新定义习题 02

前情概要

新定义类型的题目，对学生的数学思维的要求还是比较高的，往往不是一句话能说清楚的，你可以看看 新定义习题 01，积累一定的数学素养。

典例剖析

【2020陕西省质检二习题】定义：\(N\{f(x)\otimes g(x)\}\)表示\(f(x)<g(x)\)的解集中的整数解的个数.若\(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=1\)，则实数\(a\)的范围是【\(\qquad\)】

$A.(-3,-1]$ $B.(-\infty,-1]$ $C.(-\infty,-2]$ $D.[-1,0)$

分析：由题目可知，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=1\) 要求 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解的个数为\(1\)，

当\(a\geqslant 0\)时显然不符合题意，

当\(a<0\)时，由图像可知，要满足题意，只需要\(g(2)\leqslant f(2)\)，

即\(a(2-1)^2+2\leqslant 1=log_22\)，解得\(a\leqslant -1\)，故选\(B\).

【2025届高三质检题】定义：\(N\{f(x)\otimes g(x)\}\) 表示 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解之和 . 若 \(f(x)\)\(=\)\(|log_2x|\)，\(g(x)\)\(=\)\(a(x-1)^2+2\)，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=6\)，则实数 \(a\) 的取值范围是____________.

分析：由题目可知，\(N\{f(x)\otimes g(x)\}=6\)，要求 \(f(x)<g(x)\) 的解集中的整数解之和为\(6\)，结合图象可知，解集中应该有 \(\{1,2,3\}\) ，针对 \(a\) 的取值分类讨论如下：

当 \(a>0\) 时显然不符合题意，

当 \(a=0\) 时符合题意；

当 \(a<0\) 时，由图像可知，要满足题意，只需要 \(f(3)<g(3)\)，即 \(|\log_23|<a(3-1)^2+2\)，解得 \(a>\cfrac{\log_23-2}{4}\)， 则 \(\cfrac{\log_23-2}{4}<a<0\) ，

综上所述，实数 \(a\) 的取值范围是 \((\cfrac{\log_23-2}{4},0]\) .

【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第12题】在平面直角坐标系中的\(A、B\)两点满足：①点\(A、B\)都在函数\(f(x)\)上；②点\(A、B\)关于原点对称，则称点\((A，B)\)是函数\(f(x)\)的一个“姊妹点对”。点\((A，B)\)和点\((B，A)\)可以看作同一个“姊妹点对”，已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+2x，&x<0\\\cfrac{2}{e^x}，&x\ge 0\end{cases}\)，则函数\(f(x)\)的“姊妹点对”有【\(\qquad\)】

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

分析：当我们做出函数的整体图像后，应该想到新定义就是问我们：分段函数的一段上有几个点和分段函数另一段上的点是关于原点对称的。

本题目考查思维之处在于，你能否想到将一个分段函数的两段图像上的点关于原点的对称问题，

转化为其一段图像如\(y=\cfrac{2}{e^x}(x>0)\)和另一段图像\(y=x^2+2x(x\leq 0)\)关于原点对称的图像\(y=-x^2+2x(x>0)\)的交点个数问题。另一个考查之处就是手工作图像的能力。

做出适合题意的图像，由图像可知“姊妹点对”有2个，故选C。

反思总结：1、新定义的理解及运用，作函数的图像，转化划归，数形结合；2、新定义题目考查学生快速理解和简单运用数学概念的素养；3、题目的转化划归能力的考查。

定义：如果在\(y=f(x)\)定义域内的给定区间\([a,b]\)上存在\(x_0(a<x_0<b)\)，满足\(f(x_0)\) \(=\) \(\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，则称函数\(y=f(x)\) 是 \([a,b]\) 上的“平均值函数”，\(x_0\) 是它的一个均值点，如 \(y=x^4\) 是 \([-1,1]\) 上的平均值函数，\(0\) 是它的均值点，现有函数\(f(x)=-x^2+mx+1\) 是 \([-1,1]\) 上的平均值函数，则实数 \(m\) 的取值范围是________________。

分析：由题意可知，存在 \(x_0\in (-1,1)\)，使得 \(f(x_0)=\cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}\)，

化简得到，\(f(x_0)=m\) 有解，即 \(-x_0^2+mx_0+1=m\)，

即\((x_0-1)m=x_0^2-1\)，由于\(x_0-1\neq 0\)，故转化为\(m=x_0+1\)在\(x_0\in(-1,1)\)上有解，

即需要求函数\(y=x_0+1\)的值域，而\(x_0+1\in (0,2)\)，故\(m\in (0,2)\).

