概率的基本性质

前言

初次学习概率，往往需要注意一些细节上的东西。

基本性质

① 非负性，任意事件 \(A\) 的概率都是非负的，即 \(P(A)\geqslant 0\)；

注意：不要忘记 \(P(A)=0\) 的情形，在古典概型中，都满足 \(P(A)>0\)；在几何概型[现行高中教材中不再讲授几何概型]中，还有 \(A\) 为随机事件，但是 \(P(A)=0\) 的情形 .

② 必然事件的概率为 \(1\)，不可能事件的概率为 \(0\)，即 \(P(\Omega)=1\) ， \(P(\varnothing)=0\) ．

注意：上述命题的逆命题不成立，比如命题 “\(P(A)=0\)，则 \(A\) 为不可能事件” 就是假命题。反例

③ 如果事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互斥，那么 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) ．

注意：上述命题的逆命题不成立，所以在使用时必须先保证大前提成立。

④ 如果事件 \(A\) 与事件 \(B\) 互为对立事件，那么 \(P(A)=1-P(B)\)， \(P(B)=1-P(A)\)，．

注意：上述命题的逆命题不成立，所以在使用时必须先保证大前提成立。

⑤ 如果 \(A\subseteq B\)，那么 \(P(A)\leqslant P(B)\)

注意：上述命题刻画的是由命题的关系，推导出对应的概率的关系 .

⑥ 设 \(A\)、\(B\) 是一个随机试验中的两个事件，则 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

注意：这是性质 ③ 的推广，性质 ③ 是性质 ⑥ 的特殊情形；此时事件 \(A\)、\(B\) 可能互斥，也可能不互斥，都可以使用这条性质。

类比推理：设 \(A\)、\(B\)、\(C\) 是一个随机试验中的三个事件，\(P(A\cup B\cup C)\)\(=\)\(P(A)\)\(+\)\(P(B)\)\(+\)\(P(C)\)\(-\)\(P(A\cap B)\)\(-\)\(P(A\cap C)\)\(-\)\(P(B\cap C)\)\(+\)\(P(A\cap B\cap C)\)，依托韦恩图理解