集合习题 | 高阶

前情概要

当我们理解了集合的基本层次的内容后，就需要向更高阶的题目冲刺，主要是这些内容能帮助我们很好的理解和应用集合的相关内容。集合习题|低阶

中阶习题

【2025届高三质检一习题】定义集合 \(A\bigoplus B\)\(=\)\(\{(x,y)\mid \cfrac{x}{2}\in A，\cfrac{2}{y}\in B\}\)，若 \(A\)\(=\)\(B\)\(=\)\(\{\)\(x\in\)\(N\)\(\mid\)\(1\)\(<\)\(x\)\(<\)\(4\)\(\}\)，\(C\)\(=\)\(\{\)\((x,y)\)\(\mid\)\(y\)\(=\)\(-\cfrac{1}{6}x\)\(+\)\(\cfrac{5}{3}\)\(\}\)，则 \((A\bigoplus B)\)\(\cap\)\(C=\) 【\(\qquad\)】

$A.\varnothing$ $B.\{(4,1)\}$ $C.\{(1,\cfrac{3}{2})\}$ $D.\{(4,1),(6,\cfrac{2}{3})\}$

解：先化简 \(A=B=\{2,3\}\)，再理解数学语言的含义， \(A\bigoplus B\)\(=\)\(\{(x,y)\mid \cfrac{x}{2}\in A，\cfrac{2}{y}\in B\}\)，

意味着 \(\cfrac{x}{2}=2\) 或 \(\cfrac{x}{2}=3\)，故 \(x=4\) 或 \(x=6\)，同理可得 \(y=1\) 或 \(y=\cfrac{2}{3}\)，这样两两排列共有四种情形，

则得到 \(A\bigoplus B\)\(=\{(4,1),(4,\cfrac{2}{3}),(6,1),(6,\cfrac{2}{3})\}\)，此时 \(A\bigoplus B\) 是个点集，而 \(C\)\(=\)\(\{(x,y)\mid y=-\cfrac{1}{6}x+\cfrac{5}{3}\}\) 是点集构成的直线，两个求交集，

此时将 \(A\bigoplus B\) 中的所有元素带入验证，可得 \((A\bigoplus B)\)\(\cap\)\(C=\{(4,1),(6,\cfrac{2}{3})\}\)，故选 \(D\) .

关于新定义类型的问题，如果意犹未竟，请参阅 新定义问题

若集合\(M=\{0，1，2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid x-2y+1\ge 0且x-2y-1\leq 0，x，y\in M\}\)，则集合\(N\)的非空真子集的个数为【\(\qquad\)】

$A.30$ $B.14$ $C.16$ $D.32$

分析：由于\(x，y\in M\)，集合\(M=\{0，1，2\}\)，故点\((x，y)\)的所有取值情形有\(9\)种，

即有\((0，0)\)，\((0，1)\)，\((0，2)\)，\((1，0)\)，\((1，1)\)，\((1，2)\)，\((2，0)\)，\((2，1)\)，\((2，2)\)，

将其分别代入条件\(x-2y+1\ge 0\)和\(x-2y-1\leq 0\)验证，可知，\(N=\{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)\}\)，

故集合\(N\)的非空真子集的个数为\(2^4-2=14\)，选\(B\)。

已知集合\(A=\{x\mid 2x^2-3x-2\leq 0\}\)，\(B=[a，a+2]\)，若\(A\cap B=B\)，则实数\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[-\cfrac{5}{2}，-\cfrac{1}{2}]$ $B.[-\cfrac{1}{2}，0]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，2]$ $D.[0，2]$

分析：由\(a+2\leq 2\)且\(a\ge -\cfrac{1}{2}\)，得到\(a\in [-\cfrac{1}{2}，0]\)，故选\(B\)。

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】设集合\(A=\{x |x^2\leqslant x \}\)，\(B=\{x |\cfrac{1}{x}\geqslant 1\}\)，则\(A\cap B\)=【\(\qquad\)】

$A.(-\infty，1]$ $B.[0，1]$ $C.(0，1]$ $D.(-\infty，-1]\cup (0，1]$

分析：训练解不等式和集合运算，选\(C\).

已知集合\(A=\{x\in Z\mid x^2-3x+2\leq 0\}\)，\(B=\{x \mid \cfrac{1}{2}\leq 2^x\leq 4\}\)，则\(A\cap B\)的子集的个数是【 】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

提示：\(A\cap B=\{1，2\}\)，故选\(D\).

【三轮模拟】设集合\(M=\{x\in R |(x-1)^2\leqslant 1\}\)，\(P=\{x\in R |\cfrac{x-1}{x+2}\leqslant 0\}\)，则\(M\cap P\)=【\(\qquad\)】

$A.(-2，1]$ $B.[-1，3]$ $C.[0，1]$ $D.(-2，-1]$

分析：训练解不等式和集合运算，选\(C\).

