百分位数的估计 | 新高考新增

公式定理💯随心记

【三角函数诱导公式】文字语言：奇变偶不变，符号看象限。符号语言：$\sin (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha$；$\cos (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha$；$\tan (\cfrac {\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\cot\alpha$

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前情概要

在以前的高中数学统计章节中我们只涉及学习中位数，现在的新高考中添加了百分位数 [可以将其看成中位数概念的拓展] ，这是个新概念，为便于学习理解，加以整理。

基本内容

引入缘由：假设通过简单随机抽样，获得了 $100$ 户居民用户的月均用水量数据（单位：$t$），鉴于篇幅，部分数据省略。

$9.0$ $\quad$ $13.6$ $\quad$ $14.9$ $\quad$ $5.9$ $\quad$ $4.0$ $\quad$ $7.1$ $\quad$ $6.4$ $\quad$ $\cdots$ $\quad$ $6.2$ $\quad$ $9.1$ $\quad$ $21.6$

更多的时候，我们不仅仅关注中位数，甚至还关注 $80\%$ 位置上的数据 [比如，根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数 $a$，使全市居民用户月均用水量中不超过 $a$ 的占 $80\%$，大于 $a$ 的占 $20 \%$ 。下面我们通过样本数据对 $a$ 的值进行估计]，这就引出了百分位数的概念。具体以上述为例来说，把 $100$ 个样本数据按从小到大排序， 得到第 $80$ 个和第 $81$ 个数据分别为 $13.6$ 和 $13.8$， 可以发现，区间 $[13.6$$,$$13.8)$ 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。一般地， 我们取这两个数的平均数 $\cfrac{13.6+13.8}{2}$$=$$13.7$， 并称此数为这组数据的第 $80$ 百分位数（percentile)，或 $80\%$ 分位数 .

抽象概括：一般地，一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 $p \%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p) \%$ 的数据大于或等于这个值。可以通过下面的步骤计算一组 $n$ 个数据的第 $p$ 百分位数：

第 1 步，按从小到大排列原始数据；

第 2 步，计算 $i=n \times p \%$；

第 3 步，若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的比邻整数 [相邻而居的整数] 为 $j$ ，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数。用下例来帮助理解：

【人教 2019A 版 $P_{203}$ 例 2】 根据 9.1.2 节问题 3 中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 $25$，$50$，$75$ 百分位数 [注意本例题的特点是所有原始数据没有经过任何加工处理，没有数据信息的损失] .

解：把 $27$ 名女生的样本数据按从小到大排序，可得

$$\begin{array}{lllllllll} 148.0 & 149.0 & 154.0 & 154.0 & 155.0 & 155.0 & 155.5 & 157.0 & 157.0 \\ 158.0 & 158.0 & 159.0 & 161.0 & 161.0 & 162.0 & 162.5 & 162.5 & 163.0 \\ 163.0 & 164.0 & 164.0 & 164.0 & 165.0 & 170.0 & 171.0 & 172.0 & 172.0 \end{array}$$

由于 $25\%\times 27$$=$$6.75$[比 $6.75$、$13.5$、$20.25$ 大的比邻整数分别为 $7$、 $14$、 $21$]，$50\%\times$$27$$=$$13.5$，$75\%\times$$27$$=$$20.25$，可知样本数据的第 $25$，$50$，$75$ 百分位数为第 $7$，$14$，$21$ 项数据，分别为 $155.5$，$161$，$164$，据此可以估计树人中学高一年级女生的第 $25$，$50$，$75$ 百分位数分别约为 $155.5$，$161$ 和 $164$ .

引申：如果数据个数为 $30$ 个，则第 $30$ 百分位数 [ 或 $30\%$ 分位数 ] 应该是从小到大排列的第 $9$ 位的数据 [具体计算： $30$$\times30\%$$=$$9$ ]。

我们在初中学过的中位数，相当于是第 $50$ 百分位数。在实际应用中， 除了中位数外， 常用的分位数还有第 $25$ 百分位数， 第 $75$ 百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份， 因此称为四分位数。其中第 $25$ 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等， 第 $75$ 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。另外， 像第 $1$ 百分位数，第 $5$ 百分位数，第 $95$ 百分位数和第 $99$ 百分位数在统计中也经常被使用 .