【2019\(\cdot\)郑州质检】若函数\(f(x)\)存在\(n-1(n\in N^*)\)个极值点，则称函数\(f(x)\)为\(n\)折函数，例如函数\(f(x)=x^2\)为\(2\)折函数，已知函数\(f(x)=(x+1)e^x-x(x+2)^2\)，则\(f(x)\)为【\(\quad\)】折函数；

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：\(f'(x)=(x+2)e^x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e^x-3x-2)\)，

令\(f'(x)=0\)，则得到\(x=-2\)注意，虽然\(x=-2\)是导函数的零点，但未必是原函数的极值点，若其是导函数的不变号零点，则不会成为原函数的极值点。\(\quad\)，或\(e^x=3x+2\)

补充图像说明如下，

当\(x<-2\)时，\(x+2<0\)，\(e^x>0\)，\(3x+2<0\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，即\((x+2)[e^x-(3x+2)]<0\)，即\(f'(x)<0\)；

当\(x>-2\)时，\(x+2>0\)，\(e^x>0\)，\(3x+2<0\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，即\((x+2)[e^x-(3x+2)]>0\)，即\(f'(x)>0\)；

故易知\(x=-2\)为其一个极值点；

以下重点说明由\(e^x=3x+2\)可以得到两个极值点，

结合上述图像可知，\(y=e^x\)和\(y=3x+2\)有两个交点，

当\(x<x_1\)时，\(e^x>3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，当\(x>x_1\)时，\(e^x<3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)<0\)，

当\(x=x_1\)时，\(e^x=3x+2\)，故\(x=x_1\)为原函数的一个极值点，

当\(x<x_2\)时，\(e^x<3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)<0\)，当\(x>x_2\)时，\(e^x>3x+2\)，故\(e^x-(3x+2)>0\)，

当\(x=x_2\)时，\(e^x=3x+2\)，故\(x=x_2\)为原函数的一个极值点，

综上所述，函数\(f(x)\)共有三个极值点，即函数为\(4\)折函数，故选\(C\)。

【2020陕西省高三数学质量检测二文科第5题】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号“➖”和“➖➖”，其中“➖”在二进制中记作“1”，其中“➖➖”在二进制中记作“0”.例如二进制数\(1011_{(2)}=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0=11_{(10)}\)，若从两类符号中任取\(2\)个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为【\(\qquad\)】

$A.0$ $B.\cfrac{1}{2}$ $C.\cfrac{1}{3}$ $D.\cfrac{1}{4}$

分析：从两类符号对应的数字\(0\)和\(1\)中任取\(2\)个数字[包含两个数字相同和两个数字不相同两种情形]进行排列，

共有4种情形，列举如下，\(00_{(2)}\)、\(01_{(2)}\)、\(10_{(2)}\)、\(11_{(2)}\)；

其中\(00_{(2)}=0\times 2^1+0\times 2^0=0_{(10)}\)；\(01_{(2)}=0\times 2^1+1\times 2^0=1_{(10)}\)；

\(10_{(2)}=1\times 2^1+0\times 2^0=2_{(10)}\)；\(11_{(2)}=1\times 2^1+1\times 2^0=3_{(10)}\)；

得到的二进制数所对应的十进制数大于\(2\)的为\(11_{(2)}\)，故所求概率为\(P=\cfrac{1}{4}\)；故选\(D\);

【2021届高三文科数学二轮复习用题】给定集合 \(A\) ，若对于任意 \(a\)， \(b\in A\)， 有 \(a+b\in A\)， 且 \(a-b\in A\)， 则称集合 \(A\)为闭集合，给出以下三个结论：

① 集合 \(A=\{-4\)，\(-2\)，\(0\)，\(2\)，\(4\}\) 为闭集合；

② 集合 \(A=\{n\mid n=3k， k\in Z\}\) 为闭集合；

③ 若集合 \(A_{1}\)， \(A_{2}\) 为闭集合，则 \(A_{1}\cup A_{2}\) 为闭集合.