已知集合\(A=\{x\mid 0<x<2\}\)，集合\(B=\{x\mid -1<x<1\}\)，集合\(C=\{x\mid mx+1>0\}\)，若\((A\cup B)\subseteq C\)，则实数\(m\)的取值范围是______________。

分析：\(A\cup B=(-1,2)\)，由题目可知\((-1,2)\subseteq C\)，集合\(C=\{x\mid mx+1>0\}\)，

当\(m>0\)时，\(x>-\cfrac{1}{m}\)，则\(C=(-\cfrac{1}{m},+\infty)\)，则\(-\cfrac{1}{m}\leqslant -1\)，解得\(m\leqslant 1\)，故\(0<m\leqslant 1\)；

当\(m=0\)时，\(C=R\)，满足题意；

当\(m<0\)时，\(x<-\cfrac{1}{m}\)，则\(C=(-\infty,-\cfrac{1}{m})\)，则\(-\cfrac{1}{m}\geqslant 2\)，解得\(m\geqslant -\cfrac{1}{2}\)，故\(-\cfrac{1}{2}\leqslant m <0\)；

综上所述，实数\(m\)的取值范围是\([-\cfrac{1}{2},1]\)；

在关于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)的解集中至多包含\(2\)个整数，则\(a\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.(-3，5)$ $B.(-2，4)$ $C.[-3,5]$ $D.[-2，4]$

分析：由题目可知，\((x-a)(x-1)<0\)，

当\(a=1\)时，解集为\(\varnothing\)，满足解集中至多包含\(2\)个整数，符合题意；

当\(a>1\)时，解集为\((1,a)\)，若要解集中至多包含\(2\)个整数，则需要\(a\leqslant 4\)，故\(1<a\leqslant 4\)；

当\(a<1\)时，解集为\((a,1)\)，若要解集中至多包含\(2\)个整数，则需要\(a\geqslant -2\)，故\(-2\leqslant a < 1\)；

综上所述，实数\(a\)的取值范围是\([-2,4]\)；

拔高习题

(2016.湖北七市联考)已知集合 \(P\) \(=\) \(\{n|n=2k-1，k\in N^*\)，\(k\leq 50\}\)，\(Q\) \(=\) \(\{2，3，5\}\)，则集合 \(T\) \(=\) \(\{xy\) \(|\) \(x\in P\)，\(y\in Q\}\) 中元素的个数为多少？

分析：集合\(P\)中分别有 50 个元素，\(Q\)中分别有 3 个元素，两两相乘，不计重复共有 \(50\times 3=150\) 个元素，其中重复元素可以这样统计：

当\(x\in P，y=2\)时，\(xy\)一定时偶数，而\(x\in P，y=3\)与\(x\in P，y=5\)时的\(xy\)值为奇数，二者不会重复；

但是\(x\in P，y=3\)与\(x\in P，y=5\)时的\(xy\)值都是奇数，有可能重复；具体的重复的个数计算如下：

令\(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)\)，\(k_1，k_2\in N^*，1\leq k_1，k_2\leq 50\)，变形为\(k_2=\cfrac{3k_1+1}{5}\)，当\(k_1=3，8，13，18，23，28，33，38，43，48\)时，对应的\(k_2\in N^*\)，故重复的元素有10个，故集合\(T=\)中元素的个数为\(150-10=140\)个。

【2019渭南模拟】已知集合\(A=\{(x，y)\mid (x-1)^2+y^2=1\}\)，\(B=\{(x，y) \mid x+y+m\geqslant 0\}\)，若\(A\subseteq B\)，则\(m\)的取值范围是__________.

分析：集合\(A\)表示圆心在\((1，0)\)，半径为\(1\)的圆，集合\(B\)表示直线\(x+y+m=0\)的右上方区域，要使得\(A\subseteq B\)，

则圆要在直线\(x+y+m=0\)的右上方区域，则圆心到直线的距离\(d=\cfrac{|1+0+m|}{\sqrt{2}}\geqslant 1\)，解得\(m\geqslant \sqrt{2}-1\)，或者\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\)，

结合图形舍去\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\)，故\(m\geqslant \sqrt{2}-1\)，即所求范围为\(m\in [\sqrt{2}-1，+\infty)\).

