样本空间的计数

前言

在统计样本空间数时，需要考虑是否有顺序和是否放回，同时请注意列举法、描述法，表格法，树状图的合理运用。这些方法都是高一初次学习需要切实掌握的方法，等到了高二或者高三，对思维的要求提高以后，更多的会用到加法计数原理和乘法计数原理这两个计数原理，更多见的是使用排列数和组合数公式来计数。

计数方法

• 以下的基本解题技能，需要好好体会并及时积累，注意思维的提升

✍️ 从大小和质地都相同的 \(4\) 个小球中每次取出 \(2\) 个小球的所有取法；[将小球依次标记为数字 \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)，规定将样本点用坐标形式表示]

① 有序+有放回的情形：

用列举法为：\(\Omega\)\(=\)\(\{\)\((1,1)\),\((1,2)\),\((1,3)\),\((1,4)\),\((2,1)\),\((2,2)\),\((2,3)\),\((2,4)\),\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,3)\),\((3,4)\),\((4,1)\),\((4,2)\),\((4,3)\),\((4,4)\)\(\}\)，\(4\)\(\times\)\(4\)\(=\)\(16\)；

表格法为：四行四列的表格；

集合的描述法刻画为：\(\Omega=\{(m,n)\mid m,n\in\{1,2,3,4\}\}\)

树状图为：

② 有序+无放回的情形：

用列举法为：\(\Omega\)\(=\)\(\{\)\((1,2)\),\((1,3)\),\((1,4)\),\((2,1)\),\((2,3)\),\((2,4)\),\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,4)\),\((4,1)\),\((4,2)\),\((4,3)\)\(\}\)，\(A_4^2=12\)；

表格法为：四行四列的表格，去掉从左上到右下的对角线上的 \(4\) 个样本点，略；

集合的描述法刻画为：\(\Omega=\{(m,n)\mid m,n\in\{1,2,3,4\}，m\neq n\}\)

③ 无序+有放回的情形：

用列举法为：\(\Omega\)\(=\)\(\{\)\((1,1)\),\((1,2)\),\((1,3)\),\((1,4)\),\((2,2)\),\((2,3)\),\((2,4)\),\((3,3)\),\((3,4)\),\((4,4)\)\(\}\)，\(C_4^2+4=10\)；

表格法为：四行四列的表格，去掉从左上到右下的对角线左下方的 \(6\) 个样本点，略；

集合的描述法刻画为：\(\Omega=\{(m,n)\mid m,n\in\{1,2,3,4\}，m>n\}\)

④无序+无放回的情形：

用列举法为：\(\Omega\)\(=\)\(\{\)\((1,2)\),\((1,3)\),\((1,4)\),\((2,3)\),\((2,4)\),\((3,4)\)\(\}\)，\(C_4^2=6\)；

表格法为：四行四列的表格，去掉从左上到右下的对角线左下方的 \(6\) 个样本点和对角线上的 \(4\) 个样本点，略；

集合的描述法刻画为：\(\Omega=\{(m,n)\mid m,n\in\{1,2,3,4\}，m<n\}\)

精简模型

一图说清是否有序+是否有放回

Ⅰ. 有序+有放回：\(n(\Omega)=6\times6=36\)；

Ⅱ. 有序+无放回：\(n(\Omega)=6\times6-6=30\)；

Ⅲ. 无序+有放回：\(n(\Omega)=6\times6-15=21\)；

Ⅳ. 无序+无放回：\(n(\Omega)=6\times6-6-15=15\)；