概率释疑 | 高一层次

前言

收集整理 人教 2019A 版教材中的疑难问题 .

疑难廓清

✍️【人教 2019A 版教材 \(P_{246}\) 习题 \(10.1\) 第 \(4\) 题】判断下列说法是否正确．若错误，请举出反例．

(1). 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；

(2). 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；

(3). 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 中至少有一个发生的概率一定比 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生的概率大；

(4). 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 同时发生的概率一定比 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生的概率小．

解析：以投掷一枚正方体骰子为例，向上的点数构成的样本空间 \(\Omega\)\(=\)\(\{1,2,3,4,5,6\}\)，满足有限等可能性，故已经搭建起了古典概型的框架。再定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,2\}\)， \(B\)\(=\)\(\{3,4\}\)， \(C\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， \(D\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)；

(1). 事件 \(A\)、\(B\) 是互斥的，但是不是对立事件，故前半句的判断错误； 事件 \(C\)、\(D\) 是相互对立的，也是互斥事件，故后半句的判断错误；

(2). 正确；

(3). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， \(B\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)，则事件\(A\) 与 \(B\)互斥且对立；又由于事件 \(\bar{A}\)\(=\)\(\{2,4,6\}\)， \(\bar{B}\)\(=\)\(\{1,3,5\}\)， 事件 \(A\) 与事件 \(B\) 中至少有一个发生，用事件 \(A+B\) 刻画，事件 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生用 \(A\bar{B}+\bar{A}B\) 刻画，则 \(A\bar{B}=A\)，\(\bar{A}B=B\)，\(P(A+B)\)\(=\)\(P(\Omega)\)\(=\)\(1\)，而 \(P(A\bar{B}+\bar{A}B)\)\(=\)\(P(A+B)\)\(=\)\(1\)，故错误；

若学生思维层次高，可以直接用例子： \(A\) 与 \(B\) 互斥，则 \(P(A+B)=P(A)+P(B)\)，故错误；

(4). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 \(A\)\(=\)\(\{1,2,3,4,5\}\)， \(B\)\(=\)\(\{2,3,4,5,6\}\)，事件 \(A\) 与事件 \(B\) 同时发生为 \(AB=\{2,3,4,5\}\)，则 \(P(AB)=\cfrac{2}{3}\)，事件 \(A\) 与 \(B\) 中恰有一个发生用 \(A\bar{B}\)\(+\)\(\bar{A}B\) 刻画，\(A\bar{B}\)\(+\)\(\bar{A}B\)\(=\)\(\{1,6\}\)，则 \(P(A\bar{B}+\bar{A}B)\)\(=\)\(\cfrac{1}{3}\)，故错误；

✍️ 若 \(P(AB)=0\)，则事件 \(A\) 与 \(B\) 互斥。

解析：不一定，比如利用几何概型来解释，在长度为 \(1\) 的线段上，样本空间 \(\Omega\)\(=\)\([0,1]\)，事件\(A\)\(=\)\([0, 0.5]\)， \(B\)\(=\)\([0.5, 1]\)，事件\(AB\)\(=\)\(\{0.5\}\)\(\neq\)\(\varnothing\)，则事件 \(P(AB)\)\(=\)\(0\)，但是事件 \(A\) 与 \(B\) 不互斥。用有限样本空间来解释无限样本空间往往会出错。

✍️ 廓清互斥和独立，单独成篇，互斥和独立 .

典例剖析

[研讨]设事件\(A\)、\(B\)，已知\(P(A)=\cfrac{1}{5}\)，\(P(B)=\cfrac{1}{3}\)，\(P(A\cup B)=\cfrac{8}{15}\)，则\(A\)，\(B\)之间的关系一定是【】

$A.两个任意事件$ $B.互斥事件$ $C.非互斥事件$ $D.对立事件$

网上解答：由于\(P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)\)，所以\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).

研讨：本题目若事件 \(A\)，\(B\) 同属于同一个实验，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，可知\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).

若事件 \(A\)，\(B\) 属于不同的两个实验，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，并不一定能得到\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。

【廓清认知】在同一个试验中 [这是必须首先满足的大前提] 的任意两个事件 \(A\)，\(B\)，若互斥，则必然满足 \(P(A\cup B)\)\(=P(A)+P(B)\) .

[研讨]若 \(P(A\cup B)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(=\)\(1\)，则事件 \(A\) 与 \(B\) 的关系是【\(\qquad\)】

$A$.互斥不对立

$B.$对立不互斥

$C.$互斥且对立

$D.$以上答案都不对

思路一：在同一个试验中，令 \(A\cup B=\Omega\)，分析 \(A\) 与 \(B\) 的交集情况：若 \(A\cap B=\varnothing\)，则 \(A\) 与 \(B\) 对立且互斥，若 \(A\cap B=C\neq\varnothing\)，则 \(A\) 与 \(B\) 不互斥不对立，故选 \(D\) .

思路二：比如利用几何概型来解释，在长度为 \(1\) 的线段上，样本空间 \(\Omega\)\(=\)\([0,1]\)，事件\(A\)\(=\)\([0, 0.5]\)， \(B\)\(=\)\([0.5, 1]\)，事件\(A\cup B\)\(=\)\([0,1]\)，事件 \(AB\)\(=\)\(\{0.5\}\)\(\neq\)\(\varnothing\)，且 \(P(A)=P(B)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)，满足题意，但由于 \(AB\)\(=\)\(\{0.5\}\)\(\neq\)\(\varnothing\)，故 \(A\) 与 \(B\) 不互斥，故选 \(D\) .

[研讨]设 \(P(A)\)\(=\)\(0.4\)，\(P(A+B)\)\(=\)\(0.7\)，求解：

①若事件 \(A\) 与 \(B\) 互斥，则 \(P(B)\)\(=\)\(?\)

②若事件 \(A\) 与 \(B\) 独立，则 \(P(B)=?\)

解析：①若事件 \(A\) 与 \(B\) 互斥，则 \(P(AB)=0\)，又因为 \(P(A+B)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(-\)\(P(AB)\)，所以 \(P(B)\)\(=\)\(P(A+B)\)\(-\)\(P(A)\)\(+\)\(P(AB)\)\(=\)\(0.7\)\(-\)\(0.4+\)\(0\)\(=\)\(0.3\)；

②若事件 \(A\) 与 \(B\) 独立，则 \(P(AB)\)\(=\)\(P(A)P(B)\)，所以 \(P(A+B)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(-\)\(P(AB)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(-\)\(P(A)P(B)\)

即 \(0.7=0.4+P(B)-0.4\cdot P(B)\)，解得 \(P(B)=0.5\)；