总体估计中的相关公式 | 高一使用

公式定理💯随心记

【异面直线夹角公式】$\cosθ=|\cos⟨\vec {u},\vec {v}⟩|=\cfrac {|\vec {u}\cdot\vec {v}|}{|\vec {u}|\cdot|\vec {v}|}$，其中 $\vec {u}$、$\vec {v}$ 分别为两直线的方向向量

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前言

直接针对字母进行思维，其要求比针对数字思维的要求更高一些，是现代学生需要具备的一项技能；需要好好练习；

相关公式

【人教 2019 A 版 $P_{215}$ 练习 2】 数据 $x_1$，$x_2$， $\cdots$， $x_n$ 的方差为 $s_x^2$， 数据 $y_1$， $y_2$， $\cdots$， $y_n$ 的方差为 $s_y^2$， $a$、 $b$ 为常数。证明:

(1) . 如果 $y_1=x_1+b$， $y_2=x_2+b$， $\cdots$， $y_n=x_n+b$， 那么 $s_y^2$$=$$s_x^2$;

证明：由于 $s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$， 且 $\bar{y}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+b)=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i+\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b=\bar{x}+b$

$s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(x_i+b)-(\bar{x}+b)]^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=s_x^2$

故有 $s_y^2$$=$$s_x^2$;

解后反思：将这组数据按照 $(i,x_i)$ 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一加某个确定值，这组数据会沿着 $y$ 轴上下统一移动，不会改变平均数，不会改变原始数据的集中或离散程度，也就是方差不会变化，故 $s_y^2$$=$$s_x^2$；

(2) . 如果 $y_1=ax_1$， $y_2=ax_2$， $\cdots$， $y_n=a x_n$， 那么 $s_y^2$$=$$a^2$$\cdot s_x^2$.

证明：由于 $s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$， 且 $\bar{y}=a\cdot\bar{x}$

$s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2$$=$$\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(a\cdot x_i-a\cdot\bar{x})^2$

$=$$\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar{x})^2$$=$$a^2\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$=$$a^2\cdot s_x^2$

解后反思：将这组数据按照 $(i,x_i)$ 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一乘以某个确定值，相当于将这组数据沿着 $y$ 轴方向压缩或拉伸，会改变平均数，故一般会改变原始数据的集中或离散程度，故 $s_y^2$$=$$a^2$$\cdot s_x^2$.

【人教 2019 A 版 $P_{216}$ 习题 9.2 的第 4 题】数据 $x_1$， $x_2$， $\cdots$， $x_n$ 的方差和标准差分别为 $s_x^2$， $s_x$， 数据 $y_1$， $y_2$， $\cdots$， $y_n$ 的方差和标准差分别为 $s_y^2$， $s_y$. 若 $y_1=a x_1+b$， $y_2=a x_2+b$， $\cdots$， $y_n=a x_n+b$ 成立， $a$， $b$ 为常数， 证明: $s_y^2=$$a^2\cdot$$s_x^2$，$s_y$$=$$|a|$$s_x$.

证明： 由于 $\bar{y}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(ax_i+b)=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}ax_i+\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b=a\cdot\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i+b=a\bar{x}+b$

由于 $s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，

$s_y^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2$$=$$\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[(a\cdot x_i+b)-(a\cdot\bar{x}+b)]^2$

$=$$\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}[a\cdot(x_i-\bar{x})]^2$$=$$\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a^2\cdot(x_i-\bar{x})^2$$=a^2\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=a^2s_x^2$

所以，$s_y^2=a^2s_x^2$，故 $s_y=|a|s_x$，

解后反思：将这组数据按照 $(i,x_i)$ 的格式绘制在坐标系中，从形上来理解，给一组原始数据统一乘以某个确定值，然后统一加某个确定值， 相当于将这组数据沿着 $y$ 轴方向压缩或拉伸，再将这组数据沿着 $y$ 轴上下统一移动，故会改变平均数，一般会改变原始数据的集中或离散程度，故 $s_y^2$$=$$a^2$$\cdot s_x^2$.

【2024 高一数学训练题，性质应用】 某班有 $40$ 名学生，在某次考试中，全班的平均分为 $70$ 分，最高分为 $100$ 分，最低分为 $50$ 分，现将全班每个学生的分数以 $y_i=ax_i+b$ (其中 $a>0$ ) 进行调整，其中 $x_i$ 是第 ${i}$ 个学生的原始分数，$y_i$ 是第 ${i}$ 个学生的调整后的分数，调整后，全班最高分为 $100$ 分，最低分为 $60$ 分， 则 【$\qquad$】

$A$.$\textbf {调整后分数的极差和原始分数的极差相同}$

$B.$$\textbf {调整后分数的中位数要高于原始分数的中位数}$

$C.$$\textbf {调整后分数的标准差和原始分数的标准差相同}$

$D.$$\textbf {调整后分数的众数个数要多于原始分数的众数个数}$

解：将数据 $(50,60)$ 和 $(100,100)$ 代入 $y_i=ax_i+b$，解得 $a=0.8$，$b=20$，即 调整公式为 $y_{i}=0.8x_{i}+20$，