对于任意一组数据，满足第 $p$ 百分位数定义的值可能不唯一。计算百分位数的方法有多种，我们取一种计算方法比较简单的。注意不同的读法：第 $25$ 百分位数 或 $25\%$ 分位数；

典例剖析

• 注意本例题的特点是所有原始数据经过加工处理，已经有了数据信息的损失；

【2024 高一数学训练题】某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了 "创建文明城市" 知识竟赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，将 $100$ 个样本数据按 $[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$， $[80,90]$ 分成 $6$ 组，并整理得到如图所示频率分布直方图 .

(1). 求图中 $a$ 的值；

分析：简单题，由频率分布直方图可得 $10(0.005+0.010+0.010+a+0.032+0.023)=1$，所以 $a=0.020$，注意和原题目中的近似度要求保持一致，小数点后保留三位有效数字 .

(2). 请通过频率分布直方图估计这 $100$ 份样本数据的众数、$65\%$ 分位数、平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

分析：本题目在理解和数据处理上有一定的难度，当我们将一组原始数据制作成频率分布直方图后，原始数据的部分信息会有所损失。比如 $[30,40)$ 之间的 5 个原始数据为 $31$、$38$、$33$、$34$、$33$，如果填充到直方图中，此时从直方图出发来看数据，只能知道这 5 个数据大于等于 $30$，小于 $40$，并不能知道数据的具体值为多少，如果此时要我们挑选一个数据来代表这组数据，那么选左端点的值 $30$ 未免太小，选右端点的值 $40$ 未免太大，比较理想和中庸的做法是取两个端点数据的平均数来做代表，因此这类题目往往有这样的注释说明（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，即使题目中没有说明，我们也应该这样做。样本特征数字的计算方法的详细解释

解析：$100$ 份样本数据的众数为 $\cfrac{70+80}{2}=75$，

$100$ 份样本数据的 $65\%$ 分位数求解思路一：方程组法，首先预判 $65\%$ 分位数所在的大致区间，

由于前四个小矩形的面积之和 $0.005\times10$$+$$0.01\times10$$+$$0.01\times10$$+$$0.02\times10$$=$$0.45$$<$$0.65$$=$$65\%$，

而前五个小矩形的面积之和 $0.005\times10$$+$$0.01\times10$$+$$0.01\times10$$+$$0.02\times10$$+$$0.032\times10$$=$$0.77$$>$$0.65$$=$$65\%$，

故 $65\%$ 分位数所在的区间为第五个区间 $[70,80)$ ，设 $65\%$ 分位数为 $x$，

则 $0.45+(x-70)\times 0.032=0.65$，解得 $x=76.25$，即 $65\%$ 分位数 为 $76.25$ .

$65\%$ 分位数求解思路二：比例法，同上先预判 $65\%$ 分位数所在的大致区间为 $[70,80)$ ，再计算累积频率可知，区间分隔线 $70$ 和 $80$ 对应的累积频率分别为 $0.45$ 和 $0.77$，设累积频率 $0.65$ 在区间 $[70,80)$ 内对应的宽度为 $x$，则由对应的累积频率 [即面积] 差之比等于长度之比可知，$\cfrac{x}{10}$$=$$\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}$，即 $x$$=$$\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}$$\times$$10$，

则 $70+\cfrac{0.65-0.45}{0.77-0.45}\times 10=76.25$，故 [换个说法] 第 65 百分位数 为 $76.25$ .

$100$ 份样本数据的平均值为

$\bar{x}$$=$$(35 \times 0.005$$+$$45 \times 0.010$$+$$55 \times 0.010$$+$$65 \times 0.020$$+$$75 \times 0.032$$+$$85 \times 0.023$$)\times 10$

$=$$68.3$

(3). 该市决定表彰知识竞赛成绩排名前 $30\%$ 的市民，某市民知识竟赛的成绩是 $78$，请估计该市民能否得到表彰.

解析：成绩低于 $70$ 分的频率为 $0.45$，成绩低于 $80$ 分的频率为 $0.77$，则被表彰的最低成绩为 $70\%$ 分位数 [$1-30\%$$=$$70\%$]：

又由于 $70\%$ 分位数为： $70+\cfrac{0.70-0.45}{0.77-0.45} \times 10=77.8125$ ，而被表彰的最低成绩 $77.8125<78$，

所以估计该市民能得到表彰 .