其中正确结论的序号是_____________.

解析：在 ① 中， 由于 \(-4+(-2)=-6 \not\in A\)， 所以 ① 不正确；

在 ② 中，设 \(n_{1}\)， \(n_{2}\in A\)， \(n_{1}=3k_{1}\)， \(n_{2}=3k_{2}\)， \(k_{1}\)， \(k_{2}\in Z\)， 则 \(n_{1}+n_{2}\)\(=\)\(3(k_1+k_2)\)\(=3k_3\)\(\in A\)， \(k_{3}\in Z\)，\(n_{1}-n_{2}\)\(=\)\(3(k_1-k_2)\)\(=\)\(3k_4\)\(\in A\)，\(k_{4}\in Z\)，所以 ② 正确；

在 ③ 中, 令 \(A_{1}=\{n\mid n=3k_{1}, k_{1}\in Z\}\)， \(A_{2}=\{n\mid n=\sqrt{2}k_{2}, k_{2}\in Z\}\)，则 \(A_{1}\)， \(A_{2}\) 为闭集合，但 \(3k_{1}+\sqrt{2}k_{2}\not\in(A_{1}\cup A_{2})\)， 故 \(A_{1}\cup A_{2}\) 不是闭集合，所以 ③ 不正确.

故正确结论的序号是 ② ；

如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案， 俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种相互转化， 相对统一的和谐美， 定义: 能够将圆 \(O\) 的周长和面积同时等分成两个部分的函数 称为圆 \(O\) 的一个 “太极函数”， 则下列有关说法中:

①. 函数 \(f(x)=\sqrt[3]{x}+1\) 是圆 \(O: x^{2}+(y-1)^{2}=1\) 的一个太极函数；

②. 函数 \(f(x)={e}^{x-1}-{e}^{1-x}+2\) 是圆 \(O:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1\) 的一个太极函数；

③. 函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x,&x\geq 0\\-x^{2}-x,&x<0\end{array}\right.\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；

④. 函数 \(f(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数. 所有正确的是______________.

解析：本题目实质是问，所给的函数是不是关于所给圆的圆心成中心对称图形，如果是，则此函数必能将圆 \(O\) 的周长和面积同时等分成两个部分，故其就是所给圆的太极函数；

对于①而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)\(+\)\(1\)，其对称中心为\((0,1)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\) 是圆 \(O\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\((y-1)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；辅助记忆：\(y\)\(=\)\(x^3\)与\(y\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)的图像关于直线\(y\)\(=\)\(x\)对称；

对于②而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，其对称中心为\((1,2)\)，说明：\(y\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)为奇函数，单调递增，对称中心为\((0,0)\)，将其向右平移一个单位，得到 \(y\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)，再将其向上平移\(2\)个单位，得到 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，故其对称中心为\((1,2)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\) 是圆 \(O\)\(:\)\((x-1)^{2}\)\(+\)\((y-2)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；

对于③而言，做出函数的简图，就能看出来\(f(x)\)是个奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，故函数 \(f(x)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；

对于④而言，函数\(f(x)\)为奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，说明：\(f(x)\)\(+\)\(f(-x)\)\(=\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)\(+\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)\(=\)\(\ln1\)\(=\)\(0\)，故其对称中心为\((0,0)\)，则函数 \(f(x)\) 是圆 \(0\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；

综上所述，所有正确的是 ①②③④ .

