如何刻画复杂事件

前言

刚进入高一学习的学生，往往不知道或者体会不到为什么求概率时要定义事件，所以他们常常将高中的概率题目就做成了小学或初中的算术题目了，也就是说需要引导他们理解高中概率题目的解题规范和这样做的目的，尤其是在比较复杂的题目中，更能体现我们定义简单事件的必要性和迫切性。

复杂事件的刻画

✍️[网摘整理]设 \(A\)，\(B\) 是试验 \(E\) 的随机事件，深入体会用基本事件的和或积的运算来刻画复杂事件，并熟练掌握：

① \(A\)发生：\(A=AB+A\bar{B}\)；

② 只有 \(A\) 发生：\(A\bar{B}\)；

③ \(A\)，\(B\) 恰有一个发生：\(A\bar{B}\)+\(\bar{A}B\)；

④ \(A\)，\(B\) 同时发生：\(AB\)；

⑤ \(A\)，\(B\) 至少有一个发生：\(A+B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\bar{B}+\bar{A}B+AB\)；^[1]

⑥ \(A\)，\(B\)至多有一个发生：\(\bar{A}\bar{B}\)+\(A\bar{B}\)+\(\bar{A}B\)；

✍️[网摘整理]设 \(A\)，\(B\)，\(C\) 是试验 \(E\) 的随机事件，深入体会用基本事件的和或积的运算来刻画复杂事件，并熟练掌握：

①\(A\)发生：\(A\)；

②只有\(A\)发生：\(A\bar{B}\bar{C}\)；

③\(A\)，\(B\)，\(C\)恰有一个发生：\(A\bar{B}\bar{C}\)+\(\bar{A}B\bar{C}\)+\(\bar{A}\bar{B}C\)；

④\(A\)，\(B\)，\(C\)同时发生：\(ABC\)；

⑤\(A\)，\(B\)，\(C\)至少有一个发生：\(A+B+C\)；其对立事件为 \(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\) ；

⑥\(A\)，\(B\)，\(C\)至多有一个发生：\(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)+\(A\bar{B}\bar{C}\)+\(\bar{A}B\bar{C}\)+\(\bar{A}\bar{B}C\)；

⑦\(A\)，\(B\)，\(C\)恰有两个发生：\(AB\bar{C}\)+\(A\bar{B}C\)+\(\bar{A}BC\)；

⑧\(A\)，\(B\)，\(C\)至少两个发生：\(AB\bar{C}\)+\(A\bar{B}C\)+\(\bar{A}BC\)+\(ABC\)；

✍️ [网摘整理]采用不放回的方式抽查产品三次，\(A_i(i=1,2,3)\)表示第\(i\)次抽取得到合格品；

①三次都合格：\(A_1A_2A_3\)；

②至少一次合格：\(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3\)+\(A_1A_2\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}A_3\)+\(\bar{A_1}A_2A_3\)+\(A_1A_2A_3\)；

③恰有两次合格：\(A_1A_2\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}A_3\)+\(\bar{A_1}A_2A_3\)；

④至多一次合格：\(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}\)+\(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3\)；

典例剖析

【2024高一数学训练题】已知甲、乙、丙参加某项测试，通过的概率分别为 \(0.6\)、\(0.8\)、\(0.9\)，而且这 \(3\) 人之间的测试互不影响 .

