总体估计中的相关公式 | 高一使用

前言

直接针对字母进行思维，其要求比针对数字思维的要求更高一些，是现代学生需要具备的一项技能；需要好好练习；

相关公式

【人教 2019 A 版 \(P_{215}\) 练习 2】 数据 \(x_1\)，\(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差为 \(s_x^2\)， 数据 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差为 \(s_y^2\)， \(a\)、 \(b\) 为常数. 证明:

(1) . 如果 \(y_1=x_1+b\)， \(y_2=x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=x_n+b\)， 那么 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+b)=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i+\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b=\bar{x}+b\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(x_i+b)-(\bar{x}+b)]^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=s_x^2\)

故有 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\);

解后反思：将这组数据按照 \((i,x_i)\) 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一加某个确定值，这组数据会沿着 \(y\) 轴上下统一移动，不会改变平均数，不会改变原始数据的集中或离散程度，也就是方差不会变化，故 \(s_y^2\)\(=\)\(s_x^2\)；

(2) . 如果 \(y_1=ax_1\)， \(y_2=ax_2\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n\)， 那么 \(s_y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot s_x^2\).

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)， 且 \(\bar{y}=a\cdot\bar{x}\)

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(a\cdot x_i-a\cdot\bar{x})^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)\(=\)\(a^2\cdot s_x^2\)

解后反思：将这组数据按照 \((i,x_i)\) 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一乘以某个确定值，相当于将这组数据沿着 \(y\) 轴方向压缩或拉伸，会改变平均数，故一般会改变原始数据的集中或离散程度，故 \(s_y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot s_x^2\).

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 习题9.2的第 4 题】数据 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差和标准差分别为 \(s_x^2\)， \(s_x\)， 数据 \(y_1\)， \(y_2\)， \(\cdots\)， \(y_n\) 的方差和标准差分别为 \(s_y^2\)， \(s_y\). 若 \(y_1=a x_1+b\)， \(y_2=a x_2+b\)， \(\cdots\)， \(y_n=a x_n+b\) 成立， \(a\)， \(b\) 为常数， 证明: \(s_y^2=\)\(a^2\cdot\)\(s_x^2\)，\(s_y\)\(=\)\(|a|\)\(s_x\).

证明： 由于 \(\bar{y}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(ax_i+b)=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}ax_i+\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b=a\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i+b=a\bar{x}+b\)

由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)，

\(s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(a\cdot x_i+b)-(a\cdot\bar{x}+b)]^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[a\cdot(x_i-\bar{x})]^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2\cdot(x_i-\bar{x})^2\)\(=a^2\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=a^2s_x^2\)

所以，\(s_y^2=a^2s_x^2\)，故 \(s_y=|a|s_x\)，

解后反思：将这组数据按照 \((i,x_i)\) 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一乘以某个确定值，然后统一加某个确定值， 相当于将这组数据沿着 \(y\) 轴方向压缩或拉伸，再将这组数据沿着 \(y\) 轴上下统一移动，故会改变平均数，一般会改变原始数据的集中或离散程度，故 \(s_y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot s_x^2\).

【2024高一数学训练题，性质应用】 某班有 \(40\) 名学生，在某次考试中，全班的平均分为 \(70\) 分，最高分为 \(100\) 分，最低分为 \(50\) 分，现将全班每个学生的分数以 \(y_i=ax_i+b\) (其中 \(a>0\) ) 进行调整，其中 \(x_i\) 是第 \({i}\) 个学生的原始分数，\(y_i\) 是第 \({i}\) 个学生的调整后的分数，调整后，全班最高分为 \(100\) 分，最低分为 \(60\) 分， 则 【\(\qquad\)】

$A$.$\textbf{调整后分数的极差和原始分数的极差相同}$

$B.$$\textbf{调整后分数的中位数要高于原始分数的中位数}$

$C.$$\textbf{调整后分数的标准差和原始分数的标准差相同}$

$D.$$\textbf{调整后分数的众数个数要多于原始分数的众数个数}$

解：将数据 \((50,60)\) 和 \((100,100)\) 代入 \(y_i=ax_i+b\)，解得 \(a=0.8\)，\(b=20\)，即 调整公式为 \(y_{i}=0.8x_{i}+20\)，

原始数据的极差为 \(100-50=50\)，调整后的数据的极差为 \(100-60=40\)，故选项 \(A\) 错误；

设原始数据的中位数为 \(a（50<a<100）\)，则调整后的中位数为 \(0.8a+20\)，\((0.8a+20)-a=-0.2a+20>0\)，故选项 \(B\) 正确；

原始数据的标准差设为 \(s\)，则根据性质得到，调整后的数据的标准差为 \(0.8s\)，故选项 \(C\) 错误；

由公式 \(y_{i}=0.8x_{i}+20\)可知，将原始数据统一缩小 \(0.8\) 倍，再统一向上平移 \(20\) 个单位，则原始数据的众数和调整后的数据的众数的数值可能会不一样，但两组数据的众数的个数一定是相同的，故选项 \(D\) 错误；综上所述，选 \(B\) .

