概率释疑 | 高一层次

公式定理💯随心记

【异面直线夹角公式】$\cosθ=|\cos⟨\vec {u},\vec {v}⟩|=\cfrac {|\vec {u}\cdot\vec {v}|}{|\vec {u}|\cdot|\vec {v}|}$，其中 $\vec {u}$、$\vec {v}$ 分别为两直线的方向向量

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前言

收集整理 人教 2019A 版教材中的疑难问题 .

疑难廓清

✍️【人教 2019A 版教材 $P_{246}$ 习题 $10.1$ 第 $4$ 题】判断下列说法是否正确．若错误，请举出反例．

(1). 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；

(2). 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；

(3). 事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率大；

(4). 事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率小．

解析：以投掷一枚正方体骰子为例，向上的点数构成的样本空间 $\Omega$$=$$\{1,2,3,4,5,6\}$，满足有限等可能性，故已经搭建起了古典概型的框架。再定义事件 $A$$=$$\{1,2\}$， $B$$=$$\{3,4\}$， $C$$=$$\{1,3,5\}$， $D$$=$$\{2,4,6\}$；

(1). 事件 $A$、$B$ 是互斥的，但是不是对立事件，故前半句的判断错误； 事件 $C$、$D$ 是相互对立的，也是互斥事件，故后半句的判断错误；

(2). 正确；

(3). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 $A$$=$$\{1,3,5\}$， $B$$=$$\{2,4,6\}$，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥且对立；又由于事件 $\bar{A}$$=$$\{2,4,6\}$， $\bar{B}$$=$$\{1,3,5\}$， 事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生，用事件 $A+B$ 刻画，事件 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生用 $A\bar{B}+\bar{A}B$ 刻画，则 $A\bar{B}=A$，$\bar{A}B=B$，$P(A+B)$$=$$P(\Omega)$$=$$1$，而 $P(A\bar{B}+\bar{A}B)$$=$$P(A+B)$$=$$1$，故错误；

若学生思维层次高，可以直接用例子： $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(A+B)=P(A)+P(B)$，故错误；

(4). 错误；在上例投掷正方体骰子的基础上定义事件 $A$$=$$\{1,2,3,4,5\}$， $B$$=$$\{2,3,4,5,6\}$，事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生为 $AB=\{2,3,4,5\}$，则 $P(AB)=\cfrac{2}{3}$，事件 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生用 $A\bar{B}$$+$$\bar{A}B$ 刻画，$A\bar{B}$$+$$\bar{A}B$$=$$\{1,6\}$，则 $P(A\bar{B}+\bar{A}B)$$=$$\cfrac{1}{3}$，故错误；

✍️ 若 $P(AB)=0$，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥。

解析：不一定，比如利用几何概型来解释，在长度为 $1$ 的线段上，样本空间 $\Omega$$=$$[0,1]$，事件 $A$$=$$[0, 0.5]$， $B$$=$$[0.5, 1]$，事件 $AB$$=$$\{0.5\}$$\neq$$\varnothing$，则事件 $P(AB)$$=$$0$，但是事件 $A$ 与 $B$ 不互斥。用有限样本空间来解释无限样本空间往往会出错。

✍️ 廓清互斥和独立，单独成篇，互斥和独立 .

典例剖析

[研讨] 设事件 $A$、$B$，已知 $P(A)=\cfrac{1}{5}$，$P(B)=\cfrac{1}{3}$，$P(A\cup B)=\cfrac{8}{15}$，则 $A$，$B$ 之间的关系一定是【】

$A. 两个任意事件$ $B. 互斥事件$ $C. 非互斥事件$ $D. 对立事件$

网上解答：由于 $P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)$，所以 $A$，$B$ 之间的关系为互斥事件，故选 $B$.

研讨：本题目若事件 $A$，$B$ 同属于同一个实验，则由 $P(A)+P(B)=P(A\cup B)$，可知 $A$，$B$ 之间的关系为互斥事件，故选 $B$.

若事件 $A$，$B$ 属于不同的两个实验，则由 $P(A)+P(B)=P(A\cup B)$，并不一定能得到 $A$，$B$ 之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。

【廓清认知】在同一个试验中 [这是必须首先满足的大前提] 的任意两个事件 $A$，$B$，若互斥，则必然满足 $P(A\cup B)$$=P(A)+P(B)$ .

[研讨] 若 $P(A\cup B)$$=$$P(A)$$+$$P(B)$$=$$1$，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是【$\qquad$】

$A$. 互斥不对立

$B.$ 对立不互斥

$C.$ 互斥且对立

$D.$ 以上答案都不对

思路一：在同一个试验中，令 $A\cup B=\Omega$，分析 $A$ 与 $B$ 的交集情况：若 $A\cap B=\varnothing$，则 $A$ 与 $B$ 对立且互斥，若 $A\cap B=C\neq\varnothing$，则 $A$ 与 $B$ 不互斥不对立，故选 $D$ .

思路二：比如利用几何概型来解释，在长度为 $1$ 的线段上，样本空间 $\Omega$$=$$[0,1]$，事件 $A$$=$$[0, 0.5]$， $B$$=$$[0.5, 1]$，事件 $A\cup B$$=$$[0,1]$，事件 $AB$$=$$\{0.5\}$$\neq$$\varnothing$，且 $P(A)=P(B)$$=$$\cfrac{1}{2}$，满足题意，但由于 $AB$$=$$\{0.5\}$$\neq$$\varnothing$，故 $A$ 与 $B$ 不互斥，故选 $D$ .

[研讨] 设 $P(A)$$=$$0.4$，$P(A+B)$$=$$0.7$，求解：

①若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(B)$$=$$?$

②若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(B)=?$

解析：①若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(AB)=0$，又因为 $P(A+B)$$=$$P(A)$$+$$P(B)$$-$$P(AB)$，所以 $P(B)$$=$$P(A+B)$$-$$P(A)$$+$$P(AB)$$=$$0.7$$-$$0.4+$$0$$=$$0.3$；

②若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(AB)$$=$$P(A)P(B)$，所以 $P(A+B)$$=$$P(A)$$+$$P(B)$$-$$P(AB)$$=$$P(A)$$+$$P(B)$$-$$P(A)P(B)$

即 $0.7=0.4+P(B)-0.4\cdot P(B)$，解得 $P(B)=0.5$；