极化恒等式

前言

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在初中数学中我们已经知道，当 \(a\)，\(b\) 是实数时 \(ab=\cfrac{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2]\) ，若将实数 \(a\)，\(b\) 变为向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，则对应的表达式也是成立的，也叫极化恒等式，即

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=\cfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2] \]

证明：由向量的知识我们知道，

\((\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2\) \(\qquad ①\)

\((\vec{a}-\vec{b})^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2\) \(\qquad ②\)

①-② 整理得到，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\cfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2]\).

相关形的计算

将极化恒等式 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\cfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2]\) 应用到上图中，得到 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\cfrac{1}{4}(\overrightarrow{AE}^2-\overrightarrow{CB}^2)\)

也能得到 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{DB}^2\)

典例剖析

【2024高一训练题】如图在边长为 \(4\) 的等边三角形 \(ABC\) 中，\(P\) 为 \(\triangle ABC\) 内部(包含边界)的动点，且 \(PA=1\)，

(1). 求 \(|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}|\) ；

提示：以退为进策略，先平方再开方，具体过程略，\(4\sqrt{3}\) ；

(2). 求 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围 ；

法一：三角函数法，

法二：极化恒等式法，取 \(BC\) 的中点为 \(D\)，连结 \(PD\)，则 \(DB=2\)，

则 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})\cdot(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})\cdot(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{DB})\)

\(=|\overrightarrow{PD}|^2-|\overrightarrow{DB}|^2=|\overrightarrow{PD}|^2-4\)

由图可知，当点 \(P\) 为所给弧的中点时，\(|\overrightarrow{PD}|\) 最小，也可以求得 \(|\overrightarrow{PD}|_{min}=2\sqrt{3}-1\)，

此时，\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}_{min}=|\overrightarrow{PD}|_{min}^2-4=(2\sqrt{3}-1)^2-4=9-4\sqrt{3}\)，

当点 \(P\) 落在点 \(E\) 或点 \(F\)时，\(|\overrightarrow{PD}|\) 最大，由余弦定理求得 \(|\overrightarrow{PD}|_{max}=\sqrt{7}\)，

此时，\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}_{max}=|\overrightarrow{PD}|_{max}^2-4=(\sqrt{7})^2-4=3\)，

故 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围为 \([9-4\sqrt{3},3]\) .

【2024高一月考三训练题】在 \(Rt\triangle ABC\) 中，\(\angle A=90^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(AC=6\)，\(D\)为 \(BC\) 的中点，点 \(P\) 在\(\triangle ABC\) 斜边 \(BC\) 的中线 \(AD\) 上，则 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围为 【\(\qquad\)】

$A.[-10,0]$ $B.[-6,0]$ $C.[0,6]$ $D.[0,10]$

法1：特殊化策略法；由于点 \(P\) 是 斜边 \(BC\) 的中线 \(AD\) 上的一个动点，故取其两个特殊位置来研究，当点 \(P\) 位于点 \(A\) 的位置时，向量 \(\overrightarrow{PC}\) 与向量 \(\overrightarrow{PB}\) 垂直，故 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=0\)，当点 \(P\) 位于点 \(D\) 的位置时，向量 \(\overrightarrow{PC}\) 与向量 \(\overrightarrow{PB}\) 共线，夹角为 \(\pi\)，且由于点\(D\)为 \(BC\) 的中点， 故可以求得\(CD=BD=\sqrt{10}\)，故 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=-10\)，即 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围为\([-10,0]\)，故 选 \(A\) .

法2：极化恒等式法； 由题可知，则 \(DB=DC=\sqrt{10}\)，

则 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})\cdot(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB})\cdot(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{DB})\)

\(=|\overrightarrow{PD}|^2-|\overrightarrow{DB}|^2=|\overrightarrow{PD}|^2-10\)

由图可知，当点 \(P\) 位于点 \(A\) 时， \(|\overrightarrow{PD}|\) 最大，也可以求得 \(|\overrightarrow{PD}|_{max}=0\)，

由图可知，当点 \(P\) 位于点 \(D\) 时， \(|\overrightarrow{PD}|\) 最小，也可以求得 \(|\overrightarrow{PD}|_{min}=-10\)，

即 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围为\([-10,0]\)，故 选 \(A\) .

法3：二次函数法；由于 点 \(DB=DC=DA\)，故点 \(D(1,3)\)，设 \(P(x,y)\)，则可知 \(\cfrac{x}{y}=\cfrac{1}{3}\)，即 \(y=3x\)，

则有 \(P(x,3x)\)，\(B(2,0)\)，\(C(0,6)\)，利用坐标计算如下：

故 \(\overrightarrow{PB}=(2-x,-3x)\)，\(\overrightarrow{PC}=(-x,6-3x)\)，

则 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(2-x)(-x)+(-3x)(6-3x)=10x^2-20x=10(x-1)^2-10\)，\(x\in[0,1]\)，

故 \(x=0\)时，\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}_{max}=0\)，

\(x=1\)时，\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}_{min}=-10\)，

即 \(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}\) 的取值范围为\([-10,0]\)，故 选 \(A\) .

【2019届高三理科数学二轮用题】在矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(AD=4\)，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，过点\(A\)作\(AE\perp BD\)于\(E\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}\)=【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{8}{5}$ $B.\cfrac{16}{5}$ $C.\cfrac{32}{5}$ $D.8$

法1：从形的角度思考，采用坐标法求解；以点\(A\)为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，

则可知\(A(0，0)\)，\(B(0，-2)\)，\(C(4，-2)\)，\(D(4，0)\)，设\(E(x，y)\)，

则由\(k_{AE}\cdot k_{BD}=-1\)，可得\(y=-2x\)①，又直线\(BD：2y=x-4\)②，

联立①②可得，\(x=\cfrac{4}{5}\)，\(y=-\cfrac{8}{5}\)，

则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}=(\cfrac{4}{5}，-\cfrac{8}{5})\cdot (4，-2)=\cfrac{32}{5}\)，故选\(C\).

法2：本题目是否还可以用基向量法，以 \(\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\}\) 为基底来表示其他向量，待思考；