原始数据的极差为 $100-50=50$，调整后的数据的极差为 $100-60=40$，故选项 $A$ 错误；

设原始数据的中位数为 $a（50<a<100）$，则调整后的中位数为 $0.8a+20$，$(0.8a+20)-a=-0.2a+20>0$，故选项 $B$ 正确；

原始数据的标准差设为 $s$，则根据性质得到，调整后的数据的标准差为 $0.8s$，故选项 $C$ 错误；

由公式 $y_{i}=0.8x_{i}+20$ 可知，将原始数据统一缩小 $0.8$ 倍，再统一向上平移 $20$ 个单位，则原始数据的众数和调整后的数据的众数的数值可能会不一样，但两组数据的众数的个数一定是相同的，故选项 $D$ 错误；综上所述，选 $B$ .

【人教 2019 A 版 $P_{216}$ 习题 9.2 的第 5 题】 数据 $x_1$， $x_2$， $\cdots$， $x_n$ 的方差 $s^2=0$， 证明：所有的 $x_i$($i$$=$$1$，$2$，$\cdots$，$n$) 都相同.

证明：由于 $s_x^2=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0$，故 $x_i-\bar{x}=0$，即 $x_i=\bar{x}$， $x_i$($i$$=$$1$，$2$，$\cdots$，$n$) ，得证 .

【人教 2019 A 版 $P_{218}$ 习题 9.2 的第 11 题】已知总体划分为 $3$ 层，通过分层随机抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: $l$， $\bar{x}$， $s_1^2$ ； $m$， $\bar{y}$， $s_2^2$； $n$，$\bar{z}$， $s_3^2$ . 记总的样本平均数为 $\bar{w}$， 样本方差为 $s^2$， 证明:

(1). $\bar{w}$$=$$\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}$$+$$\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}$$+$$\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}$;

证明：由于 $(l+m+n)\bar{w}=l\cdot\bar{x}+m\cdot\bar{y}+n\cdot\bar{z}$，

故 $\bar{w}$$=$$\cfrac{l}{l+m+n}\cdot\bar{x}$$+$$\cfrac{m}{l+m+n}\cdot\bar{y}$$+$$\cfrac{n}{l+m+n}\cdot\bar{z}$; ^[1]

(2). $s^2$$=$$\cfrac{1}{l+m+n}$$\bigg\{l\cdot\left[s_1^2+(\bar{x}-\bar{w})^2\right]$$+$$m\cdot\left[s_2^2+(\bar{y}-\bar{w})^2\right]$$+$$n\cdot\left[s_3^2+(\bar{z}-\bar{w})^2\right]\bigg\}$.

待有空整理；

• 平均数、方差、标准差的性质推广

如果一组样本数据 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，其平均数为 $\bar{x}$，方差为 $s^2$，标准差为 $s$，

则样本数据 $ax_1+b$，$ax_2+b$，$\cdots$，$ax_n+b$，其平均数为 $a\bar{x}+b$，方差为 $a^2\cdot s^2$，标准差为 $|a|\cdot s$，

【2021 年高三文数三轮模拟题】若样本 $x_1+1$， $x_2+1$， $x_3+1$， $\cdots$， $x_n+1$ 的平均数为 $10$，方差为 $2$，则对于样本 $2x_1+3$， $2x_2+3$， $2x_3+3$， $\cdots$， $2x_n+3$ ，下列结论正确的是【$\quad$】

$A.$ 平均数为 $20$，方差为 $4$

$B.$ 平均数为 $11$，方差为 $4$

$C.$ 平均数为 $21$，方差为 $8$

$D.$ 平均数为 $20$，方差为 $8$

解析：由于样本 $x_1+1$， $x_2+1$， $x_3+1$， $\cdots$， $x_n+1$ 的平均数为 $10$，

则样本 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $\cdots$， $x_n$ 的平均数为 $9$，^[2]

对于样本 $2x_1+3$， $2x_2+3$， $2x_3+3$， $\cdots$， $2x_n+3$，

其平均数为 $2\times 9+3=21$，方差为 $2^2\times 2=8$ ，故选 $C$.

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1. 相关公式，【人教 2019 A 版 $P_{184}$ 练习 1】 数据 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$ 的平均数是 $\bar{x}$，数据 $y_1$，$y_2$，$\cdots$，$y_n$ 的平均数是 $\bar{y}$，则 $\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{m}x_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{m+n}=\cfrac{m}{m+n}\bar{x}+\cfrac{n}{m+n}\bar{y}$ ↩︎

2. 解释：由于 $\cfrac{(x_1+1)+(x_2+1)+\cdots+(x_n+1)}{n}=10$，则 $\cfrac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)+n}{n}=10$，
   即 $x_1+x_2+\cdots+x_n=9n$，故 $\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=9$； ↩︎