，注意到不等式左端的函数 \(f(x)\) 是含有绝对值的函数，其图象一般的高中学生应该都会，而不等式的右端的函数 \(g(x)\) 是二次函数，但是含有参数 \(a\)，故其图象应该是动态的，两个函数连结成一个不等式[我们可以称为函数不等式]，应该属于超越不等式，一般要考虑用图象[即从形的角度来思考；象 \(2x^2-3x+1>0\) 这样的代数不等式才使用代数的方法从数的角度来求解]来求解这个不等式。故先在坐标系中画出函数 \(f(x)\) 的图象如下图所示，而仿二次函数 \(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，应该是经过定点 \((1,2)\) 的曲线，当我们先用 \(a=0\) [从简原则，可以帮助我们先理解题意]来考查这个函数的图象时，其变化为经过定点 \((1,2)\) 的直线，此时两个函数的交点为 \((0.5,2)\) 和 \((4,2)\) [说明：① 这两个点的坐标我们都可以自行计算得到；② 不等式的解集为 \((0.5,4)\)，在此区间上的整数解有 \(1\),\(2\),\(3\)，\(1+2+3=6\)]，又 \(N\{f(x)\otimes g(x)\}\)\(=\)\(6\)，又要求 \(f(x)\)\(<\)\(g(x)\) ，这样从形上要求函数 \(f(x)\) 图象[红色部分]在 函数 \(g(x)\) 的图象[蓝色部分]的下方部分中的整数解的个数为 \(3\)，显然解集中应该有 \(\{1,2,3\}\) ，只有 \(1+2+3=6\)，

当 \(a=0\) 时，图形是符合题意的；

再思考当 \(a>0\) 时，当 \(a\) 从零开始变为正值，，图象由直线变为开口向上的抛物线，画出函数的简图，显然不符合题意，

当 \(a<0\) 时， 当 \(a\) 从零开始变为负值，图象由直线变为开口向下的抛物线，由图像可知，要满足题意，从形的角度控制点 \((3,f(3))\) 应该在点 \((3,g(3))\) 的下方，从数的角度限制，只需要 \(f(3)<g(3)\) 即可，接下来解不等式 \(f(3)<g(3)\)，此时的不等式已经变化为代数不等式了 .

即\(|\log_23|<a(3-1)^2+2\)，解得 \(a>\cfrac{\log_23-2}{4}\) ，则 \(\cfrac{\log_23-2}{4}<a<0\) ，

综上所述，实数 \(a\) 的取值范围是 \((\cfrac{\log_23-2}{4},0 ]\) .

读者定位

本博客适合高中所有学段的高一、高二、高三学生，以及部分学生家长，初次入职高中学段辅导班的老师.

课件制作视频

• 上传这个视频的目的，是和同仁、学生交流如何利用数学软件，改进学习方式，提升思维层次。

延申拓展

【拓展检题02 , 2020陕西省质检二习题】定义：\(N\{f(x)\otimes g(x)\}\)表示\(f(x)<g(x)\)的解集中的整数解的个数.若\(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=1\)，则实数\(a\)的范围是【\(\qquad\)】

$A.(-3,-1]$ $B.(-\infty,-1]$ $C.(-\infty,-2]$ $D.[-1,0)$

分析：由题目可知，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=1\) 要求 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解的个数为\(1\)，

当\(a\geqslant 0\)时显然不符合题意，

当\(a<0\)时，由图像可知，要满足题意，只需要\(g(2)\leqslant f(2)\)，

即\(a(2-1)^2+2\leqslant 1=log_22\)，解得\(a\leqslant -1\)，故选\(B\).

【拓展检题02】定义：\(N\{f(x)\otimes g(x)\}\) 表示 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解的个数 . 若 \(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=3\)，则实数 \(a\) 的取值范围是____________.