【2020学生问题】【新定义问题】设非空集合\(A\)为实数集的子集，若\(A\)满足下列两个条件：

(1).\(0\in A\)，\(1\in A\)；

(2).对任意\(x,y\in A\)，\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)，则称\(A\)为一个数域，那么命题：

①有理数集\(Q\)是一个数域；

②若\(A\)为一个数域，则\(Q\subseteq A\)；

③若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cap B\)也是一个数域；

④若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)也是一个数域；

其中真命题的序号为___________。

初次理解如下：比如整数集\(Z\)就不是一个数域，整数集\(Z\)满足\(0\in Z\)，\(1\in Z\)；但是不满足条件二，比如\(1\in Z\)，\(2\in Z\)，但是\(\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故整数集\(Z\)不是一个数域；同理，自然数集\(N\)不是数域[同理\(\cfrac{1}{2}\not\in N\)，]，无理数集\(C_RQ\)不是数域[比如\(\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\not\in C_RQ\)]；

详细分析如下：

对于①而言，有理数集\(Q\)显然满足条件一，对于任意两个有理数，其四则运算的结果一定是有理数，则满足条件二，故有理数集\(Q\)是一个数域；即①正确；且有理数集\(Q\)是最小的数域；

对于②而言，理解了有理数集\(Q\)是最小的数域，则容易知道②正确；

[解释：由于\(A\)为数域，则\(0\in A\)，\(1\in A\)，则对任意正整数\(m\in Z^+\)，必然有\(m=1+1+1+\cdots \in A\)，进而能得到整数集；继而对\(\forall m，n\in z^+\)，\(m\pm n\in A\)，\(mn\in Q\)，\(\pm \cfrac{m}{n}\in A\)，显然后半部分构成了分数集；而任意一个有理数可表成两个整数的商，故\(Q\in A\)]

对于③而言，正确，令\(C=A\cap B\)，则由\(A\)，\(B\)都是数域，则\(0,1\in A\)且\(0,1\in B\)，故\(0,1\in C\)；又由于对任意\(x,y\in A\)，对任意\(x,y\in B\)，则一定有\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)且一定有\(x+y\in B\)，\(x-y\in B\)，\(xy\in B\)，\(\cfrac{x}{y}\in B(y\neq 0)\)，故必然有\(x+y\in C\)，\(x-y\in C\)，\(xy\in C\)，\(\cfrac{x}{y}\in C(y\neq 0)\)，即\(C\)满足条件一和二，故\(C\)是数域，也就是\(A\cap B\)是数域，故③正确；

对于④而言，我们前面说明无理数集不能构成数域，但是形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合却是可以构成数域的，说明如下：

令\(a=b=0\)，则\(0\in M\)，令\(a=1，b=0\)，则\(1\in M\)，故满足条件一；

任取集合\(M\)中的两个数\(a_1+\sqrt{2}b_1(a_1,b_1\in Q)\)和\(a_2+\sqrt{2}b_2(a_2,b_2\in Q)\)，

容易说明他们的和与差\((a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{2}\in M\)，

其乘积\((a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2+\sqrt{2}b_2)=\cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}\in M\)，

其商(说明一个即可)\(\cfrac{a_1+\sqrt{2}b_1}{a_2+\sqrt{2}b_2}=\cfrac{(a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2-\sqrt{2}b_2)}{(a_2+\sqrt{2}b_2)(a_2-\sqrt{2}b_2)}=\cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}\in M\)

即集合\(M\)满足条件二；综上所述，形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合可以构成数域，

为了说明④错误，我们取\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)，\(N=\{a+\sqrt{3}b (a,b\in Q)\}\)，

此时容易说明\(1+\sqrt{2}\)和\(1+\sqrt{3}\)的和\(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)并不在其并集\(M\cup N\)中，

故若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)却不一定是数域；故④错误；

综上所述，正确命题的序号为①②③；

【2025届高三月考二试题19】欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 \(y=f(x)\)，如果对于其定义域 \(D\) 中任意给定的实数 \(x\)，都有 \(-x \in D\)，并且 \(f(x)\cdot f(-x)=1\)，就称函数 \(y=f(x)\) 为倒函数 .