(1). 求甲、乙、丙都通过测试的概率；

(2). 求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；

(3). 求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率；

解：甲、乙、丙参加某项测试并通过分别定义为事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)[这样我们就可以用定义的基本事件可刻画复杂事件了]，

(1). 令甲、乙、丙都通过测试为事件 \(D\) ，则 \(D=ABC\)，且事件 \(A\)、\(B\)、\(C\) 相互独立，

故 \(P(D)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.6\times0.8\times0.9=0.432\)；

(2). 令甲未通过且乙、丙通过测试为事件 \(E\)，则 \(E=\bar{A}BC\) ，且事件 \(\bar{A}\)、\(B\)、\(C\) 相互独立，

故 \(P(E)=P(\bar{A}BC)=P(\bar{A})P(B)P(C)=(1-0.6)\times0.8\times0.9=0.288\)；

(3). 法1：间接法，采用正难则反的策略，令甲、乙、丙至少有一人通过测试为事件 \(F\)，则 \(\bar{F}=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\)，且事件 \(\bar{A}\)、\(\bar{B}\)、\(\bar{C}\) 相互独立，

故 \(P(F)=P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=(1-0.6)\times(1-0.8)\times(1-0.9)=0.008\)，故 \(P(F)=0.992\) ；

法2：直接法，甲、乙、丙至少有一人通过测试包括三人中仅仅有一人通过测试[\(A\bar{B}\bar{C}\) \(+\) \(\bar{A}B\bar{C}\) \(+\) \(\bar{A}\bar{B}C\)]，和仅仅有两人通过测试[\(AB\bar{C}\) \(+\) \(A\bar{B}C\) \(+\) \(\bar{A}BC\)]，以及三人通过测试[\(ABC\)]，

\(F=A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C+AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC+ABC\)，且 \(A\bar{B}\bar{C}\)、\(\bar{A}B\bar{C}\)、\(\bar{A}\bar{B}C\)、\(AB\bar{C}\)、\(A\bar{B}C\)、\(\bar{A}BC\)、\(ABC\) 彼此互斥，

所以，\(P(F)\)\(=\)\(P(A\bar{B}\bar{C}\)\(+\)\(\bar{A}B\bar{C}\)\(+\)\(\bar{A}\bar{B}C\)\(+\)\(AB\bar{C}\)\(+\)\(A\bar{B}C\)\(+\)\(\bar{A}BC\)\(+\)\(ABC)\)\(=\)\(P(A\bar{B}\bar{C})\)\(+\)\(P(\bar{A}B\bar{C})\)\(+\)\(P(\bar{A}\bar{B}C)\)\(+\)\(P(AB\bar{C})\)\(+\)\(P(A\bar{B}C)\)\(+\)\(P(\bar{A}BC)\)\(+\)\(P(ABC)\)\(=\)\(0.992\)；

法3：此方法仅供参考，参阅，\(F\)\(=\)\(A\)\(+\)\(B\)\(+\)\(C\)，\(P(A+B+C)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(+\)\(P(C)\)\(-\)\(P(AB)\)\(-\)\(P(AC)\)\(-\)\(P(BC)\)\(+\)\(P(ABC)\)\(=\)\(0.992\)

【2016山东高考节选】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜想一个成语。在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都猜错，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率为\(\cfrac{3}{4}\)，乙每轮猜对的概率为\(\cfrac{2}{3}\)，每轮活动中甲乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，假设“星队”参加两轮活动，求：

⑴. “星队”至少猜对 \(3\) 个成语的概率；

解析：先定义事件，记“星队”至少猜对3个成语为事件\(E\)，

“甲第一轮猜对”为事件\(A\)，“乙第一轮猜对”为事件\(B\)，

“甲第二轮猜对”为事件\(C\)，“乙第二轮猜对”为事件\(D\)，

且\(P(A)=P(C)=\cfrac{3}{4}\)，\(P(B)=P(D)=\cfrac{2}{3}\)，

则\(E=ABCD+\bar{A}BCD+A\bar{B}CD+AB\bar{C}D+ABC\bar{D}\)，事件\(A、B、C、D\)相互独立，

事件\(ABCD、\bar{A}BCD、A\bar{B}CD、AB\bar{C}D、ABC\bar{D}\)互斥，故有

\(P(E)\)\(=\)\(P(ABCD+\bar{A}BCD+A\bar{B}CD+AB\bar{C}D+ABC\bar{D})\)

\(=\)\(P(ABCD)+P(\bar{A}BCD)+P(A\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}D)+P(ABC\bar{D})\)，

\(=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(=\)\(\cfrac{2}{3}\).