【2020学生问题】【新定义问题】设非空集合\(A\)为实数集的子集，若\(A\)满足下列两个条件：

(1).\(0\in A\)，\(1\in A\)；

(2).对任意\(x,y\in A\)，\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)，则称\(A\)为一个数域，那么命题：

①有理数集\(Q\)是一个数域；

②若\(A\)为一个数域，则\(Q\subseteq A\)；

③若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cap B\)也是一个数域；

④若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)也是一个数域；

其中真命题的序号为___________。

欲理解如下：比如整数集\(Z\)就不是一个数域，整数集\(Z\)满足\(0\in Z\)，\(1\in Z\)；但是不满足条件二，比如\(1\in Z\)，\(2\in Z\)，但是\(\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故整数集\(Z\)不是一个数域；同理，自然数集\(N\)不是数域[同理\(\cfrac{1}{2}\not\in N\)，]，无理数集\(C_RQ\)不是数域[比如\(\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\not\in C_RQ\)]；

详细分析如下：

对于①而言，有理数集\(Q\)显然满足条件一，对于任意两个有理数，其四则运算的结果一定是有理数，则满足条件二，故有理数集\(Q\)是一个数域；即①正确；且有理数集\(Q\)是最小的数域；

对于②而言，理解了有理数集\(Q\)是最小的数域，则容易知道②正确；

[解释：由于\(A\)为数域，则\(0\in A\)，\(1\in A\)，则对任意正整数\(m\in Z^+\)，必然有\(m=1+1+1+\cdots \in A\)，进而能得到整数集；继而对\(\forall m，n\in z^+\)，\(m\pm n\in A\)，\(mn\in Q\)，\(\pm \cfrac{m}{n}\in A\)，显然后半部分构成了分数集；而任意一个有理数可表成两个整数的商，故\(Q\in A\)]

对于③而言，正确，令\(C=A\cap B\)，则由\(A\)，\(B\)都是数域，则\(0,1\in A\)且\(0,1\in B\)，故\(0,1\in C\)；又由于对任意\(x,y\in A\)，对任意\(x,y\in B\)，则一定有\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)且一定有\(x+y\in B\)，\(x-y\in B\)，\(xy\in B\)，\(\cfrac{x}{y}\in B(y\neq 0)\)，故必然有\(x+y\in C\)，\(x-y\in C\)，\(xy\in C\)，\(\cfrac{x}{y}\in C(y\neq 0)\)，即\(C\)满足条件一和二，故\(C\)是数域，也就是\(A\cap B\)是数域，故③正确；

对于④而言，我们前面说明无理数集不能构成数域，但是形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合却是可以构成数域的，说明如下：

令\(a=b=0\)，则\(0\in M\)，令\(a=1，b=0\)，则\(1\in M\)，故满足条件一；

任取集合\(M\)中的两个数\(a_1+\sqrt{2}b_1(a_1,b_1\in Q)\)和\(a_2+\sqrt{2}b_2(a_2,b_2\in Q)\)，

容易说明他们的和与差\((a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{2}\in M\)，

其乘积\((a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2+\sqrt{2}b_2)=\cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}\in M\)，

其商(说明一个即可)\(\cfrac{a_1+\sqrt{2}b_1}{a_2+\sqrt{2}b_2}=\cfrac{(a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2-\sqrt{2}b_2)}{(a_2+\sqrt{2}b_2)(a_2-\sqrt{2}b_2)}=\cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}\in M\)

即集合\(M\)满足条件二；综上所述，形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的无理数集合可以构成数域，

为了说明④错误，我们取\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)，\(N=\{a+\sqrt{3}b (a,b\in Q)\}\)，

此时容易说明\(1+\sqrt{2}\)和\(1+\sqrt{3}\)的和\(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)并不在其并集\(M\cup N\)中，

故若\(A\)，\(B\)都是数域，则\(A\cup B\)却不一定是数域；故④错误；

综上所述，正确命题的序号为①②③；

对应练习

已知集合\(A=\{x\in R\mid x-\cfrac{1}{x}=0\}\)，则满足\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)的集合\(B\)的个数是【\(\qquad\)】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.9$

[解析] 解方程\(x-\cfrac{1}{x}=0\)，得\(x=1\)或\(x=-1\)，所以\(A=\{1,-1\}\)，又\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，

所以\(B=\{0\}\)或\(\{0,1\}\)或\(\{0,-1\}\)或\(\{0,1,-1\}\)，故集合\(B\)共有\(4\)个，故选\(C\).

已知集合\(A=\{x\in R\mid x^2+x-6=0\}\)，\(B=\{x\in R\mid ax-1=0\}\)，若\(B\subseteq A\)，则实数\(a\)的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{3}或-\cfrac{1}{2}$ $B.-\cfrac{1}{3}或\cfrac{1}{2}$ $C.\cfrac{1}{3}或-\cfrac{1}{2}或0$ $D.-\cfrac{1}{3}或\cfrac{1}{2}或0$

提示：仿一次方程，分类讨论，选\(D\).