(1). 已知 \(f(x)=2^x\)，\(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}\)，判断 \(y=f(x)\) 和 \(y=g(x)\) 是否为倒函数；

解：对于 \(f(x)=2^x\) 定义域为 \(R\)，显然定义域中任意实数 \(x\)，都有 \(-x \in {R}\) 成立，又 \(f(x)\cdot f(-x)=2^x\cdot 2^{-x}=1\)，所以 \(f(x)=2^x\) 是倒函数.

对于 \(g(x)=\cfrac{1+x}{1-x}\) 定义域为 \(\{x \mid x \neq 1\}\)，当 \(x=-1\) 时，\(-x=1\notin\{x \mid x \neq 1\}\)，不符合倒函数的定义，所以 \(g(x)\) 不是倒函数.

(2). 若 \(y=f(x)\) 是 \(R\) 上的倒函数，当 \(x\leq 0\) 时， \(f(x)=\cfrac{1}{2^{-x}+x^2}\)，方程 \(f(x)=2023\) 是否有正整数解？并说明理由；

解：令 \(x>0\)，则 \(-x<0\)， 由倒函数的定义, 可得 \(f(x)\cdot f(-x)\)\(=\)\(1\)，即 \(f(x)\)\(\cdot f(-x)\)\(=\)\(f(x)\)\(\times\)\(\cfrac{1}{2^{-(-x)}+(-x)^2}\)\(=\)\(\cfrac{f(x)}{2^x+x^2}\)\(=\)\(1\)，所以 \(f(x)\)\(=\)\(2^x+x^2\)，所以 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cfrac{1}{2^{-x}+x^2}, &x \leq 0 \\ 2^x+x^2, &x>0\end{array}\right.\)，

要使 \(f(x)=2023\) 有正整数解，只需要考虑验证 \(x>0\) 时的解析式，则 \(2^x+x^2\)\(=\)\(2023\)，当 \(x\)\(=\)\(10\) 时，\(2^{10}\)\(+\)\(10^2\)\(=\)\(1124\)\(<\)\(2023\)；当 \(x\)\(=\)\(11\) 时，\(2^{11}\)\(+\)\(11^2\)\(=\)\(2169\)\(>\)\(2023\)； 所以 \(f(x)\)\(=\)\(2023\) 没有正整数解.

(3). 若 \(y=f(x)\) 是 \(R\) 上的倒函数，其函数值恒大于 \(0\)，且在 \(R\) 上是增函数 . 记 \(F(x)\)\(=\)\(f(x)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x)}\)，证明: \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 是 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 的充要条件.

解：先证明充分性，当 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 时， \(x_1\)\(>\)\(-x_2\) 且 \(x_2\)\(>\)\(-x_1\) ，因为 \(f(x)\) 是增函数，所以 \(f(x_1)\)\(-\)\(f(-x_2)\)\(>\)\(0\)，\(f(x_2)\)\(-\)\(f(-x_1)\)\(>\)\(0\)，又由倒函数定义可得，\(f(-x_2)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)，\(f(-x_1)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)，即 \(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(>\)\(0\)，\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(>\)\(0\)，所以\(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(=\)\(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(=\)\(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(>\)\(0\).

再证明必要性，当 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 时，有 \(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(=\)\(\bigg[f(x_1)\)\(+\)\(f(x_2)\)\(\bigg]\bigg[\cfrac{f(x_1)f(x_2)-1}{f(x_1)f(x_2)}\bigg]\)\(>\)\(0\)，因为已知 \(f(x)\) 恒大于 \(0\)，所以必须有 \(f(x_1)\)\(f(x_2)\)\(-\)\(1\)\(>\)\(0\)，即\(f(x_1)f(x_2)\)\(>\)\(1\)\(=\)\(f(x_1)\)\(f(-x_1)\)，所以 \(f(x_2)\)\(>\)\(f(-x_1)\)，因为 \(f(x)\) 是增函数，所以 \(x_2\)\(>\)\(-x_1\)，即 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\)；

综上可得 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 是 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 的充要条件.