【人教 2019A版 \(P_{252}\)例3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜想一个成语。已知甲每轮猜对的概率为\(\cfrac{3}{4}\)，乙每轮猜对的概率为\(\cfrac{2}{3}\)，每轮活动中甲乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，假设 “星队” 参加两轮活动，求：“星队” 猜对 \(3\) 个成语的概率；

本题目从结果出发，应该如何分析？

$\begin{array}{l}{星队猜对}\\{3个成语}\\{甲乙组合}\end{array}\left\{\begin{array}{l}{甲猜对1个且乙猜对2个\left\{\begin{array}{l}{(甲第一次猜对且乙第一次猜对)且(甲第二次猜错且乙第二次猜对)}\\{(甲第一次猜错且乙第一次猜对)且(甲第二次猜对且乙第二次猜对)}\end{array}\right.}\\{甲猜对2个且乙猜对1个\left\{\begin{array}{l}{(甲第一次猜对且乙第一次猜错)且(甲第二次猜对且乙第二次猜对)}\\{(甲第一次猜对且乙第一次猜对)且(甲第二次猜对且乙第二次猜错)}\end{array}\right.}\end{array}\right.\quad$

解析：先定义事件，记 “星队” 猜对3个成语 为事件\(E\)，“甲第一轮猜对”为事件\(A\)，“乙第一轮猜对”为事件\(B\)，“甲第二轮猜对”为事件\(C\)，“乙第二轮猜对”为事件\(D\)，且\(P(A)=P(C)=\cfrac{3}{4}\)，\(P(B)=P(D)=\cfrac{2}{3}\)，

则\(E\)\(=\)\(\bar{A}BCD\)\(+\)\(A\bar{B}CD\)\(+\)\(AB\bar{C}D\)\(+\)\(ABC\bar{D}\)[到此已经完成了用基本事件来刻画题目中的复杂事件]，由每轮活动中甲乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，可知事件\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)相互独立，则事件\(\bar{A}\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)相互独立，以及 \(A\)、\(\bar{B}\)、\(C\)、\(D\)相互独立，以及 \(A\)、\(B\)、\(\bar{C}\)、\(D\)相互独立， 以及 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(\bar{D}\)相互独立， 且事件 \(\bar{A}BCD\)、\(A\bar{B}CD\)、\(AB\bar{C}D\)、\(ABC\bar{D}\)互斥，故有

\(P(E)\)\(=\)\(P(\bar{A}BCD+A\bar{B}CD+AB\bar{C}D+ABC\bar{D})\)

\(=\)\(P(\bar{A}BCD)+P(A\bar{B}CD)+P(AB\bar{C}D)+P(ABC\bar{D})\)

\(=\)\(P(\bar{A})\cdot P(B)\cdot P(C)\cdot P(D)\) \(+\) \(P(A)\cdot P(\bar{B})\cdot P(C)\cdot P(D)\) \(+\) \(P(A)\cdot P(B)\cdot P(\bar{C})\cdot P(D)\) \(+\) \(P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\cdot P(\bar{D})\)

\(=\)\(\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}\)\(+\)\(\cfrac{3}{4}\times\cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}\)\(=\)\(\cfrac{5}{12}\).

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1. 集合满足分配律： \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
   转化过程1：\(A\bar{B}+\bar{A}B+AB=A\bar{B}+\bar{A}B+AB+AB\)
   \(=\)\(A\bar{B}+AB+\bar{A}B+AB=(A\bar{B}+AB)+(\bar{A}B+AB)=A+B\)；
   转化过程2：\(A+B=A\Omega+B\Omega=A(B+\bar{B})+B(A+\bar{A})=AB+A\bar{B}+BA+B\bar{A}=A\bar{B}+\bar{A}B+AB\) ↩︎