两两独立与相互独立 | 高一适用

前言

将两个数学对象的关系类比推理到三个数学对象时，我们是容易犯错的，比如一元二次方程的求根公式刻画的是两个根的和与积的关系，但是当类比推理到一元三次方程的求根公式时，我们容易只想到三个根的和与三个根的积的关系，很少会想到三个根中的两两的关系 .参见1；参见2；

两个事件相互独立

定义：对任意两个事件 \(A\) 与 \(B\)，如果满足 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则称事件 \(A\)、\(B\) 相互独立，简称为独立；

由定义可知，事件\(A\)，\(B\)相互独立的充要条件是\(P(AB)=P(A)P(B)\)；

三个事件两两独立

定义：对任意三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)，若满足 \(P(AB)\)\(=\)\(P(A)P(B)\)①， \(P(BC)\)\(=\)\(P(B)P(C)\)②， \(P(AC)\)\(=\)\(P(A)P(C)\)③，则称三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)两两独立；

三个事件相互独立

定义：对任意三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)，若满足条件Ⅰ：即 \(P(AB)\)\(=\)\(P(A)P(B)\)①， \(P(BC)\)\(=\)\(P(B)P(C)\)②， \(P(AC)\)\(=\)\(P(A)P(C)\)③，且还满足添加Ⅱ：\(P(ABC)\)\(=\)\(P(A)P(B)P(C)\)，则称三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)相互独立；

简言之，同时满足添加Ⅰ和Ⅱ的三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的关系，称为相互独立，高一阶段暂时了解即可，不做要求；[容易混淆为相互独立就是两两独立，其实两个内涵不一样] .

• 深入理解：满足条件Ⅰ，不一定满足条件Ⅱ；

【人教 2019A 版教材\(P_{253}\) 页习题10.2 第 2 题】设样本空间 \(\Omega=\{1,2,3,4\}\)，定义事件 \(A=\{1,2\}\)， \(B=\{1,3\}\)， \(C=\{1,4\}\)，请验证 \(A\)、\(B\)、\(C\)三个事件两两独立，但\(P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)\) .

解：由题目可知，\(AB=AC=BC=\{1\}\)，\(ABC=\{1\}\)，容易知道，\(P(A)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)，\(P(B)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)，\(P(C)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)，且 \(P(AB)\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\)\(=\)\(P(A)P(B)\)，\(P(BC)\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\)\(=\)\(P(B)P(C)\)，\(P(AC)=\cfrac{1}{4}\)\(=\)\(P(A)P(C)\)，则事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)两两独立[即满足上述的条件1]；并不一定能得到 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)，理由如下：

接上计算得到，\(P(ABC)=\cfrac{1}{4}\)，但是利用 \(P(A)P(B)P(C)=\cfrac{1}{8}\)，故此时 \(P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)\)；

结论：当三个事件 \(A\)、\(B\)、\(C\)两两独立时，等式 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) 不一定成立 . [这是人教2019 A版 \(P_{250}\) 页内容的具体例子的解答] .

• 深入理解：满足条件Ⅱ，不一定满足条件Ⅰ；

【人教 2019A 版教材\(P_{253}\) 页习题10.2 第 5 题】一个正八面体的八个面分别标以数字 1 到 8 ，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 \(\Omega\)\(=\)\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,\}\)，构造适当的事件 \(A\)、\(B\)、\(C\) ，使得 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) 成立，但不满足 \(A\)、\(B\)、\(C\) 两两独立 .

解：样本空间 \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)，则 \(n(\Omega)=8\)，

定义事件 \(A=\{1,2,3,4\}\)， \(B=\{1,3,4,5\}\)， \(C=\{1,4,5,6\}\)，则 \(ABC=\{1\}\)，

由古典概型可知，\(P(A)=\cfrac{4}{8}=\cfrac{1}{2}\)，同理，\(P(B)=\cfrac{1}{2}\)，\(P(C)=\cfrac{1}{2}\)，\(P(ABC)=\cfrac{1}{8}\)，

满足 \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) ；

又由上可知，\(AB=\{1,3,4\}\)， \(AC=\{1,4\}\)， \(BC=\{1,4,5\}\)，

则 \(P(AB)=\cfrac{3}{8}\)，则 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)，此时 \(A\)、\(B\)不独立；

\(P(AC)=\cfrac{1}{4}\)，则 \(P(AC)=P(A)P(C)\)，此时 \(A\)、\(C\)独立；

\(P(BC)=\cfrac{3}{8}\)，则 \(P(B)\neq P(B)P(C)\)，此时 \(B\)、\(C\)不独立；

故不满足 \(A\)、\(B\)、\(C\) 两两独立 .

【解后反思】：此处容易将三个事件的相互独立和三个事件中的两两独立混淆，其实两个内涵不一样；两两独立，每次只涉及两个数学对象，再比如三条直线 \(a\)、\(b\)、\(c\) 两两垂直；或者三(四、五)个事件的彼此互斥，也可以称为三(四、五)个事件两两互斥] .

相关引申

四个事件相互独立：我们往往通过题意来判断四个事件相互独立[比如一个射击技术稳定的射手的四次射击是相互独立的；或者四个射手每人一次的射击事件是相互独立的]，最主要的是我们以此为依据能得到 \(P(ABCD)\)\(=\)\(P(A)\)\(\cdot\)\(P(B)\)\(\cdot\)\(P(C)\)\(\cdot\)\(P(D)\)；