互斥与独立
互斥与独立的区分
前言
高中数学概率中的 事件的互斥 和 事件的独立 本来是并不相干的两个数学概念，但是实际使用中我们很容易将两个概念混淆 .
廓清认知
两个事件互斥是指两个事件的发生相互排斥，一个若发生，则另一个必然不会发生，当然还可能出现两个事件都没有发生，如投掷一次正方体骰子，出现点数为 \(1\) 和出现点数为 \(2\) 是互斥的，两个事件的互斥可以推广到任意有限个事件互斥；
两个事件是相互独立的是指：在一次实验中，一个事件的发生不会影响到另一事件发生的概率，这两个事件没有任何关系，如在两个人的射击事件中，“甲击中靶心” 和 “乙击中靶心” 两个事件是相互独立的 . 两个事件的独立也可以推广到任意有限个事件相互独立但这个难度大得多。详细引申请参阅；
需要注意的是，“互斥”描述的是事件（集合）关系，“独立” 描述是概率关系，二者不在同一维度，不要试图将二者联系到一起。
也正因为互斥研究的是事件（集合）[事件也是集合，故事件就可以用集合直接表示]关系，所以是互斥关系在先，而概率关系在后，即\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，因此用概率关系推导互斥关系是错误的 .[1]，而相互独立研究的是概率关系，即对任意两个事件 \(A\) 和 \(B\) ，若满足关系 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则两个事件 \(A\) 和 \(B\) 是相互独立的，因此它是可以用 \(P(AB)=P(A)P(B)\)来推导 \(A\) 和 \(B\) 是相互独立的 .
- 两种关系的判定方法：
互斥的判定方法：①题目直接给定，如题目中直接给定说事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的； ②根据题意分析得到互斥关系；如，两人射击比赛中，\(A\) 为“甲中靶”，\(B\) 为“乙中靶”，容易知道事件 \(A\bar{B}\) 和 \(\bar{A}B\) 是互斥的；
相互独立的判定方法：①题目直接给定，如题目中直接给定说事件 \(A\)，\(B\) 是相互独立的；②根据题意分析得到独立关系 . 如两人射击比赛中，\(A\) 为“甲中靶”，\(B\) 为“乙中靶”，容易知道事件 \(A\) 和 \(B\) 是相互独立的，这种判断方法仅仅作为一种辅助手段，有时候是不可靠的[2]；③定义法，通过验证条件：\(P(AB)=P(A)P(B)\)是否满足来判断，若满足，就是相互独立，不满足就不是相互独立；④转化法，如知道 \(A\) 与 \(\bar{B}\) 是相互独立的，则可知 \(A\) 与 \(B\) 是相互独立的 ；[3]
结论引申
法1：若事件 \(A\)，\(B\) 相互独立，则 \(P(AB)=P(A)P(B)>0\)，则 \(AB\neq\varnothing\)，故事件 \(A\)，\(B\) 不是互斥的；
若事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，\(AB=\varnothing\)，那么 \(P(AB)=0\)，于是 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)，则 \(A\)，\(B\) 不相互独立；
综上所述，事件 \(A\)，\(B\) 相互独立与 \(A\)，\(B\) 互斥不能同时成立 ，言下之意，如果事件 \(A\)，\(B\) 是相互独立的，则事件 \(A\)，\(B\) 一定不是互斥的；如果事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，则 \(A\)，\(B\) 一定不是相互独立的；
法2：我们知道，对任意事件而言，\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)※\)，那么事件 \(A\)，\(B\) 若相互独立，则 \(P(AB)=P(A)P(B)①\)，若事件 \(A\)，\(B\) 是互斥的，\(P(A+B)=P(A)+P(B)②\)，将 ①②同时代入 ※式，得到 \(0=-P(A)P(B)\)，这个等式不成立，故事件 \(A\)，\(B\) 相互独立与 \(A\)，\(B\) 互斥不能同时成立 .
法3：找个生活实例，帮助理解；
[研讨]设事件\(A\)、\(B\)，已知\(P(A)=\cfrac{1}{5}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{3}\)，\(P(A\cup B)=\cfrac{8}{15}\)，则\(A\)，\(B\)之间的关系一定是【】
\(A.两个任意事件\) \(B.互斥事件\) \(C.非互斥事件\) \(D.对立事件\)网上解答：由于\(P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)\)，所以\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).
研讨：本题目若事件 \(A\)，\(B\) 同属于同一个实验，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，可知\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).
若事件 \(A\)，\(B\) 属于不同的两个实验，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，并不一定能得到\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。
【廓清认知】在同一个试验中 [这是必须首先满足的大前提] 的任意两个事件 \(A\)，\(B\)，若互斥，则必然满足 \(P(A\cup B)\)\(=P(A)+P(B)\) . ↩︎比如现有甲乙两台机器，已知甲出故障的概率为\(0.9\)，乙出故障的概率为\(0.85\)，两个同时出故障的概率为\(0.8\)，设“甲出故障”为事件\(A\)，“乙出故障”为事件\(B\)，则\(P(A)=0.9\)，\(P(B)=0.85\)，\(P(AB)=0.8\)，由题意我们容易判断说甲乙两台机器出故障是相互独立的，但是结合题目的数据可知 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)，即 \(A\)、\(B\) 不是相互独立的关系 .这是非常容易出错误的；有时候我们直观体验上两个事件不是相互独立的，但其实用定义衡量却是相互独立，具体参见链接页面的脚注1的说明 ↩︎
证明： \(P(A)=P(AB\cup A\bar{B})=P(AB)+P(A\bar{B})\)，
所以 \(P(AB)=P(A)-P(A\bar{B})=P(A)(1-P(\bar{B}))=P(A)P(B)\)，
故 \(A\) 与 \(B\) 是相互独立的 ； ↩︎
