逆天的数学 | 数学科普

前言

所有自然数相加为多少呢，即 \(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(?\)，估计我们都会说是 \(+\infty\)，但数学家说 \(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(-\cfrac{1}{12}\)，那么数学家到底是如何计算的呢？以下是经过了好多数学大咖用了好长时间沉淀下来的最简计算过程，由此各位可以感悟到，有限范畴内的东西和无限范畴内的东西不一定是相通的，具体情况大家自行体会：

相关储备

求值：\(S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots\)

解： \(S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots\) 这个式子的右边从第二项开始，统一提取一个负号，得到下面的式子；在下面的式子中，括号里面的表达式和原来的 \(S\)一模一样

即，\(S=\)\(1-(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots)\)

则 \(S=1-S\)，解得 \(S=\cfrac{1}{2}\) .

详解过程

求值：\(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(?\)

解：令 \(S_1=\)\(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\) ①

再令 \(\quad\)\(S_2=\)\(1\)\(-\)\(2\)\(+\)\(3\)\(-\)\(4\)\(+\)\(5\)\(-\)\(6\)\(+\)\(\cdots\) ②

①-② 得到，\(S_1\)\(-\)\(S_2\)\(=\)\(4\)\(+\)\(8\)\(+\)\(12\)\(+\)\(16\)\(+\)\(\cdots\)$=$4(\(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\))\(=\) \(4S_1\)

即 \(-3S_1=S_2\)， 则 \(S_1=-\cfrac{1}{3}S_2\)，以下重点求解 \(S_2\)，

由于 \(S_2\)\(=\)\(1\)\(-\)\(2\)\(+\)\(3\)\(-\)\(4\)\(+\)\(5\)\(-\)\(6\)\(+\)\(\cdots\)

则 \(\quad\)\(S_2\)$=$0+\(1\)\(-\)\(2\)\(+\)\(3\)\(-\)\(4\)\(+\)\(5\)\(-\)\(6\)\(+\)\(\cdots\) \(\quad\) 此处用 \(0\) 补位，是为了错位相加，

则 \(2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots\)，

而由上题我们知道式子的右边的结果，\(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots=\cfrac{1}{2}\)，

故 \(2S_2=\cfrac{1}{2}\)， \(S_2=\cfrac{1}{4}\)，代入 \(S_1=-\cfrac{1}{3}S_2\)，

可得到， \(S_1=-\cfrac{1}{12}\)，即 \(1\)\(+\)\(2\)\(+\)\(3\)\(+\)\(4\)\(+\)\(5\)\(+\)\(6\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(-\cfrac{1}{12}\)，逆天吧 .