【人教 2019 A 版 \(P_{216}\) 习题9.2的第 5 题】 数据 \(x_1\)， \(x_2\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的方差 \(s^2=0\)， 证明: 所有的 \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) 都相同.

证明：由于 \(s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0\)，故 \(x_i-\bar{x}=0\)，即 \(x_i=\bar{x}\)， \(x_i\)(\(i\)\(=\)\(1\)，\(2\)，\(\cdots\)，\(n\)) ，得证 .

【人教 2019 A 版 \(P_{218}\) 习题9.2的第 11 题】已知总体划分为 \(3\) 层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: \(l\)， \(\bar{x}\)， \(s_1^2\) ； \(m\)， \(\bar{y}\)， \(s_2^2\)； \(n\)，\(\bar{z}\)， \(s_3^2\) . 记总的样本平均数为 \(\bar{w}\)， 样本方差为 \(s^2\)， 证明:

(1). \(\bar{w}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}\);

证明：由于 \((l+m+n)\bar{w}=l\cdot\bar{x}+m\cdot\bar{y}+n\cdot\bar{z}\)，

故 \(\bar{w}\)\(=\)\(\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}\)\(+\)\(\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}\)\(+\)\(\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}\); ^[1]

(2). \(s^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{l+m+n}\)\(\bigg\{l\cdot\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(m\cdot\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{w})^2\right]\)\(+\)\(n\cdot\left[s_3^2+(\bar{z}-\bar{w})^2\right]\bigg\}\).

待有空整理；

• 平均数、方差、标准差的性质推广

如果一组样本数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，方差为\(s^2\)，标准差为\(s\)，

则样本数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)，其平均数为\(a\bar{x}+b\)，方差为\(a^2\cdot s^2\)，标准差为\(|a|\cdot s\)，

【2021年高三文数三轮模拟题】若样本 \(x_1+1\)， \(x_2+1\)， \(x_3+1\)， \(\cdots\)， \(x_n+1\) 的平均数为 \(10\)，方差为 \(2\)，则对于样本 \(2x_1+3\)， \(2x_2+3\)， \(2x_3+3\)， \(\cdots\)， \(2x_n+3\) ，下列结论正确的是【\(\quad\)】

$A.$平均数为 $20$，方差为 $4$

$B.$平均数为 $11$，方差为 $4$

$C.$平均数为 $21$，方差为 $8$

$D.$平均数为 $20$，方差为 $8$

解析：由于样本 \(x_1+1\)， \(x_2+1\)， \(x_3+1\)， \(\cdots\)， \(x_n+1\) 的平均数为 \(10\)，

则样本 \(x_1\)， \(x_2\)， \(x_3\)， \(\cdots\)， \(x_n\) 的平均数为 \(9\)，^[2]

对于样本 \(2x_1+3\)， \(2x_2+3\)， \(2x_3+3\)， \(\cdots\)， \(2x_n+3\)，

其平均数为 \(2\times 9+3=21\)，方差为 \(2^2\times 2=8\) ，故选 \(C\).

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1. 相关公式，【人教 2019 A 版 \(P_{184}\) 练习1】 数据 \(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_m\) 的平均数是 \(\bar{x}\)，数据 \(y_1\)，\(y_2\)，\(\cdots\)，\(y_n\) 的平均数是 \(\bar{y}\)，则 \(\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{m}x_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{m+n}=\cfrac{m}{m+n}\bar{x}+\cfrac{n}{m+n}\bar{y}\) ↩︎

2. 解释：由于 \(\cfrac{(x_1+1)+(x_2+1)+\cdots+(x_n+1)}{n}=10\)，则 \(\cfrac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)+n}{n}=10\)，
   即\(x_1+x_2+\cdots+x_n=9n\)，故 \(\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=9\)； ↩︎