已知集合\(A=\{x\mid -x^2+3x+10\geqslant 0\}\)，\(B=\{x\mid m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\}\)，若\(A\cap B\neq \varnothing\)，则\(m\)的取值范围是 【\(\qquad\)】

$A.[\cfrac{1}{2}，4]$ $B.(-\infty，\cfrac{1}{2})\cup(4，+\infty)$ $C.[2，4]$ $D.(2，4)$

法1：直接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，

由于\(A\cap B\neq \varnothing\)，则\(B\neq \varnothing\)，

则\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.\)①或\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.\)②,

解①得到，\(2\leqslant m\leqslant 4\)；解②得到，\(2\leqslant m\leqslant 3\)；

求其并集，得到\(2\leqslant m\leqslant 4\)；故选\(C\)；

法2：间接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，先求\(A\cap B=\varnothing\)，

①当\(B=\varnothing\)时，则\(m+1>2m-1\)，解得\(m<2\)；

②当\(B\neq \varnothing\)时，要使得\(A\cap B=\varnothing\)，

则\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.\)

解得\(m>4\)，

综上可知，\(A\cap B=\varnothing\)时，\(m<2\)或\(m>4\)，

故\(A\cap B\neq\varnothing\)时，\(2\leqslant m\leqslant 4\)，故选\(C\)；

设集合\(A=\{0，-4\}\)，\(B=\{x\mid x^2+2(a+1)x+a^2-1=0，x\in R\}\)，若\(A\cap B=B\)，则实数\(a\)的取值范围是_________。

提示：由\(A\cap B=B\)，得到\(B\subseteq A\)；分类讨论如下：

当\(B=\varnothing\)，\(\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0\)，解得\(a<-1\)；

当\(B\)为单元素集时，即\(B=\{0\}\)或\(B=\{-4\}\)，详述如下，

当\(B=\{0\}\)时，将\(x=0\)代入方程得到\(a^2-1=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=-1\)，

接下来验证如下，当\(a=1\)时，\(B=\{0，-4\}\)，不符前提\(B=\{0\}\)，故舍去；再验证\(a=-1\)时，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{0\}\)；

当\(B=\{-4\}\)时，将\(x=-4\)代入方程得到\(a^2-8a+7=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=7\)，

接下来验证如下，当\(a=7\)时，\(B=\{-4，-12\}\)，不符前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；再验证\(a=1\)时，\(B=\{0,-4\}\)，不符合前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；

即\(B=\{0\}\)时，\(a=-1\)符合题意；

当\(B\)为双元素集时，即\(B=\{0，-4\}\)时，由根与系数关系得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\\{x_1x_2=a^2-1=0③}\end{array}\right.\)

最快的解法是口算②式，得到\(a=1\)，代入③式口算验证成立，再代入①式口算验证成立，故上述混合组的结果为\(a=1\).

综上所述，得到参数的取值范围是\(a\in(-\infty，-1]\cup \{1\}\).

能转化化归为集合关系的题目

能转化为集合的包含与否关系的题目，此例也能说明一轮复习的基础和二轮复习的层次递进关系。

• 充分不必要、必要不充分的转化；

已知\(“\)命题\(p：(x-m)^2>3(x-m)\)\(”\)是\(“\)命题\(q：x^2+3x-4<0\)\(”\)成立的必要不充分条件,则实数\(m\)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题\(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，

即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，

则有\(p：x>m+3\)或\(x<m；q：-4<x<1\)；

因为\(p\)是\(q\)成立的必要不充分条件，则\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，

所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\)，即\(m≤-7\)或\(m≥1\)，

故\(m\)的取值范围为\((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。

• 已知函数的单调区间，求参数的取值范围(参数包含在给定区间的端点处)。

已知函数\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在区间\([a，a+1]\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。

法1：集合法，先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间，

求导得到，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

令\(f'(x)<0\)，解得\(x\in (-2，1)\)，即其单调递减区间为 \([-2，1]\)此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值 ，

而题目又已知给定函数在 \([a，a+1]\) 上单调递减，故 \([a，a+1]\subseteq [-2，1]\)，

即问题转化为集合的包含关系问题了，此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，

解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)，故参数\(a\)的取值范围为\([-2，0]\)。

法2：导数法，由题设可知，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

由于函数在区间\([a，a+1]\)上单调递减，则\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在区间\([a，a+1]\)上恒成立，

则\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\) ^[1]，即\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，

解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，则\(a\in [-2，0]\)。

---

1. 此处涉及到二次函数在给定区间上的恒成立问题，利用我们积累的相关的二次函数恒成立的模型，思考难度低，求解非常的迅速。请参阅 ↩︎